Systèmes de numération

Cette leçon porte sur les systèmes de numération, un sujet fondamental en informatique et en mathématiques. Elle fait partie d'un cours d'introduction aux bases numériques utilisées dans les ordinateurs, en expliquant les différents systèmes de numération, leurs conversions, ainsi que les opérations arithmétiques dans ces systèmes.

Les systèmes de numération : définition et introduction

Un système de numération est une méthode pour représenter les nombres à l'aide d'un ensemble de symboles distincts, appelés alphabet. Chaque système est défini par :

• Un alphabet A, c'est-à-dire l'ensemble des symboles ou chiffres utilisés.
• Des règles d'écriture des nombres, généralement la juxtaposition de ces symboles.

Le nombre de symboles distincts utilisés dans un système est appelé la base de ce système. Par exemple, le système décimal utilise dix symboles {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} et a donc une base 10. D'autres systèmes courants sont le système binaire (base 2), le système octal (base 8) et le système hexadécimal (base 16).

Dans les ordinateurs, toutes les informations sont représentées sous forme binaire, c’est-à-dire par des suites finies de 0 et de 1, appelés bits (Binary digIT).

Le système décimal

Le système décimal est celui que nous utilisons habituellement. Il repose sur dix symboles distincts. Un nombre décimal peut être exprimé sous forme polynomiale, c’est-à-dire comme une somme de puissances de 10 multipliées par les chiffres correspondants.

Par exemple, le nombre 1978 s’écrit :

1978 = 1×10^3 + 9×10^2 + 7×10^1 + 8×10^0

De même, un nombre réel avec partie fractionnaire, comme 1978,265, s’écrit :

1978,265 = 1×10^3 + 9×10^2 + 7×10^1 + 8×10^0 + 2×10^-1 + 6×10^-2 + 5×10^-3

Le comptage en décimal sur n positions permet de représenter des nombres allant de 0 à 10^n - 1, avec 10^n combinaisons possibles.

Le système binaire

Le système binaire utilise uniquement deux symboles : {0, 1}. Chaque chiffre binaire est appelé un bit. Un nombre binaire peut également être exprimé sous forme polynomiale, comme une somme de puissances de 2 multipliées par les bits correspondants.

Par exemple, le nombre binaire (1110)2 correspond à :

(1110)2 = 1×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 (en décimal)

Le comptage en binaire sur n bits permet de représenter 2^n combinaisons, allant de 0 à 2^n - 1.

Un exemple illustratif : pour représenter le nombre 14 en base 2, on forme des groupes successifs de 2 jetons, ce qui donne la représentation binaire 1110.

Les systèmes octal et hexadécimal

Le système octal utilise huit symboles : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Par exemple, le nombre (127)8 s’écrit :

(127)8 = 1×8^2 + 2×8^1 + 7×8^0 = 64 + 16 + 7 = 87 (en décimal)

Le système hexadécimal utilise seize symboles : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}, où A à F représentent respectivement les valeurs 10 à 15. Par exemple :

(1A7)16 = 1×16^2 + 10×16^1 + 7×16^0 = 256 + 160 + 7 = 423 (en décimal)

Dans ces systèmes, chaque symbole doit avoir une valeur strictement inférieure à la base.

Conversion entre bases

Conversion d’une base X vers la base 10

Pour convertir un nombre d’une base quelconque X vers la base 10, on effectue son développement polynômial et on calcule la somme. Par exemple :

(1101)2 = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 (en décimal)

Conversion de la base 10 vers une base X

La conversion d’un nombre décimal vers une autre base X se fait par divisions successives du nombre par X, en notant les restes dans l’ordre inverse.

Exemple : convertir (35)10 en base 2 :

35 ÷ 2 = 17 reste 1
17 ÷ 2 = 8 reste 1
8 ÷ 2 = 4 reste 0
4 ÷ 2 = 2 reste 0
2 ÷ 2 = 1 reste 0
1 ÷ 2 = 0 reste 1

Lecture des restes à l’envers : 100011
Donc (35)10 = (100011)2

Conversion d’un nombre réel décimal vers la base 2

Un nombre réel est composé d’une partie entière et d’une partie fractionnaire. La partie entière se convertit par divisions successives, tandis que la partie fractionnaire se convertit par multiplications successives par 2, en notant la partie entière de chaque produit.

