Systèmes de numération
Chapitre 1 1 :: Systèmes de numération
Chapitre
Plan:
Introduction
1.
2. Systèmes de numération
•Système décimal
•Système binaire , octal et hexadécimal
•Système binaire , octal et hexadécimal
•Conversion d’un système de numération vers un autre système .
•Opérations arithmétiques en binaire, octal et hexadécimal.
1
Objectifs
Objectifs
• Comprendre c’est quoi un système de numération .
• Apprendre la méthode de conversion d’un système à un
autre .
autre .
• Apprendre à faire des opérations arithmétiques en
binaire.
2
Introduction
Introduction
• Les informations traitées par les ordinateurs sont de
différentes natures : nombres, texte, images, sons,
vidéo, programmes, etc…
• Dans un ordinateur, elles sont toujours représentées
sous forme binaire (BIT : Binary digIT)
sous forme binaire (BIT : Binary digIT)
• Toute information est représentée par une suite finie
de 0 et de 1.
3
Introduction
Introduction
• Nous avons pris l'habitude de représenter les nombres en utilisant
dix symboles différents: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
• Ce système est appelé le système décimal (déci signifie dix).
•
Il existe cependant d'autres formes de numération qui fonctionnent
en utilisant un nombre de symboles distincts.
– Exemple :
• système binaire (bi: deux),
• système binaire (bi: deux),
•
• le système hexadécimal (hexa: seize).
le système octal (oct: huit),
• En fait, on peut utiliser n'importe quel nombre de symboles
différents (pas nécessairement des chiffres).
• Dans un système de numération : le nombre de symboles distincts
est appelé la base du système de numération.
4
Système de numération: Définition
• Un système de numération décrit la façon avec laquelle
les nombres sont représentés.
• Un système de numération est défini par :
– Un alphabet A : ensemble de symboles ou chiffres,
– des règles d’écriture des nombres : Juxtaposition de symboles
– des règles d’écriture des nombres : Juxtaposition de symboles
5
. Le système décimal
1 1 . Le système décimal
• On utilise dix symboles différents:
{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
• N’importe quelle combinaison des symboles { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,
9 } nous donne un nombre.
2 3 3 4 5 6 7
Poids fort
Poids faible
345 , 567
Partie entière
Partie fractionnelle
6
Développement en polynôme d’un nombre
Développement en polynôme d’un nombre
dans le système décimal
dans le système décimal
• Soit le nombre 1978, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante :
1978
1978
1978
=
=
=
=
+
1000
*1
1000
+
+
3
10*1
+
900
+
*9
10*9
70
100
+
+
2
+
8
+
10*7
+
+
10*7
1
+
1*8
10*8
0
Ce format s’appelle la forme polynomiale
Un nombre réel peut être écrit aussi sous la forme polynomiale
1978
,
265
=
10*1
3
+
10*9
2
+
10*7
1
+
10*8
0
+
10*2
1
+
10*6
2
+
10*5
3
7
-
-
-
Comptage en décimal
Comptage en décimal
• Sur une seule position : 0 ,1,2,3,4,5,….9= 101-1
• Sur deux positions : 00 , 01,02, …..,99=102-1
• Sur trois positions 000,001,……,999=103-1
• Sur n positions : minimum 0
• Sur n positions : minimum 0
maximum 10n-1
nombre de combinaisons 10n
8
2 2 . Système binaire ( système à base
. Système binaire ( système à base 2 2 ): ):
exemple illustratif
exemple illustratif
Supposons qu’on a 14 jetons , si on forme des groupes de 10 jetons. On
va obtenir 1 seul groupe et il reste 4 jetons.
1 4
1 4
Les dizaines
Les unités
9
. Maintenant on va former des groupes de 2 jetons ( on obtient 7 groupes)
. Par la suite on va regrouper les 7 groupes 2 à 2 ( on obtient 3 groupes ).
