TD 1 en ACP

Ce travail pratique (TP) porte sur l'analyse en composantes principales (ACP) appliquée à deux jeux de données : les résultats de subtests du WISC pour des enfants de 10 ans, et les performances physiques de basketteurs de 14 ans. Ce TP permet d'apprendre à réaliser une ACP normée, interpréter les résultats (valeurs propres, corrélations, contributions, qualités de représentation), et comprendre la structure des données multidimensionnelles. Pour suivre ce TP, il faut disposer des données fournies, d'un logiciel statistique capable de réaliser une ACP, et connaître les notions de base en statistique descriptive et en analyse multivariée.

Objectifs

• Comprendre la notion de matrice de corrélation et son rôle en ACP.
• Analyser les valeurs propres et choisir le nombre de composantes principales à retenir.
• Interpréter les corrélations entre variables et les signes des coefficients.
• Étudier les contributions et qualités de représentation des individus et des variables.
• Visualiser et interpréter les plans factoriels (projection des individus et des variables).
• Appliquer ces concepts à deux jeux de données différents : psychométrie et performance sportive.

Prérequis et installation

• Connaissances de base en statistiques descriptives et en analyse multivariée.
• Logiciel statistique capable de réaliser une ACP normée (ex. R, SPSS, Python avec sklearn ou autre).
• Données fournies dans le TP (scores WISC, mesures physiques des basketteurs).
• Notions sur la matrice de corrélation, valeurs propres, cos2, contributions.

Étape 1 : Analyse des résultats du WISC par ACP

On commence par étudier les résultats de 15 enfants à 6 subtests du WISC, codés de 0 à 5. Les variables sont CUB, PUZ, CAL, MEM, COM et VOC. L’objectif est de réaliser une ACP normée sur ces données et d’interpréter les résultats.

1) Étude du tableau des valeurs propres :

• La somme des valeurs propres correspond au nombre total de variables (ici 6).
• On choisit d’étudier seulement les deux premières composantes principales car elles expliquent ensemble 54,3% + 30,6% = 84,9% de la variance totale, ce qui est une part importante.

2) Étude du tableau des corrélations :

• Les subtests CUB, PUZ et CAL sont fortement corrélés positivement entre eux (ex. CUB et CAL : 0,9207).
• Les variables MEM, COM et VOC ont des corrélations négatives avec CUB, PUZ et CAL, notamment MEM avec PUZ (-0,6143).
• Les signes "+" et "-" indiquent une opposition entre deux groupes de variables, suggérant deux dimensions principales opposées.

3) Étude des qualités de représentation :

• L’individu le moins bien représenté par le premier plan principal est I8 (cos2 faible).
• L’individu le mieux représenté est I9 (cos2 élevé).

4) Étude du nuage des individus :

• Les individus avec une contribution à la première composante principale supérieure à la moyenne sont I1, I2, I7, I9, I11. Leur signe de coordonnée est négatif ou positif selon leur position sur l’axe.
• Cette première composante oppose des individus avec des scores élevés sur CUB, PUZ, CAL à ceux avec des scores faibles.
• Pour la deuxième composante, les individus I1, I6, I8, I14 contribuent fortement, caractérisant une autre dimension.

5) Étude du nuage des variables :

• Toutes les variables sont bien représentées dans le plan (CP1, CP2), avec des cos2 élevés.
• Les variables CUB, PUZ, CAL sont corrélées positivement avec le premier facteur principal, tandis que MEM, COM et VOC sont corrélées négativement.
• Le premier axe peut être interprété comme une opposition entre capacités visuo-spatiales et mémoire/compréhension.
• Le deuxième axe est dominé par MEM, COM et VOC.

Étape 2 : Analyse des performances physiques des basketteurs

On analyse les données de 18 basketteurs de 14 ans, mesurés sur 6 variables physiques : taille (TAI), vitesse (VIT, codée négativement pour que la performance élevée soit positive), détente verticale (DET), passe (PAS), endurance (LEG), et adresse statique (STA).

