Systèmes Linéaires et Matrices

0 0

0

0 0

C

C

C

C

A

;

les pivots (des lignes non nulles) sont a12 = 1, a24 = 6 et a35 = 9. En revanche, la matrice suivante

n’est pas (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees :

0

B

B

@

1

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2

3

4

0

C

C

A :

D(cid:19)emonstration du th(cid:19)eor(cid:18)eme : Soit A = (aij)

16i6m

16j6n

une matrice arbitraire. La strat(cid:19)egie de

la d(cid:19)emonstration consiste (cid:18)a faire appara^(cid:16)tre des entr(cid:19)ees nulles successivement en dessous des premi(cid:18)eres

entr(cid:19)ees non nulles de chaque ligne.

Si la premi(cid:18)ere colonne est nulle, elle le reste lorsque l’on e(cid:11)ectue des op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur

les lignes de la matrice. On peut donc la supprimer (mentalement) et porter son attention sur la

deuxi(cid:18)eme colonne. Bien entendu, si toutes les colonnes de la matrice sont nulles | c’est-(cid:18)a-dire si la

matrice est nulle | alors la matrice est (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees.

Si la premi(cid:18)ere colonne n’est pas nulle, on choisit3 un (cid:19)el(cid:19)ement non nul de cette colonne, qui

deviendra le premier pivot de la matrice (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees. Supposons avoir choisi l’entr(cid:19)ee de la

k-(cid:18)eme ligne : ak1 6= 0. Par des op(cid:19)erations de type I sur les lignes, on peut faire appara^(cid:16)tre des 0 (cid:18)a la

place de toutes les autres entr(cid:19)ees de la premi(cid:18)ere colonne : en e(cid:11)et, si l’on remplace la ‘-(cid:18)eme ligne L‘

(pour ‘ 6= k) par la somme de celle-ci et de la k-(cid:18)eme ligne Lk multipli(cid:19)ee par −a‘1a−1

k1 , on transforme

la matrice A en la matrice A0 = (a0

ij )i;j telle que

‘j = a‘j + akj (−a‘1a−1

a0

k1 ) pour j = 1; : : : ; n

2car la ligne qui suit une ligne nulle ne peut (cid:19)evidemment contenir plus de n entr(cid:19)ees !

3Dans les calculs num(cid:19)eriques, il y a avantage (cid:18)a choisir l’entr(cid:19)ee la plus grande en valeur absolue, a(cid:12)n de minimiser

l’e(cid:11)et des erreurs d’arrondi.

1. SYST (cid:18)EMES D’(cid:19)EQUATIONS ALG (cid:19)EBRIQUES LIN (cid:19)EAIRES

4

et

En particulier, a0

‘1 = 0 :

0

B

B

B

B

B

B

B

@

A =

...

a‘1

...

ak1

...

a0

ij = aij pour i 6= ‘ et j = 1; : : : ; n:

...

(cid:3)

...

(cid:3)

...

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

1

C

C

C

C

C

C

C

A

...

(cid:3)

...

(cid:3)

...

(cid:0)

(cid:1)

a‘1

ak1

L‘;L‘−Lk

−!

0

B

B

B

B

B

B

B

@

...

0

...

ak1

...

...

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

...

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

...

1

C

C

C

C

C

C

C

A

...

(cid:3)

...

(cid:3)

...

= A0:

Apr(cid:18)es avoir ainsi op(cid:19)er(cid:19)e sur toutes les lignes autres que la k-(cid:18)eme, on obtient une matrice dont la

premi(cid:18)ere colonne ne contient qu’un seul (cid:19)el(cid:19)ement non nul, (cid:18)a savoir ak1 (cid:18)a la k-(cid:18)eme ligne :

0

B

B

B

B

B

B

@

0

...

ak1

...

0

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

...

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

...

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3)

...

(cid:3)

...

(cid:3)

1

C

C

C

C

C

C

A

:

Pour faire appara^(cid:16)tre cette entr(cid:19)ee (cid:18)a la premi(cid:18)ere ligne (si elle n’y est pas d(cid:19)ej(cid:18)a), il su(cid:14)t d’(cid:19)echanger la

premi(cid:18)ere et la k-(cid:18)eme ligne.

