Statistique descriptive - Série n°1

Exercice 1

Avertissement important : Le texte source de cet exercice a été gravement corrompu lors de l'extraction informatique (les formules se sont mélangées sous la forme 1n2n3nn1nxniixnm1...). Conformément aux consignes de rigueur, il est impossible d'inventer les définitions exactes que le professeur attendait pour toutes les sommes. Néanmoins, en isolant les éléments reconnaissables de cette suite de caractères, nous pouvons reconstituer les définitions classiques de la statistique descriptive :

• m₁ = (1/n) Σ x_i (la moyenne arithmétique)
• m₂ = (1/n) Σ x_i² (le moment d'ordre 2)

Sur cette base, voici la résolution logique des sommes standards qui correspondent le plus probablement aux notations S₁, S₂, S₃ et T₁ :

Question 1 - Calcul des sommes

Si l'on définit les sommes selon les propriétés linéaires de l'opérateur Σ (de i=1 à n) :

• S₁ = Σ a.x_i En sortant la constante "a" de la somme : S₁ = a . (Σ x_i) Puisque Σ x_i = n . m₁, on obtient : S₁ = a . n . m₁

• S₂ = Σ (a.x_i + b) En séparant la somme et en sortant les constantes : S₂ = a . (Σ x_i) + Σ b S₂ = a . n . m₁ + n . b

• S₃ = Σ (x_i - m₁)² Il s'agit de la somme des carrés des écarts à la moyenne. En développant le carré : S₃ = Σ (x_i² - 2.m₁.x_i + m₁²) S₃ = Σ x_i² - 2.m₁ . Σ x_i + Σ m₁² S₃ = n.m₂ - 2.m₁.(n.m₁) + n.m₁² S₃ = n.m₂ - 2.n.m₁² + n.m₁² S₃ = n.m₂ - n.m₁² = n(m₂ - m₁²)

• T₁ = Σ (x_i - m₁) Il s'agit de la somme des écarts à la moyenne. T₁ = Σ x_i - Σ m₁ T₁ = n.m₁ - n.m₁ T₁ = 0

Question 2 - Calcul du produit

Le texte laisse deviner un produit de type Π (Pi majuscule, de i=1 à n). Pour P = Π (a.x_i) : P = (a.x₁) × (a.x₂) × ... × (a.x_n) P = aⁿ . Π x_i

Question 3 - Développement

Le texte corrompu indique une exponentielle e^(a.x_i + b - c). Si on applique un produit sur cette forme : Π e^(a.x_i + b - c) = e^(Σ (a.x_i + b - c)) = e^(a.n.m₁ + n.b - n.c)

Exercice 2 : Spécification des variables

Voici l'identification pour chaque cas :

Cas 1 à 10

1. La répartition des ménages selon le nombre de pièces dont ils disposent

   • Population : L'ensemble des ménages d'une zone donnée.
   • Unité statistique : Un ménage.
   • Caractère : Le nombre de pièces.
   • Nature : Quantitatif discret.
   • Modalités : 1, 2, 3, 4, 5 (pièces).

2. Une série des notes données par un correcteur.

   • Population : L'ensemble des copies corrigées.
   • Unité statistique : Une copie d'examen.
   • Caractère : La note obtenue.
   • Nature : Quantitatif continu (ou discret selon le barème, usuellement traité comme continu).
   • Modalités : 10.5, 12, 15.25.

3. La valeur des exportations mondiales en fonction des produits exportés.

   • Population : L'ensemble des produits exportés dans le monde.
   • Unité statistique : Un type de produit.
   • Caractère : La nature du produit.
   • Nature : Qualitatif nominal.
   • Modalités : Pétrole, blé, véhicules, électronique.

4. La valeur des exportations par grande région.

   • Population : L'ensemble des grandes régions du monde.
   • Unité statistique : Une région.
   • Caractère : La valeur des exportations.
   • Nature : Quantitatif continu.
   • Modalités : 1,5 milliard de $, 300 millions de $.

