TD 1 en ACP

Cumul % 54,3020 84,9214 92,3044 96,5337 99,3327 100,0000

1 2 3 4 5 6

Qualités de représentation

Initiales

Extraction

cub

puz

cal

mem

com

voc

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

,845

,832

,896

,816

,871

,835

Méthode d'extraction : Analyse en

composantes principales.

Scores, contributions et qualités de représentation des individus

Score Fact. 1

Score Fact. 2

Contributi on Fact.1

Contributi on Fact.2

Cos2 Fact.1

Cos2 Fact. 1&2

I1 I2

-2,5616 -0,9661

3,0568 0,9370

13,43 1,91

33,91 3,19

0,4078 0,3907

0,5807 0,3676

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I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10 I11 I12 I13 I14 I15

0,6765 -2,7969 -1,8423 1,8891 -2,3396 0,7275 2,8400 2,1733 1,2940 -0,9947 -0,6099 2,0150 0,4957

-0,6624 -1,4636 0,1211 0,1350 -1,5487 -2,2054 0,5423 0,6117 2,0373 0,8181 -0,8730 -0,9470 -0,5591

0,94 16,01 6,95 7,30 11,20 1,08 16,50 9,66 3,43 2,02 0,76 8,31 0,50

1,59 7,77 0,05 0,07 8,70 17,65 1,07 1,36 15,06 2,43 2,77 3,25 1,13

0,4446 0,7160 0,8142 0,8426 0,6028 0,0816 0,8745 0,7433 0,2256 0,3120 0,1949 0,7548 0,1151

0,4263 0,1961 0,0035 0,0043 0,2641 0,7499 0,0319 0,0589 0,5592 0,2110 0,3994 0,1667 0,1464

Saturations, contributions et qualités de représentation des variables

Saturation Fact. 1

Saturation Fact. 2

Contribution Fact.1

Contribution Fact.2

Cos2 Fact.1

Cos2 Fact.2

CUB PUZ CAL MEM COM VOC

-0,8970 -0,8652 -0,9458 0,4449 -0,5382 -0,5683

0,2018 0,2883 0,0390 -0,7861 -0,7627 -0,7156

0,25 0,23 0,27 0,06 0,09 0,10

0,02 0,05 0,00 0,34 0,32 0,28

0,8046 0,7485 0,8945 0,1980 0,2897 0,3229

0,8453 0,8316 0,8960 0,8160 0,8714 0,8350

Représentation des individus dans le premier plan factoriel

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Projection des ind. sur le plan factoriel ( 1 x 2)Observations avec la somme des cosinus carrˇs >= 0,00 ActiveI1I2I3I4I5I6I7I8I9I10I11I12I13I14I15-5-4-3-2-1012345Fact. 1 : 54,30%-4-3-2-1012345Fact. 2 : 30,62%Projection des variables sur le plan factoriel ( 1 x 2) Active CUB PUZ CAL MEM COM VOC-1,0-0,50,00,51,0Fact. 1 : 54,30%-1,0-0,50,00,51,0Fact. 2 : 30,62%

1) Etude du tableau des valeurs propres

a) A quoi correspond la somme des valeurs propres ?

b) On choisit de n'étudier que les deux premières composantes principales. Justifier ce

choix en analysant le tableau des valeurs propres.

2) Etude du tableau des corrélations

a) Quels sont les subtests les plus fortement corrélés entre eux ?

b) Comment s'organisent les signes "+" et les signes "-" dans le tableau des coefficients

de corrélation. Commenter.

3) Etude des qualités de représentation dans le premier plan principal

Quel est l'individu le moins bien représenté par le premier plan principal ? Quel est

l'individu le mieux représenté ?

4) Etude du nuage des individus.

a) Quels sont les individus dont la contribution à la formation de la première composante

principale est supérieure à la moyenne ? Pour chacun d'eux, préciser le signe de la

coordonnée correspondante.

Caractériser cet axe en termes d'opposition entre individus.

b) Même question pour la deuxième composante principale.

5) Etude du nuage des variables

a) La représentation graphique des variables montre qu'elles sont toutes très bien

représentées dans le plan (CP1, CP2). Justifier cette affirmation. b) Quelles sont les variables qui sont corrélées positivement avec le premier facteur

principal ? Quelles sont celles qui sont corrélées négativement ? Comment peut-on

caractériser cet axe par rapport aux variables de départ ?

c) Quelles sont les variables qui ont joué un rôle dominant dans la formation du deuxième

axe.

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Exercice 2 On s'intéresse au profil de 18 basketteurs de 14 ans. Ils ont passé un certain nombre de tests relatifs aux qualités physiques requises pour la pratique de cette discipline.

TAI : taille en cm VIT : vitesse sur 30 m (en secondes) DET : détente verticale en cm : sauter le plus haut possible, le bras tendu PAS : passe en mètres : lancer un ballon de basket le plus loin possible LEG : endurance, en litres/mn/kg : test Le Luc Léger STA : adresse statique, en nombre de paniers.

La variable VIT est codée systématiquement avec un signe "-" afin que, comme pour les autres variables, une valeur élevée traduise une bonne performance.