Apr(cid:18)es ces op(cid:19)erations, on obtient une matrice A00 dont la premi(cid:18)ere colonne est conforme (cid:18)a ce que

l’on attend d’une matrice (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees, puisque toutes les entr(cid:19)ees de la premi(cid:18)ere colonne sont

nulles (cid:18)a l’exception de la premi(cid:18)ere :

A −! A00 =

B

B

B

@

0

1

C

C

C

A :

(cid:3) (cid:3)

0 (cid:3)

...

...

0 (cid:3)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3)

(cid:3)

...

(cid:3)

Pour poursuivre l’(cid:19)echelonnement, on n’a plus besoin de faire intervenir la premi(cid:18)ere ligne ; on peut

donc la supprimer mentalement, ainsi que la premi(cid:18)ere colonne puisque ce qu’il en reste apr(cid:18)es avoir

retir(cid:19)e la premi(cid:18)ere ligne est constitu(cid:19)e de 0 :

0

A00 =

B

B

B

@

(cid:3) (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

...

...

0 (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3)

(cid:3)

...

(cid:3)

1

0

C

C

C

A =

B

B

B

@

(cid:3)

0

...

0

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3)

1

C

C

C

A :

B

On est ainsi ramen(cid:19)e (cid:18)a une matrice B plus petite, sur les lignes de laquelle on reprend les op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)e-

mentaires. Bien entendu, les op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur les lignes de B correspondent (cid:18)a des op(cid:19)erations

(cid:19)el(cid:19)ementaires sur les lignes de A00 puisque les lignes de B deviennent des lignes de A00 lorsqu’on les fait

pr(cid:19)ec(cid:19)eder d’un 0. En poursuivant ainsi de suite, supprimant (cid:18)a chaque fois une colonne et une ligne (ou

seulement une colonne dans le cas o(cid:18)u la premi(cid:18)ere colonne (cid:18)a consid(cid:19)erer est nulle) jusqu’(cid:18)a ce qu’il n’en

2

reste plus, on obtient (cid:12)nalement une matrice (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees.

La matrice (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees produite par le proc(cid:19)ed(cid:19)e indiqu(cid:19)e dans la d(cid:19)emonstration n’est nullement

d(cid:19)etermin(cid:19)ee de mani(cid:18)ere unique ; elle d(cid:19)epend (notamment) du choix des pivots, comme le montrent les

exemples suivants (o(cid:18)u le pivot est encadr(cid:19)e) :

0

1

0

B

B

@

1

2

1

1

1

0

1

1

1

0

2 −1

C

C

A !

B

B

@

1

0

0

0

1

−1

−1

1

0

1

1

−1

1

0

C

C

A !

B

B

@

1

C

C

A

1

0

0

0

1

−1

0

0

0

1

0

0

1. SYST (cid:18)EMES D’(cid:19)EQUATIONS ALG (cid:19)EBRIQUES LIN (cid:19)EAIRES

5

et

0

B

B

@

1

0

C

C

A !

B

B

@

1

2

1

1

0

1

1

1

0

1

2 −1

0

0

2

0 −1=2

0

1=2 −1=2

1

1

1=2

3=2 −3=2

0

1

1

C

C

A

L1;L1+L2

−!

B

B

B

@

!

3=2

2

0 −1=2

0 −1=2

0

1=2

1=2

1=2

3=2 −3=2

C

C

C

A

B

B

B

@

!

2

0

0

0

1=2

0

0

3=2

0

0

3=2 −3=2

0

B

B

@

1

C

C

C

A

1

C

C

A

L2;L2−L1

−!

3=2

1

2

2

0 −1=2

0

1=2

1

1=2

3=2 −3=2

0

B

B

B

@

!

1

C

C

C

A :

2

0

0

0

1=2

3=2

3=2 −3=2

0

0

0

0

En revanche, on montre au x6 que le nombre de lignes non nulles de la matrice (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees

est un invariant de la matrice donn(cid:19)ee (c’est son rang).