5. Les recettes touristiques par devise.

   • Population : Les flux financiers touristiques (ou l'ensemble des devises utilisées).
   • Unité statistique : Une devise.
   • Caractère : Le type de devise.
   • Nature : Qualitatif nominal.
   • Modalités : Euro, Dollar, Dinar tunisien.

6. La production des chaussures d’une entreprise selon la pointure.

• Population : L'ensemble des chaussures produites par l'entreprise.
• Unité statistique : Une chaussure.
• Caractère : La pointure.
• Nature : Quantitatif discret.
• Modalités : 38, 39, 42.

L’arrivée des touristes en Tunisie par nationalité.

• Population : L'ensemble des touristes arrivant en Tunisie.
• Unité statistique : Un touriste.
• Caractère : La nationalité.
• Nature : Qualitatif nominal.
• Modalités : Français, Algérien, Italien.

Nombre d’actions vendues par jour à la bourse des valeurs.

• Population : Les jours de cotation à la bourse.
• Unité statistique : Un jour de cotation.
• Caractère : Le nombre d'actions vendues.
• Nature : Quantitatif discret.
• Modalités : 15000, 25400, 0.

Nombre de pièces défectueuses dans une production d’ampoules électriques.

• Population : Les lots de production (ou l'ensemble de la production).
• Unité statistique : Un lot d'ampoules (ou une heure de production).
• Caractère : Le nombre de pièces défectueuses.
• Nature : Quantitatif discret.
• Modalités : 0, 1, 2, 5.

Les importations des voitures selon la marque.

• Population : L'ensemble des voitures importées.
• Unité statistique : Une voiture importée.
• Caractère : La marque.
• Nature : Qualitatif nominal.
• Modalités : Peugeot, Toyota, Volkswagen.

Exercice 3 : Enquête de satisfaction

Note préliminaire : L'énoncé contient une légère erreur de saisie ("1" au lieu de "I" et deux virgules consécutives). Les données ont été nettoyées pour totaliser exactement 30 réponses conformes aux modalités définies.

Question 1 - Définition de l'étude

• Population étudiée : L'ensemble des clients de l'entreprise (échantillon de 30 clients).
• Caractère observé : L'avis concernant le service après-vente.
• Nature du caractère : Qualitatif ordinal (les modalités peuvent être classées logiquement : Excellent > Bon > Moyen > Insuffisant).

Question 2 - Tableau statistique

En comptant les occurrences dans la série brute : E = 4 ; B = 7 ; M = 10 ; I = 6 ; S = 3.

Modalité (x_i)	Avis	Effectif (n_i)	Fréquence relative (f_i)	Fréquence en %
E	Excellent	4	4/30 ≈ 0.1333	13.33 %
B	Bon	7	7/30 ≈ 0.2333	23.33 %
M	Moyen	10	10/30 ≈ 0.3333	33.33 %
I	Insuffisant	6	6/30 ≈ 0.2000	20.00 %
S	Sans réponse	3	3/30 = 0.1000	10.00 %
Total		30	1.0000	100 %

Question 3 - Diagramme en barres (tuyaux d'orgue)

Effectifs (n_i)
 10 |                 [  ]
  9 |                 [  ]
  8 |                 [  ]
  7 |         [  ]    [  ]
  6 |         [  ]    [  ]    [  ]
  5 |         [  ]    [  ]    [  ]
  4 | [  ]    [  ]    [  ]    [  ]
  3 | [  ]    [  ]    [  ]    [  ]    [  ]
  2 | [  ]    [  ]    [  ]    [  ]    [  ]
  1 | [  ]    [  ]    [  ]    [  ]    [  ]
  0 +--------------------------------------
        E      B        M       I       S     (Avis)

Exercice 4 : Fautes par page dactylographiée

Question 1 - Spécifications

• Population : Les 60 pages dactylographiées par la secrétaire.
• Unité statistique : Une page dactylographiée.
• Caractère : Le nombre de fautes commises.
• Nature : Quantitatif discret.

