Systèmes Linéaires et Matrices

Ce matériel couvre les systèmes d’équations linéaires et les matrices, destiné aux étudiants en mathématiques ou disciplines connexes. Il présente les techniques fondamentales pour résoudre des systèmes linéaires, la notion de matrice, les opérations élémentaires, ainsi que la mise en forme échelonnée et réduite de Gauss-Jordan. Ces concepts sont essentiels pour comprendre la résolution et l’analyse des systèmes linéaires.

Systèmes d’équations algébriques linéaires

Considérons un système de m équations à n inconnues x1, ..., xn :

a11x1 + ... + a1nxn = b1
...
am1x1 + ... + amnxn = bm

Les coefficients aij et les termes indépendants bi appartiennent à un corps commutatif K (par exemple, les réels ou les complexes). Résoudre ce système consiste à trouver des valeurs des inconnues dans K qui satisfont toutes les équations simultanément.

Opérations élémentaires

Pour résoudre un système, on utilise trois types d’opérations élémentaires sur les équations, qui ne modifient pas l’ensemble des solutions :

• Type I : Remplacer une équation par la somme de celle-ci et d’un multiple d’une autre équation.
• Type II : Échanger deux équations entre elles.
• Type III : Multiplier une équation par un élément non nul du corps K.

Ces opérations permettent de simplifier le système tout en conservant ses solutions.

Notation matricielle

On associe au système la matrice des coefficients A = (aij) de taille m × n :

A = | a11 ... a1n |
    | ...        |
    | am1 ... amn |

On forme aussi la matrice complète en ajoutant la colonne des termes indépendants :

| a11 ... a1n | b1 |
| ...        | ...|
| am1 ... amn | bm |

Les opérations élémentaires sur les équations correspondent à des opérations sur les lignes de cette matrice complète :

• Remplacer une ligne par la somme de celle-ci et d’un multiple d’une autre ligne.
• Échanger deux lignes.
• Multiplier une ligne par un élément non nul.

Matrice à lignes échelonnées

Par une suite d’opérations élémentaires, toute matrice peut être transformée en une matrice dite à lignes échelonnées, où le nombre d’éléments nuls en début de ligne augmente strictement de ligne en ligne, sauf pour les lignes nulles qui sont regroupées en bas.

Dans une ligne non nulle, le premier élément non nul est appelé pivot.

Exemple : La matrice suivante est à lignes échelonnées :

0 1 0 1 2 0
0 0 0 6 7 8
0 0 0 0 9 10
0 0 0 0 0 0

Les pivots sont ici les éléments 1 (de la 1ère ligne), 6 (2ème ligne) et 9 (3ème ligne).

Procédé d’échelonnement

La méthode consiste à choisir un pivot non nul dans la première colonne non nulle, puis à annuler tous les autres éléments de cette colonne par des opérations élémentaires. On répète ensuite la procédure sur la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne et la colonne du pivot.

On peut également permuter les lignes pour amener le pivot en haut.

Forme réduite de Gauss-Jordan

En poursuivant les opérations élémentaires, on peut obtenir une matrice à lignes échelonnées dont tous les pivots valent 1 et où toutes les entrées au-dessus des pivots sont nulles. Cette forme est appelée forme réduite de Gauss-Jordan.

Cette forme est unique pour une matrice donnée.

Résolution des systèmes linéaires

Après réduction de la matrice complète du système en forme réduite de Gauss-Jordan, on peut déterminer :

• Si une ligne non nulle a un pivot dans la colonne des termes indépendants (dernière colonne), le système est incompatible (pas de solution).
• Sinon, on identifie les variables correspondant aux colonnes de pivots (variables principales) et les autres variables libres.
• Les variables principales s’expriment en fonction des variables libres, qui peuvent prendre des valeurs arbitraires.

Si le rang r (nombre de pivots) est égal au nombre d’inconnues n, la solution est unique.

Systèmes homogènes

Un système est homogène si tous les termes indépendants sont nuls :

a11x1 + ... + a1nxn = 0
...
am1x1 + ... + amnxn = 0

Il admet toujours la solution triviale x1 = ... = xn = 0. Si le rang r est inférieur à n, il existe des solutions non triviales obtenues en fixant certaines variables libres.

Exemple de résolution

Considérons le système réel :

x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x1 + 2x2 + 2x3       = 6
x1 + x2              = 3
x1                   = 2

On écrit la matrice complète :

| 1  -2  -3  4 | 1 |
| 1   2   2  0 | 6 |
| 1   1   0  0 | 3 |
| 1   0   0  0 | 2 |

Par opérations élémentaires, on réduit cette matrice en forme échelonnée puis réduite, ce qui permet de déterminer les valeurs de x1, x2, x3, x4 satisfaisant le système.

Matrices

Soit K un corps commutatif. On note Km×n l’ensemble des matrices de taille m × n à coefficients dans K, c’est-à-dire les tableaux rectangulaires à m lignes et n colonnes.

Deux matrices A = (aij) et B = (bij) sont égales si et seulement si aij = bij pour tous i, j.