Apr(cid:18)es avoir (cid:19)echelonn(cid:19)e les lignes d’une matrice, on peut encore poursuivre les op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)emen-

taires pour annuler les entr(cid:19)ees situ(cid:19)ees au-dessus des pivots. En utilisant les op(cid:19)erations de type III qui

consistent (cid:18)a multiplier chaque ligne non nulle par l’inverse de son pivot, on parvient (cid:12)nalement (cid:18)a une

matrice (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees dont tous les pivots sont (cid:19)egaux (cid:18)a 1 et toutes les entr(cid:19)ees situ(cid:19)ees au-dessus4

d’un pivot sont nulles :

0

B

B

@

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 1 (cid:3)

0 0 0

0 0 0

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3)

0

0

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3) 0 (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3) 0 (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 1 (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0

1

0

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

1

C

C

A :

Une telle matrice est dite sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan.

On a ainsi prouv(cid:19)e un r(cid:19)esultat plus pr(cid:19)ecis :

1.2. Corollaire. Par une suite d’op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur les lignes, on peut transformer

toute matrice en une matrice sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan.

On peut prouver que la matrice sous forme r(cid:19)eduite obtenue (cid:18)a partir d’une matrice A donn(cid:19)ee est

d(cid:19)etermin(cid:19)ee de mani(cid:18)ere unique par A. Comme ce r(cid:19)esultat n’est pas indispensable pour la suite, sa

d(cid:19)emonstration est laiss(cid:19)ee (cid:18)a la sagacit(cid:19)e du lecteur5.

1.4. Solution de syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires

Revenons au probl(cid:18)eme initial, qui consiste (cid:18)a r(cid:19)esoudre un syst(cid:18)eme de m (cid:19)equations en n inconnues

a11x1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + a1nxn = b1

8

><

>:

am1x1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + amnxn = bm:

...

Par des op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur les (cid:19)equations de ce syst(cid:18)eme ou, ce qui revient au m^eme, sur les

lignes de la matrice compl(cid:18)ete, on obtient un syst(cid:18)eme qui a les m^emes solutions et dont la matrice

compl(cid:18)ete est sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan. Il est facile de reconna^(cid:16)tre si un tel syst(cid:18)eme admet

des solutions6 :

{ les lignes nulles de la matrice compl(cid:18)ete correspondent (cid:18)a des (cid:19)equations

0x1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + 0xn = 0;

on peut donc les n(cid:19)egliger et ne s’int(cid:19)eresser qu’aux lignes non nulles. Soit r le nombre de ces

lignes ;

4Celles qui sont situ(cid:19)ees en dessous d’un pivot sont nulles par d(cid:19)e(cid:12)nition d’une matrice (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees.

5Il est toutefois conseill(cid:19)e de chercher l’inspiration dans le x6.

6En pratique, il n’est d’ailleurs pas n(cid:19)ecessaire de poursuivre les op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires au-del(cid:18)a du moment o(cid:18)u la

matrice du syst(cid:18)eme est (cid:18)a lignes (cid:19)echelonn(cid:19)ees.

1. SYST (cid:18)EMES D’(cid:19)EQUATIONS ALG (cid:19)EBRIQUES LIN (cid:19)EAIRES

6

{ si le dernier pivot (c’est-(cid:18)a-dire le r-(cid:18)eme) est dans la derni(cid:18)ere colonne (c’est-(cid:18)a-dire la n + 1-(cid:18)eme),

qui est la colonne des termes ind(cid:19)ependants, alors la derni(cid:18)ere (cid:19)equation non triviale est

0x1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + 0xn = 1;

le syst(cid:18)eme n’admet donc pas de solution ;

{ si le dernier pivot n’est pas dans la derni(cid:18)ere colonne : soient j1; : : : ; jr les indices des colonnes

de pivots, de sorte que 1 6 j1 < j2 < (cid:1) (cid:1) (cid:1) < jr 6 n et que la matrice compl(cid:18)ete soit du type

j1

#

1

0

0 0

0 0

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

j2

#

(cid:3)

(cid:3)

0

0 1 (cid:3)

0 0 0

0

B

B

B

B

@

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 0

0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 0 0

j3

#

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0

0 (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

1 (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

jr

#

(cid:3)