1) Analyse de la matrice des corrélations :

• Observer les corrélations entre variables pour comprendre les relations entre qualités physiques.
• Par exemple, la vitesse est négativement corrélée avec la taille, indiquant que les plus grands ne sont pas forcément les plus rapides.

2) Examen du nuage de points :

• Identifier les sujets avec la plus forte inertie (plus éloignés du centre) et ceux avec la plus faible inertie (plus proches du centre).

3) Choix du nombre de composantes :

• On retient 3 composantes principales car elles expliquent une part suffisante de la variance totale, justifiant la réduction dimensionnelle.

4) Analyse des contributions des sujets :

• Pour la première composante principale, identifier les sujets qui contribuent le plus, et préciser s’ils sont du côté positif ou négatif de l’axe.
• Identifier deux sujets bien représentés par la première composante et deux sujets mal représentés.

5) Analyse des deuxième et troisième axes :

• Répéter l’analyse des contributions et des représentations pour ces axes.

6) Interprétation des composantes :

• Identifier les variables les plus corrélées avec chaque composante principale.
• Interpréter la première composante en fonction des variables associées (ex. taille et détente).
• Faire de même pour la deuxième et la troisième composante.

Étape 3 : Analyse factorielle générale

Ce dernier exercice propose une analyse factorielle sur un ensemble de variables socio-économiques (population, urbanisation, mortalité infantile, PIB, consommation calorique, naissances, décès).

1) Cadre général de l’ACP :

• L’ACP vise à réduire la dimensionnalité des données tout en conservant l’essentiel de l’information.
• La matrice initiale contient les données standardisées des variables observées.
• Les variables sont quantitatives et mesurées sur des populations différentes.

2) Matrice de corrélation C :

• Elle contient les coefficients Cij qui mesurent la corrélation entre la variable i et la variable j.

3) Indice KMO et test de Bartlett :

• L’indice KMO (0,734) mesure la qualité de l’échantillonnage : une valeur proche de 1 est favorable.
• Le test de Bartlett (Khi-carré = 148,027, ddl = 28, p < 0,001) confirme que la matrice de corrélation n’est pas une matrice identité, justifiant l’ACP.

4) Variables significatives :

• Les variables avec une bonne qualité de représentation (cos2 élevés) sont retenues comme significatives.

5) Inertie des axes factoriels :

• Les deux premières composantes expliquent environ 64,5% de la variance totale.
• Le plan formé par ces deux axes résume bien l’information initiale.

6) Carte factorielle des variables :

• Tracer la projection des variables sur le plan factoriel pour visualiser leurs relations.
• Interpréter les résultats en fonction des corrélations et des oppositions entre variables.

Résultats attendus

• Pour le WISC, deux composantes principales expliquent environ 85% de la variance.
• Les variables se regroupent en deux blocs opposés : capacités visuo-spatiales (CUB, PUZ, CAL) et mémoire/compréhension (MEM, COM, VOC).
• Les individus sont bien répartis selon ces dimensions, avec des contributions et qualités de représentation variables.
• Pour les basketteurs, trois composantes principales suffisent à expliquer la majorité de la variance.
• Les variables physiques se regroupent selon des axes liés à la taille, la vitesse, et l’endurance.
• Pour l’analyse socio-économique, l’ACP est valide avec un KMO > 0,7 et un test de Bartlett significatif.
• Les deux premiers axes expliquent plus de 60% de la variance et permettent une bonne interprétation des variables.

Pièges courants

• Confondre la somme des valeurs propres avec la variance expliquée par un seul axe.
• Ne pas vérifier la qualité de représentation (cos2) des individus et variables avant interprétation.
• Ignorer les signes des corrélations, qui indiquent des oppositions importantes entre variables.
• Choisir trop ou trop peu de composantes principales, ce qui fausse l’analyse.
• Ne pas standardiser les variables avant ACP, surtout si elles sont sur des échelles différentes.
• Interpréter les axes sans tenir compte des contributions des individus et variables.