Question 2 - Tableau statistique

Le dépouillement des 60 valeurs donne les résultats suivants :

Nombre de fautes (x_i)	Effectif (n_i)	Fréquence (f_i) en %	Effectif cumulé croissant (N_i)	Effectif cumulé décroissant (N'_i)
0	10	16.67 %	10	60
1	12	20.00 %	22	50
2	19	31.67 %	41	38
3	8	13.33 %	49	19
4	6	10.00 %	55	11
5	4	6.67 %	59	5
6	1	1.67 %	60	1
Total	60	100 %	-	-

Question 3 - Représentation graphique des fréquences

Ce graphique correspond au diagramme en bâtons pour une variable quantitative discrète.

 Fréquences (%)
 35 |           |
 30 |           |
 25 |           |
 20 |      |    |
 15 | |    |    |    |
 10 | |    |    |    |    |
  5 | |    |    |    |    |    |
  0 +--|----|----|----|----|----|----|--
       0    1    2    3    4    5    6   (Fautes par page)

Question 4 - Calcul des proportions

a) Au plus 2 fautes (x_i ≤ 2) : N(x ≤ 2) = 10 + 12 + 19 = 41 pages. Proportion = 41 / 60 ≈ 68.33 %

b) Au moins 4 fautes (x_i ≥ 4) : N(x ≥ 4) = 6 + 4 + 1 = 11 pages. Proportion = 11 / 60 ≈ 18.33 %

c) Exactement 5 fautes (x_i = 5) : N(x = 5) = 4 pages. Proportion = 4 / 60 ≈ 6.67 %

d) Plus de 2 fautes (x_i > 2) : N(x > 2) = 60 - N(x ≤ 2) = 60 - 41 = 19 pages. Proportion = 19 / 60 ≈ 31.67 %

Question 5 - Détermination de la médiane

a) En utilisant les données individuelles : L'effectif total est N = 60 (pair). La médiane se situe entre la 30ème et la 31ème valeur de la série ordonnée. En classant les données, les 10 premières valent 0, les 12 suivantes valent 1 (jusqu'au rang 22), et les 19 suivantes valent 2 (du rang 23 au rang 41). La 30ème et la 31ème valeur sont toutes deux égales à 2. Médiane = 2 fautes.

b) En utilisant les données groupées : Dans le tableau des effectifs cumulés croissants, on cherche la plus petite valeur du caractère dont l'effectif cumulé dépasse N/2 = 30. Le cumul pour x_i = 1 est 22. Le cumul pour x_i = 2 est 41. Le seuil de 50% est franchi à la modalité 2. La nature discrète de la variable nous dispense d'interpolation linéaire. Médiane = 2 fautes.

Question 6 - Détermination du mode

• Graphiquement : Le mode correspond au bâton le plus haut sur le diagramme des fréquences. On observe que le pic est situé à la valeur 2.
• Par le calcul : On cherche dans le tableau la valeur x_i associée à l'effectif (n_i) maximal. n_i max = 19, correspondant à la modalité 2. Mode = 2 fautes.

Question 7 - Détermination de la moyenne

m = (1/N) . Σ (x_i . n_i) m = [ (0×10) + (1×12) + (2×19) + (3×8) + (4×6) + (5×4) + (6×1) ] / 60 m = [ 0 + 12 + 38 + 24 + 24 + 20 + 6 ] / 60 m = 124 / 60 Moyenne ≈ 2.067 fautes par page.

Question 8 - Symétrie de la distribution

Pour évaluer la symétrie, on compare les indicateurs de position centrale :

• Mode = 2
• Médiane = 2
• Moyenne ≈ 2.067

Les trois valeurs sont très proches. Mode = Médiane < Moyenne. La moyenne est très légèrement étirée vers les valeurs supérieures par les quelques pages contenant beaucoup de fautes (5 et 6). La distribution est donc presque symétrique, avec une très légère asymétrie d'étalement vers la droite (oblique à gauche).

Exercice 5 : Grippe Aviaire dans les hôpitaux

Note de correction : Une phrase de l'exercice 6 (5 260 ha. 50) s'est accidentellement glissée dans le tableau de l'exercice 5 lors de la numérisation du sujet. Le tableau corrigé place "50" comme nombre d'hôpitaux pour 5 malades, pour un total de 1000 hôpitaux.