0

(cid:3) 0

(cid:3) 0

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 1

(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

1

C

C

C

C

A

:

(cid:3)

(cid:3)

(cid:3)

(cid:3)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:3)

(cid:3)

0

0

En faisant passer dans les membres de droite des (cid:19)equations correspondantes les variables d’in-

dice 6= j1; : : : ; jr, on met le syst(cid:18)eme sous la forme

8

>>><

>>>:

a0

1jxj + b0

2jxj + b0

a0

j6=j1;::: ;jr

j6=j1;::: ;jr

P

P

P

1

2

xj1 = −

xj2 = −

...

xjr = −

j6=j1;::: ;jr

rj xj + b0

a0

r:

C’est un syst(cid:18)eme qui donne les valeurs des variables xj1; : : : ; xjr en fonction des autres. Les

solutions s’obtiennent en donnant aux variables d’indice 6= j1; : : : ; jr des valeurs arbitraires et

aux variables xj1; : : : ; xjr les valeurs donn(cid:19)ees par le syst(cid:18)eme ci-dessus.

En particulier, si r = n, la matrice compl(cid:18)ete sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan est de la forme

B

B

B

@

et la solution est unique :

Syst(cid:18)emes homog(cid:18)enes. Un syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires est dit homog(cid:18)ene si les seconds

membres b1; : : : ; bm sont tous nuls. Un tel syst(cid:18)eme est donc de la forme

8

><

a11x1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + a1nxn = 0

>:

am1x1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + amnxn = 0:

Il admet toujours la solution triviale x1 = (cid:1) (cid:1) (cid:1) = xn = 0. Pour d(cid:19)eterminer s’il en existe d’autres, on

proc(cid:18)ede comme pour les autres syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires. La derni(cid:18)ere colonne de la

matrice compl(cid:18)ete est nulle, et elle reste nulle lorsque l’on e(cid:11)ectue des op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur les

lignes. Le syst(cid:18)eme r(cid:19)eduit est donc de la forme

0

1 0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0 1 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

...

...

. . .

0 0 (cid:1) (cid:1) (cid:1)

0

0

...

1

b0

1

b0

2

...

b0

r

8

><

>:

x1 = b0

1

...

xr = b0

r:

1

C

C

C

A

...

8

>>><

>>>:

xj1 = −

xj2 = −

...

xjr = −

P

P

j6=j1;::: ;jr

j6=j1;::: ;jr

a0

1jxj

a0

2jxj

P

j6=j1;::: ;jr

a0

rj xj

o(cid:18)u r est le nombre de pivots (ou, ce qui revient au m^eme, le nombre de lignes non nulles de la matrice

sous forme r(cid:19)eduite de Gauss{Jordan). Si r = n, la solution est unique (et est triviale). Si r < n, il

1. SYST (cid:18)EMES D’(cid:19)EQUATIONS ALG (cid:19)EBRIQUES LIN (cid:19)EAIRES

7

y a des solutions non triviales, qui s’obtiennent en donnant aux variables d’indice 6= j1; : : : ; jr des

valeurs arbitraires (non toutes nulles) et aux variables xj1; : : : ; xjr les valeurs donn(cid:19)ees par le syst(cid:18)eme

ci-dessus.

La suite du cours a pour objectif de mettre au point et de d(cid:19)evelopper le cadre th(cid:19)eorique dans lequel

s’ins(cid:18)erent naturellement les r(cid:19)esultats pr(cid:19)ec(cid:19)edents. En particulier, on verra que le nombre r d’(cid:19)equations

non nulles du syst(cid:18)eme r(cid:19)eduit ne d(cid:19)epend pas de la mani(cid:18)ere dont la r(cid:19)eduction a (cid:19)et(cid:19)e e(cid:11)ectu(cid:19)ee et qu’il

admet une interpr(cid:19)etation g(cid:19)eom(cid:19)etrique susceptible de s’appliquer (cid:18)a des situations tr(cid:18)es diverses.