SUJET I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10 I11 I12 I13 I14 I15 I16 I17 I18

TAI 170 181 192 173 170 175 170 168 166 181 186 180 185 192 191 192 192 195

VIT -4 -5 -5,1 -4,1 -4 -4,3 -4,4 -4 -4 -5,3 -4,7 -4,6 -4,8 -5 -4,9 -4,9 -5,1 -5,3

DET 77 49 50 70 70 72 70 76 76 48 55 50 50 48 45 43 50 50

PAS 15 15 16,1 15,5 12,5 12,4 12 11 10 15,2 15,5 12 12,8 11,5 11,3 10,5 10,5 15,1

LEG 63,7 45,1 46,2 63,5 64,3 61,6 65,6 64 64 50,2 51 51,7 49,7 45,6 45,9 48,9 45 47,1

STA 17 11 15 17 19 18 10 7 8 10 14 16 19 17 16 18 16 19

1) Examiner la matrice des corrélations entre les variables. Faites un commentaire.

2) Examen du nuage de points : quels sont les sujets dont l'inertie est la plus forte ? Quels sont ceux dont l'inertie est la plus faible ?

3) On choisit de ne conserver que 3 composantes principales. Justifier ce choix.

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4) a) Quels sont les sujets qui contribuent le plus fortement à la formation du premier axe principal ? Indiquez également si leur contribution intervient dans la partie positive ou dans la partie négative de l'axe.

b) Citez deux sujets qui sont bien représentés par leur première composante principale. Quels sont les deux sujets les plus mal représentés par cette composante ?

5) Analysez, de la même façon, le deuxième, puis le troisième axe principal.

6) a) Quelles sont les variables les plus fortement corrélées avec la première composante principale. Interprétez cette composante à l'aide de ces variables.

b) De même, donnez une interprétation des deuxième et troisième composantes principales.

Exercice III :

Analyse factorielle

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Matrice de corrélation1,000-,347-,057,138-,323-,198-,022-,320-,3471,000-,512-,769,617,686-,638-,547-,057-,5121,000,853-,761-,737,960,340,138-,769,8531,000-,857-,877,926,550-,323,617-,761-,8571,000,717-,767-,276-,198,686-,737-,877,7171,000-,833-,457-,022-,638,960,926-,767-,8331,000,510-,320-,547,340,550-,276-,457,5101,000Population enmilliers (x1000)Personneshabitant enville (%)Augmentationde lapopulation (%par an)Mortalitéinfantile (nbde morts pour1000 vivants)Produitdomestiquebrut / par têteConsommation caloriquepar jourNb denaissancespour 1000personnesNb de mortspour 1000personnesCorrélationPopulation enmilliers (x1000)Personneshabitanten ville(%)Augmentationde lapopulation (%par an)Mortalitéinfantile(nb demortspour1000vivants)Produitdomestiquebrut /partêteConsommationcaloriqueparjourNb denaissancespour1000personnesNb demortspour1000personnesIndice KMO et test de Bartlett,734148,02728,000Mesure de précision de l'échantillonnage deKaiser-Meyer-Olkin.Khi-deux approximéddlSignification de BartlettTest de sphéricité deBartlett

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Matrice des composantesa,148-,948-,797,181,878,123,9842,205E-04-,859,267-,9006,832E-02,950,148,567,576Population en milliers (x1000)Personnes habitant enville (%)Augmentation de lapopulation (% par an)Mortalité infantile (nb demorts pour 1000 vivants)Produit domestique brut/ par têteConsommationcalorique par jourNb de naissances pour1000 personnesNb de morts pour 1000personnes12ComposanteMéthode d'extraction : Analyse en composantes principales.2 composantes extraites.a. Qualité de représentation,921,668,787,968,810,815,924,653Population en milliers (x1000)Personnes habitant enville (%)Augmentation de lapopulation (% par an)Mortalité infantile (nb demorts pour 1000 vivants)Produit domestique brut/ par têteConsommationcalorique par jourNb de naissances pour1000 personnesNb de morts pour 1000personnesExtractionMéthode d'extraction : Analyse en composantes principales.

1°) Définir brièvement le cadre général de l’ACP, on donnera à cet effet la signification du tableau

initial, la nature des variables et les objectifs généraux à atteindre.

2°) Donner une signification de la matrice de corrélation C et donner son terme général Cij

3°) Commenter l’indice KMO et le test de BARTLETT

4°) Donner les variables les plus significatives en justifiant vos réponses

5°) Donner et commenter l’inertie des axes factoriels ainsi que du plan.

6°) Tracer la carte factorielle des variables et donner une interprétation des résultats.

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Variance totale expliquée5,16764,59164,5915,14864,35164,3511,37717,20881,8001,39617,44981,800Composante12Total% de lavariance ==% cumulésTotal% de lavariance ==% cumulésExtraction Sommes des carrés desfacteurs retenusSomme des carrés des facteursretenus pour la rotationMéthode d'extraction : Analyse en composantes principales.Matrice des coefficients des coordonnées des composantes,078-,685-,163,120,163,102,190,014-,180,182-,177,037,176,120,080,425Population en milliers (x1000)Personnes habitant enville (%)Augmentation de lapopulation (% par an)Mortalité infantile (nb demorts pour 1000 vivants)Produit domestique brut/ par têteConsommationcalorique par jourNb de naissances pour1000 personnesNb de morts pour 1000personnes12ComposanteMéthode d'extraction : Analyse en composantes principales. Méthode de rotation : Varimax avec normalisation de Kaiser. Scores composante.