. On va regrouper ces derniers aussi 2 à 2 ( on obtient 1 seul groupe )
. Le schéma illustre le principe :
Nombre de jetons qui restent en dehors des groupes : 0
Nombre de groupes qui contiennent 2 jetons : 1
Nombre de groupes qui contiennent 2 groupes de 2 jetons : 1
Nombre de groupes qui contiennent des groupes de 2 groupes de 4 jetons : 1
Si on regroupe les différents chiffres on obtient : 1110
10
1110 est la représentation de 14 dans la base 2
• Dans le système binaire, pour exprimer n’importe quelle
valeur on utilise uniquement 2 symboles : { 0 , 1}
Un bit
( 1101)2
La base
Le bits du poids forts
Le bits du poids faible
( 1 1 0 1)2
( 1 1 0 1)2
. Un nombre dans la base 2 peut être écrit aussi sous la forme polynomial
(1110)
2
=
(1110,101)
2
3
2*1
=
+
2*1
Publicité
+
3
2*1
2
+
1
2*1
+
2
+
2*0
+
1
2*1
2*1
0
=
)14(
+
0
10
2*1
2*0
1
+
2*0
2
+
2*1
3
=
)625,14(
10
11
-
-
-
Comptage en binaire
Comptage en binaire
• Sur un seul bit : 0 , 1
Sur 3 Bits
.Sur 2 bits :
Binaire
Décimal
00
01
10
11
0
1
2
3
Binaire
Décimal
000
001
010
010
011
100
101
110
111
0
1
2
2
3
4
5
6
7
4 combinaisons= 22
8 combinaisons= 23
12
Le système octal ( base 8 8 ))
Le système octal ( base
• 8 symboles sont utilisés dans ce système:
{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
• Exemple 1 :
=
=
(127)
(127)
8
(127,65)
8*1
8*1
=
8
2
2
+
+
1
1
+
+
8*2
8*2
+
2
8*1
8*2
0
0
8*7
8*7
+
1
8*7
0
+
8*6
- +
1
8*5
2
:2
Exemple
Le nombre (1289) n’existe pas dans la base 8 puisque les symboles 8 et 9
n’appartiennent pas à la base .
13
-
Le système hexadécimal ( base 16 16 ))
Le système hexadécimal ( base
Décimal
Hexadécimal
• On utilise seize (16) symboles
différents:
(17)
(17)
16
16
(AB)
16
0
=
=
+
+
1
16*1
16*1
=
A
1
16*
16*7
16*7
+
B
16*
0
=
1
16*10
+
1*11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
14
Résumé
Résumé
• Dans une base X , on utilise X symboles distincts pour représenter
les nombres.
• La valeur de chaque symbole doit être strictement inférieur à la
Publicité
base X.
• Chaque nombre dans une base X peut être écrit sous sa forme
polynomiale .
polynomiale .
15
33. Conversion d’une base
. Conversion d’une base XX à la base
à la base 1010
• Cette conversion est assez simple puisque il suffit de faire le
développement en polynôme de ce nombre dans la base X , et
de faire la somme par la suite.
Exemple :
Exemple :
(1101)
2
=
3
2*1
2
=
(1A7)
16
(1101,101)
16*1
=
)2,43(
5
=
+
2*1
+
A
2
+
0
=
1
2*0
+
+
2*1
=
0
16*7
+
2
2
)13(
10
+
1
16*10
+
+
1
0
16*1
+
1
2*0
=
1
20
2*1
++
2*1
=
)4,23(4,03
5*2
1
16*
+
2*1
+
3
2*1
+
0
5*3
2
1
5*4
+
0
16*7
+
2
2*0
10
=
256
+
160
=+
7
(
)423
10
2*1
3
=
,13(
)625
10
16
-
-
-
-
Exercice
Exercice
• Effectuer les transformations suivantes à la base 10 ?
– (123)6=(?)10
– (45,76)8 =(?)10
– (1100,11)2 =(?)10
– (1ABC)16 =(?)10
– (1ABC) =(?)
17
Conversion de la base 10 10 à la base
Conversion de la base
à la base 22
Le principe consiste à faire des divisions successives du nombre sur
2 , et prendre le reste des divisions dans l’ordre inverse.
Exemple 1 : (35)10=(?)2
Après division :
on obtient : (35)10=(100011)2
35
1
2
17
1
2
8
8
0
2
2
4
0
2
2
0
2
1
1
2
0
18
Conversion de la base 10 10 à la base
Conversion de la base
: cas d’un
à la base 2 2 : cas d’un
nombre réel
nombre réel
• Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie entière et la
partie fractionnelle.
• La partie entière est transformée en effectuant des divisions
successives.
• La partie fractionnelle est transformée en effectuant des
multiplications successives par 2 .
Exemple : 35,625=(?)2
P.E= 35 = (100011)2
PF= 0,625 = (?)2
0,625 * 2 = 1 ,25
0,25 * 2 = 0 ,5
0,5 * 2 = 1 ,0
(0,625)=(0,101)2
Donc 35,625=(100011,101)2
19
• Exemple 2: (0,6)10=(?)2
0,6 * 2 = 1,2
0,2 * 2 = 0,4
0,4 * 2 = 0,8
0,8 * 2 = 1,6
Remarque :
(0,6)= (0,1001)2
Le nombre de bits après la virgule va déterminer la précision .
Exercice :
Effectuer les transformations suivantes :
(23,65)=(? )2
(18,190)=(?)2
20
Conversion du décimal à une base X
Conversion du décimal à une base X
• La conversion se fait en prenant les restes des divisions
successives sur la base X dans le sens inverse.