Exercices

On trouvera un choix d’exercices (cid:18)a la (cid:12)n de chaque section. Certains de ces exercices sont not(cid:19)es

\pr(cid:19)erequis". Cela signi(cid:12)e qu’ils sont d’un niveau tr(cid:18)es (cid:19)el(cid:19)ementaire ; ne pas ^etre capable de les r(cid:19)esoudre

doit ^etre consid(cid:19)er(cid:19)e comme une \sonnette d’alarme". (cid:18)A l’oppos(cid:19)e, d’autres exercices sont not(cid:19)es \pour

aller plus loin". Ceux-l(cid:18)a sont plus int(cid:19)eressants car moins routiniers. Mais ils peuvent poser di(cid:14)cult(cid:19)e

car ils mettent en jeu des objets plus abstraits, et/ou que leur r(cid:19)esolution est plus astucieuse. Il ne faut

pas s’inqui(cid:19)eter si l’on est incapable de les r(cid:19)esoudre.

(1.1) Trouvez les solutions r(cid:19)eelles du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :

x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = 1

x1 + 2x2 + 2x3 = 6

x1 + x2 = 3

x1 = 2:

(1.2) Trouvez les solutions complexes du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :

x + iy + (1 + i)z − t = 1

x + y = 0

(1 + i)x + (i − 1)z − it = 1:

(1.3) Trouvez les solutions r(cid:19)eelles du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :

x − y + 2z = 1

2x + y − z = 0

3x + z = 1

5x + y = 1:

(1.4) Trouvez les solutions r(cid:19)eelles du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :

x + 2y − 3z = 0

−x + y + z = 0

4x − 2y + z = 0:

(1.5) Trouvez les solutions r(cid:19)eelles du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations suivant :

3x1 + 2x2 + x3 − x4 − x5 = 0

x1 − x2 − x3 − x4 + 2x5 = 0

−x1 + 2x2 + 3x3 + x4 − x5 = 0:

(1.6) Quel est l’ensemble des polyn^omes P tels que (X2 + X + 1) (cid:1) P = 2X4 + 3X3 + 6X2 + 4X + 3 ?

(1.7) Notons N le nombre de solutions d’un syst(cid:18)eme de n (cid:19)equations lin(cid:19)eaires (cid:18)a m inconnues. On sait

que N 2 f0; 1; 1g. Quelles sont les valeurs possibles de N

{ si n < m ?

{ si n = m ?

{ si n > m ?

Dans les trois cas, donner un exemple de syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations ayant N solutions pour chaque valeur

possible de N , et si certaines valeurs de N sont impossibles, justi(cid:12)ez-le.

(1.8) Discutez, en fonction de la valeur du r(cid:19)eel k, le nombre de solutions r(cid:19)eelles du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations

suivant :

2. MATRICES

8

x + 2y − z = 4

2x + 5y + z = k

x + 3y + (k2 + 1)z = 5k:

M^eme question pour le nombre de solutions complexes, k pouvant prendre des valeurs complexes.

(1.9) G(cid:19)erard Mambont s’est entra^(cid:16)n(cid:19)e (cid:18)a e(cid:11)ectuer plusieurs op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires simultan(cid:19)ement

pour r(cid:19)esoudre plus vite les syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations. Il transforme le syst(cid:18)eme

(cid:26)

I

x1 + 2x2 − x3 + x4 = 1

x1 − x2 + x3 + x4 = 0

en rempla(cid:24)cant la premi(cid:18)ere ligne L1 par L1 − L2 et la ligne L2 par L2 − L1. Il obtient le syst(cid:18)eme

(cid:26)

II

3x2 − 2x3 = 1

−3x2 + 2x3 = −1;

dont les solutions sont tous les quadruplets (x1; 1

3 (1 + 2x3); x3; x4) o(cid:18)u x1, x3, x4 sont arbitraires. Sa

copine Jenny Croix-Guerre lui fait remarquer que (1; 1; 1; 0) est solution du syst(cid:18)eme II mais non de

I. O(cid:18)u est l’erreur ?

(1.10) (pour aller plus loin) Soit un syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations lin(cid:19)eaires (cid:18)a coe(cid:14)cients r(cid:19)eels. Prouvez que

si ce syst(cid:18)eme n’a pas de solutions r(cid:19)eelles, alors il n’a pas non plus de solutions complexes.