Exemple : convertir 35,625 en base 2 :

• Partie entière 35 = (100011)2 (comme ci-dessus)
• Partie fractionnaire 0,625 :

0,625 × 2 = 1,25 → 1
0,25 × 2 = 0,5 → 0
0,5 × 2 = 1,0 → 1

Donc (0,625)10 = (0,101)2

Au final :

35,625 = (100011,101)2

Conversion entre bases autres que 10

Il n’existe pas de méthode directe pour convertir un nombre d’une base b1 vers une autre base b2. La méthode consiste à :

1. Convertir le nombre de la base b1 vers la base 10 (par développement polynômial).
2. Convertir le résultat de la base 10 vers la base b2 (par divisions successives).

Exemple : convertir (34)5 en base 7 :

(34)5 = 3×5^1 + 4×5^0 = 15 + 4 = 19 (en décimal)
19 ÷ 7 = 2 reste 5
2 ÷ 7 = 0 reste 2

Donc (34)5 = (25)7

Conversions entre binaire, octal et hexadécimal

Conversion binaire ↔ octal

Chaque symbole octal s’écrit sur 3 bits en binaire. Pour convertir un nombre octal en binaire, on remplace chaque chiffre octal par son équivalent binaire sur 3 bits. Inversement, pour convertir un nombre binaire en octal, on regroupe les bits par groupes de 3, en partant du poids faible, puis on remplace chaque groupe par le chiffre octal correspondant.

Exemple :

(345)8 = (011 100 101)2

Conversion binaire ↔ hexadécimal

Chaque symbole hexadécimal s’écrit sur 4 bits en binaire. La conversion se fait de la même manière qu’avec l’octal, mais avec des groupes de 4 bits.

Exemple :

(AB)16 = (1010 1011)2

Opérations arithmétiques dans les systèmes non décimaux

Opérations en binaire

Les règles d’addition en binaire sont :

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (0 avec retenue 1)

Par exemple :

  11100011
+ 10001011
-----------
 101101110

Opérations en octal

En octal, les additions se font comme en décimal, mais la retenue intervient dès que la somme atteint 8. Par exemple :

  14365
+  4514
--------
 5036 (en octal)

Note : 8 en octal s’écrit 10, 11 s’écrit 13, etc.

Opérations en hexadécimal

En hexadécimal, les additions se font avec les symboles de 0 à F. La retenue intervient dès que la somme dépasse 15. Par exemple :

  4865
+ 7A51
--------
  C2B6 (en hexadécimal)

Note : 18 en décimal s’écrit 12 en hexadécimal, 11 s’écrit B, etc.

Le système utilisé dans les dispositifs numériques

Les machines numériques utilisent le système binaire, car il est facile à représenter physiquement par deux niveaux de tension. Le symbole 0 est représenté par une tension faible (0 V), et le symbole 1 par une tension élevée (par exemple 5 V). Cette simplicité rend le binaire idéal pour les circuits électroniques.

Points clés

• Un système de numération est défini par un alphabet de symboles et des règles d’écriture.
• La base d’un système correspond au nombre de symboles distincts utilisés.
• Le système décimal utilise 10 symboles, le binaire 2, l’octal 8, et l’hexadécimal 16.
• Tout nombre peut être exprimé sous forme polynomiale selon sa base.
• La conversion entre bases passe souvent par la base 10.
• La conversion décimal vers une autre base se fait par divisions successives (partie entière) et multiplications successives (partie fractionnaire).
• Les conversions entre binaire, octal et hexadécimal utilisent des regroupements de bits (3 pour l’octal, 4 pour l’hexadécimal).
• Les opérations arithmétiques dans ces systèmes suivent des règles similaires au décimal, adaptées à leur base.
• Les ordinateurs utilisent le système binaire, représenté par deux niveaux de tension.