Exemple :
35 = (?)3
35=(1022)3
35
2
3
11
2
3
3
0
Publicité
3
1
1
3
0
• Question : Effectuer les transformations suivantes :
(43)10=(?)2=(?)5 =(?)8 =(?)16
21
43
1
2
21
1
2
10
0
2
5
1
2
2
0
2
1
1
2
0
(101011)2
43
3
8
5
5
8
0
(53)8
43
3
5
8
3
5
1
1
5
1
(133)5
43
16
11
2
2
16
0
(2B)16
22
Conversion d’une base b1 1 à une base b
Conversion d’une base b
à une base b22
•
Il n’existe pas de méthode pour passer d’une base b1 à une autre
base b2 directement.
• L’idée est de convertir le nombre de la base b1 à la base 10 , en suit
convertir le résultat de la base 10 à la base b2 .
b1
Développement
en polynôme
?
10
b2
Divisions successives
23
Exemple : ( 34)5=(?)7
)34(
5
=
5*3
1
+
5*4
0
=
15
+
4
=
)19(
10
=
(?)
7
(19)10=(25)7
( 34)5=(25)7
19
5
7
2
2
7
0
Exercice : effectuer les transformations suivantes
(43)6=(?)5=(?)8
(2A)16=(?)9
24
Conversion : binaire (cid:1)(cid:1) octal
octal
Conversion : binaire
. En octal chaque, symbole de la base s’écrit sur 3
bits en binaire.
. L’idée de base est de replacer chaque symbole
dans la base octal par sa valeur en binaire sur 3
bits ( faire des éclatement sur 3 bits ).
Exemples :
(
345
=(8)
011
=(8)76,65(
=(8)34,35(
110
011
100
101
2)
,
111
110,
101
101
2)110
100
2)
0
1
2
3
4
5
6
7
Remarque :
le remplacement se fait de droit à gauche pour la partie entière
et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .
Octal
Binaire
000
001
010
011
100
101
110
111
25
Conversion : Octal (cid:1)(cid:1) binaire
binaire
Conversion : Octal
. L’idée de base est de faire des regroupements de 3 bits à partir du
poids faible.
. Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur octal
correspondante .
Exemple :
Exemple :
(
11001010010110
110=(2)
001
010
010
=(2)110
31226
8)
,
110010100
(
10101
2)
= (
110
010
100
,
101
=(2)001
8)51,624
Remarque :
le regroupement se fait de droit à gauche pour la partie entière
et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .
26
Conversion : hexadécimal
Conversion :
hexadécimal (cid:1)(cid:1) binaire
binaire
Décimal
Hexadécimal
. En Hexa chaque symbole de la base s’écrit sur 4 bits.
. L’idée de base est de replacer chaque symbole
Publicité
par sa valeur en binaire sur 4 bits ( faire des
éclatement sur 4 bits ).
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
9
A
B
C
D
E
F
Exemple :
345(
16B)
=(
(AB
16)6F4,3
0011
= (
0100
1010
0101
1011
1011
0011
2)
,
0100
1111
0110
2)
27
Conversion : binaire (cid:1)(cid:1)hexadécimal
hexadécimal
Conversion : binaire
. L’idée de base est de faire des regroupements de 4 bits à partir du poids faible.
Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur Héxa correspondante .
Exemple :
(
11001010100110
1100=(2)
(
110010100
,
2)
= (
1000
10101
0010
1010
0100
,
1010
1001
0110
16)6A32=(2)
=(2)0001
194
16)8,A
28
. Opérations arithmétiques en binaire
44. Opérations arithmétiques en binaire
+
0
0
0
+
0
1
1
+
1
0
1
+
1
1
1 0
1
1
1 1 0 0 0 1 1
+
1 0 0 0 1 0 1 1
1
1
1
0
11
1
0
29
Opérations arithmétiques en octal
Opérations arithmétiques en octal
1
1
4 3 6 5
+
4 5 1
4 5 1
5
8
11
6
En octal 8 s’écrit 10
En octal 11 s’écrit 13
0
3
Le résultat final : (5036)8
30
Opérations arithmétiques en hexadécimal
Opérations arithmétiques en hexadécimal
+
1
4 8 6 5
7 A 5 1
12
12
18
18
11
11
6
6
C
En hexa 18 s’écrit 12
2
En hexa 11 s’écrit B
B
Le résultat final : (C2B6)16
31
Exercice
• Effectuer les opérations suivantes et transformer le
résultat au décimal à chaque fois:
(1101,111)2+(11,1)2=(?)2
(43)8+(34)8=(?)8
(43)6+(34)6=(?)6
6
6
(AB1)16+(237)8=(?)16
6
•
•
•
•
32
. Quel est le système utilisé dans les
55. Quel est le système utilisé dans les
dispositifs numériques ?
dispositifs numériques ?
. Les machines numériques utilisent le système binaire.
. Dans le système binaire : uniquement 2 symboles sont utilisés : 0 et 1.
. C’est facile de représenter ces deux symboles dans les machines numériques.
. Le 0 et le 1 sont représentés par deux tensions .
Binaire
Tension
(logique )
0
1
0 V
5 V
5 v
2,8 v
0,8 v
0 v
Binaire : 1
Inutilisée
Binaire : 0
33