Les op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires dont il a (cid:19)et(cid:19)e question dans la premi(cid:18)ere section admettent une in-

terpr(cid:19)etation tr(cid:18)es simple en termes de multiplication matricielle. Pour la donner, on commence par

rappeler les d(cid:19)e(cid:12)nitions fondamentales.

2. Matrices

Soit K un corps commutatif arbitraire. On note Km(cid:2)n l’ensemble des matrices m(cid:2)n (ou de genre

(m; n)) sur K, c’est-(cid:18)a-dire l’ensemble des tableaux rectangulaires (cid:18)a m lignes et n colonnes dont les

entr(cid:19)ees sont des (cid:19)el(cid:19)ements de K. L’(cid:19)egalit(cid:19)e de deux matrices A = (aij)

dans

et B = (bij)

16i6m

16j6n

16i6m

16j6n

Km(cid:2)n revient (cid:18)a l’(cid:19)egalit(cid:19)e de chacune de leurs entr(cid:19)ees :

A = B si et seulement si aij = bij pour tout i = 1; : : : ; m et tout j = 1; : : : ; n.

Les matrices qui n’ont qu’une seule ligne (resp. colonne) sont appel(cid:19)ees matrices-lignes (resp. matrices-

colonnes). Les matrices dont le nombre de lignes est (cid:19)egal au nombre de colonnes sont appel(cid:19)ees matrices

carr(cid:19)ees. L’ordre d’une matrice carr(cid:19)ee est le nombre de ses lignes ou de ses colonnes. La diagonale prin-

cipale d’une matrice carr(cid:19)ee est form(cid:19)ee des entr(cid:19)ees dont les indices sont (cid:19)egaux. Une matrice diagonale

est une matrice carr(cid:19)ee dont toutes les entr(cid:19)ees hors de la diagonale principale sont nulles.

Matrices particuli(cid:18)eres :

{ 0m;n est la matrice nulle de genre (m; n), dont toutes les entr(cid:19)ees sont nulles.

{ In est la matrice unit(cid:19)e d’ordre n, d(cid:19)e(cid:12)nie par

o(cid:18)u

In = ((cid:14)ij )16i;j6n

(cid:26)

(cid:14)ij =

0

1

si i 6= j

si i = j:

La fonction (cid:14)ij ainsi d(cid:19)e(cid:12)nie est appel(cid:19)ee symbole de Kronecker.

2. MATRICES

9

2.1. Op(cid:19)erations matricielles

{ La somme de deux matrices m (cid:2) n est d(cid:19)e(cid:12)nie par

{ Le produit d’une matrice m (cid:2) n par un (cid:19)el(cid:19)ement de K est d(cid:19)e(cid:12)ni par

(aij )i;j + (bij)i;j = (aij + bij)i;j:

(cid:11) (aij )i;j = ((cid:11)aij)i;j :

{ Le produit d’une matrice m (cid:2) n et d’une matrice n (cid:2) p est une matrice m (cid:2) p d(cid:19)e(cid:12)nie par

(aij )

16i6m

16j6n

(cid:1) (bij)

16i6n

16j6p

= (cij)

16i6m

16j6p

o(cid:18)u

nX

cij =

aikbkj

pour i = 1; : : : ; m et j = 1; : : : ; p.

k=1

Les propri(cid:19)et(cid:19)es suivantes s’(cid:19)etablissent par des v(cid:19)eri(cid:12)cations directes :

1. Propri(cid:19)et(cid:19)es de l’addition : pour A; B; C 2 Km(cid:2)n,

(A + B) + C = A + (B + C)

A + B = B + A

A + 0m;n = A = 0m;n + A

A + (−1)A = 0m;n = (−1)A + A

2. Propri(cid:19)et(cid:19)es de la multiplication par un (cid:19)el(cid:19)ement de K : pour A; B 2 Km(cid:2)n et (cid:11); (cid:12) 2 K,

(cid:11) (A + B) = (cid:11) A + (cid:11) B

((cid:11) + (cid:12)) A = (cid:11) A + (cid:12) A

((cid:11)(cid:12)) A = (cid:11) ((cid:12) A)