Les matrices avec une seule ligne sont appelées matrices-lignes, celles avec une seule colonne matrices-colonnes. Les matrices carrées ont le même nombre de lignes et de colonnes. La diagonale principale d’une matrice carrée est constituée des éléments aii.

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont toutes les entrées hors diagonale principale sont nulles.

Quelques matrices particulières :

• 0m;n : matrice nulle de taille m × n, toutes ses entrées sont nulles.
• In : matrice identité carrée d’ordre n, définie par (δij) où δij = 1 si i = j, 0 sinon (symbole de Kronecker).

Opérations matricielles

• Addition : Pour A = (aij) et B = (bij) dans Km×n, la somme est (aij + bij).
• Multiplication par un scalaire : Pour λ ∈ K, λA = (λaij).
• Multiplication matricielle : Pour A ∈ Km×n et B ∈ Kn×p, le produit AB ∈ Km×p est défini par :

(AB)ij = Σ (k=1 to n) aik * bkj

• Les propriétés usuelles sont vérifiées :
• Associativité : (AB)C = A(BC)
• Identité : AIn = A = ImA
• Distributivité sur l’addition
• Multiplication par un scalaire compatible

En général, la multiplication matricielle n’est pas commutative : AB ≠ BA.

Les matrices scalaires λIn commutent avec toutes les matrices carrées d’ordre n.

Il existe des matrices non nulles dont le produit est nul :

|0 1|   |0 1|   |0 0|
|0 0| * |0 0| = |0 0|

Notation matricielle des systèmes linéaires

Le système linéaire s’écrit de façon compacte :

A X = b

où A est la matrice des coefficients, X la matrice-colonne des inconnues, et b la matrice-colonne des termes indépendants.

Opérations par blocs

Si m et n se décomposent en sommes d’entiers strictement positifs :

m = m1 + ... + mr
n = n1 + ... + ns

Alors une matrice A de taille m × n peut être vue comme une matrice r × s dont chaque entrée est une matrice bloc de taille mi × nj.

Exemple : Pour m = 4, n = 6, avec décompositions m = 1 + 2 + 1 et n = 2 + 4, la matrice A s’écrit :

A = | A11  A12 |
    | A21  A22 |
    | A31  A32 |

où chaque Aij est un bloc matriciel correspondant à un sous-tableau de A.

Propriétés des opérations sur matrices en blocs

Les opérations matricielles usuelles s’appliquent aussi aux matrices décomposées en blocs, comme si les blocs étaient des éléments :

• La somme de matrices en blocs s’obtient en sommant les blocs correspondants.
• Le produit matriciel s’obtient en multipliant et sommant les blocs selon la règle habituelle.

Cette propriété facilite le calcul et la compréhension des opérations matricielles complexes.

Glossaire des termes clés

• Corps (K) : ensemble muni d’additions, multiplications, inverses, où les opérations sont commutatives.
• Système linéaire : ensemble d’équations linéaires à résoudre simultanément.
• Opérations élémentaires : transformations sur les équations qui conservent l’ensemble des solutions (types I, II, III).
• Matrice des coefficients : tableau des coefficients aij d’un système linéaire.
• Matrice complète : matrice des coefficients augmentée de la colonne des termes indépendants.
• Ligne échelonnée : matrice où les zéros initiaux par ligne augmentent strictement de haut en bas.
• Pivot : premier élément non nul d’une ligne dans une matrice échelonnée.
• Forme réduite de Gauss-Jordan : matrice échelonnée avec pivots égaux à 1 et zéros au-dessus des pivots.
• Rang : nombre de lignes non nulles dans une matrice échelonnée, invariant du système.
• Variable principale : variable correspondant à une colonne pivot.
• Variable libre : variable ne correspondant pas à une colonne pivot, pouvant prendre des valeurs arbitraires.
• Système homogène : système linéaire avec tous les termes indépendants nuls.
• Matrice carrée : matrice avec même nombre de lignes et de colonnes.
• Matrice diagonale : matrice carrée avec des zéros hors de la diagonale principale.
• Matrice identité (In) : matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et 0 ailleurs.
• Produit matriciel : multiplication de matrices définie par la somme des produits des entrées correspondantes.
• Bloc matriciel : sous-matrice utilisée dans la décomposition d’une matrice en blocs.

Points clés à retenir

• Les opérations élémentaires sur les équations permettent de simplifier un système sans changer ses solutions.
• La réduction en forme échelonnée puis en forme réduite de Gauss-Jordan est la méthode standard pour résoudre un système linéaire.
• Le rang d’une matrice est un invariant fondamental qui détermine la nature des solutions du système.
• Un système homogène admet toujours la solution triviale, et des solutions non triviales si le rang est inférieur au nombre d’inconnues.
• La multiplication matricielle n’est pas commutative, mais elle est associative et distributive.
• La notation matricielle permet d’écrire et manipuler les systèmes linéaires de manière compacte et efficace.
• La décomposition en blocs facilite le calcul matriciel en traitant des sous-matrices comme des éléments.