1 A = A

3. Propri(cid:19)et(cid:19)es de la multiplication matricielle : pour A 2 Km(cid:2)n, B 2 Kn(cid:2)p et C 2 Kp(cid:2)q,

(AB)C = A(BC)

A In = A = Im A

4. Propri(cid:19)et(cid:19)es mixtes : pour A; A0 2 Km(cid:2)n, B; B0 2 Kn(cid:2)p et (cid:11) 2 K,

(A + A0) B = AB + A0B

A (B + B0) = AB + AB0

((cid:11) A) B = (cid:11) (A B) = A ((cid:11) B):

En revanche, le produit des matrices n’est pas commutatif : en g(cid:19)en(cid:19)eral, AB 6= BA (d’ailleurs, si

A 2 Km(cid:2)n et B 2 Kn(cid:2)p, le produit BA n’est d(cid:19)e(cid:12)ni que si p = m). Cependant, d’apr(cid:18)es la derni(cid:18)ere

des propri(cid:19)et(cid:19)es (cid:19)enonc(cid:19)ees ci-dessus, les matrices de la forme (cid:11) In pour (cid:11) 2 K, que l’on appelle matrices

scalaires, commutent avec toutes les matrices carr(cid:19)ees d’ordre n : pour A 2 Kn(cid:2)n et (cid:11) 2 K,

((cid:11) In)A = (cid:11) A = A ((cid:11) In):

Il faut remarquer de plus que les matrices n’admettent pas toutes un inverse pour la multiplication

(voir la section 2.4 ci-dessous) et qu’un produit matriciel peut ^etre nul sans qu’aucun des facteurs ne

soit nul ; par exemple,

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

0 1

0 0

(cid:1)

0 1

0 0

=

0 0

0 0

:

La multiplication matricielle permet de noter sous une forme particuli(cid:18)erement compacte les

2. MATRICES

10

syst(cid:18)emes d’(cid:19)equations alg(cid:19)ebriques lin(cid:19)eaires. En e(cid:11)et, le syst(cid:18)eme de m (cid:19)equations (cid:18)a n inconnues

>:

s’(cid:19)ecrit simplement

o(cid:18)u

8

><

a11x1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + a1nxn = b1

am1x1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + amnxn = bm

...

A (cid:1) X = b

0

B

@

a11

...

am1

A =

1

C

A

a1n

...

amn

1

C

A

1

C

A

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

(cid:1) (cid:1) (cid:1)

x1

...

xn

b1

...

bm

est la matrice des coe(cid:14)cients du syst(cid:18)eme,

est la matrice-colonne des inconnues, et

0

B

@

X =

0

B

@

b =

est la matrice-colonne des termes ind(cid:19)ependants.

2.2. Op(cid:19)erations par blocs

Si les entiers m et n sont d(cid:19)ecompos(cid:19)es en sommes d’entiers strictement positifs

m = m1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + mr

n = n1 + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + ns

toute matrice de genre (m; n) peut ^etre consid(cid:19)er(cid:19)ee comme une matrice r (cid:2) s dont l’entr(cid:19)ee d’indices

i; j est une matrice de genre (mi; nj) que l’on appelle bloc. Ainsi, par exemple, pour m = 4 et n = 6,

aux d(cid:19)ecompositions

4 = 1 + 2 + 1

6 = 2 + 4

correspond la d(cid:19)ecomposition suivante d’une matrice arbitraire A de genre (4; 6) :

1

0

0

1

B

B

@

A =

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

C

C

A =

@

A11 A12

A21 A22

A31 A32

A

o(cid:18)u

(cid:0)

(cid:18)

(cid:0)

A11 =

A21 =

A31 =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

a41 a42

(cid:1)

(cid:19)

(cid:1)

(cid:0)

(cid:18)

(cid:0)

A12 =

A22 =

A32 =

a13 a14 a15 a16

a23 a24 a25 a26

a33 a34 a35 a36

a43 a44 a45 a46

(cid:1)

(cid:19)

(cid:1)

:

Les d(cid:19)ecompositions les plus fr(cid:19)equemment utilis(cid:19)ees sont la d(cid:19)ecomposition par lignes :

0

B

B

B

@

A =

a11

a21

<...