Le caractère étudié est "le nombre de malades", variable quantitative discrète.

Question 1 - Pourcentage de cas strictement inférieurs

Nous calculons ici la fonction de répartition cumulative croissante décalée (F(x) exprimant P(X < x)).

Nombre de cas (x)	Effectif d'hôpitaux (n_i)	Pourcentage simple (%)	% des hôpitaux avec cas < x
0	50	5 %	0 % (cas < 0 impossible)
1	150	15 %	5 % (cas < 1 = cas 0)
2	350	35 %	20 %
3	300	30 %	55 %
4	100	10 %	85 %
5	50	5 %	95 %
6	0	0 %	100 % (tous les hôpitaux ont < 6 cas)

Question 2 - Pourcentage de cas supérieurs ou égaux

Il s'agit des pourcentages cumulés décroissants (1 - P(X < x)).

Nombre de cas (x)	% des hôpitaux avec cas ≥ x
0	100 % (tous les hôpitaux ont ≥ 0 cas)
1	95 % (100 - 5)
2	80 % (100 - 20)
3	45 % (100 - 55)
4	15 % (100 - 85)
5	5 % (100 - 95)
6	0 %

Question 3 - Graphique (Fonctions de répartition)

Les deux courbes pour une variable discrète se tracent en "escalier".

 100% |---------------------------------------- (cas < x)
  90% |
  80% |                    +------- (cas >= x)
  70% |                    |
  60% |              +-----+
  50% |              |
  40% |              |     
  30% |              |
  20% |        +-----+
  10% |  +-----+
   0% +--+-----+-----+-----+-----+-----+---
         0     1     2     3     4     5     (Nombre de malades)

Exercice 6 : Surfaces des exploitations agricoles

Il s'agit d'une série statistique portant sur un caractère quantitatif continu (les superficies), dont les données brutes sont présentées sous la forme des effectifs cumulés (fonction "inférieure à").

L'effectif total (pour x < 480 ha) est défini par la consigne de départ : N = 700 exploitations.

Restructuration en tableau de classes

Pour faire les calculs et les graphiques, il faut reconstituer les fréquences par classe en soustrayant successivement les effectifs cumulés. Attention : Les amplitudes (largeurs des classes) ne sont pas égales. Il faudra calculer la densité de fréquence pour analyser le mode et dessiner l'histogramme de façon juste. Prenons comme amplitude de base a₀ = 20 ha. La densité est d_i = n_i / (a_i / 20).

Classes [x_i ; x_i+1[	Amplitude (a_i)	Effectif cumulé (N_i)	Effectif classe (n_i)	Densité corrigée (d_i) base 20
[0 ; 60[	60	120	120	120 / (60/20) = 40
[60 ; 120[	60	190	190 - 120 = 70	70 / 3 = 23.3
[120 ; 200[	80	250	250 - 190 = 60	60 / 4 = 15
[200 ; 240[	40	340	340 - 250 = 90	90 / 2 = 45
[240 ; 300[	60	480	480 - 340 = 140	140 / 3 ≈ 46.7
[300 ; 360[	60	520	520 - 480 = 40	40 / 3 ≈ 13.3
[360 ; 400[	40	600	600 - 520 = 80	80 / 2 = 40
[400 ; 480[	80	700	700 - 600 = 100	100 / 4 = 25
Total			700

Question 1 - Nature du caractère

• Caractère : La superficie de l'exploitation.
• Nature : Quantitatif continu.

Question 2 - Représentation graphique (Histogramme)

L'aire de chaque rectangle de l'histogramme doit être proportionnelle à l'effectif. L'axe des ordonnées affiche la densité corrigée (d_i) calculée dans le tableau, et non l'effectif brut.

Question 3 - Courbe cumulative

La courbe des effectifs cumulés croissants se trace en reliant les points d'abscisse correspondants aux bornes supérieures des classes (60, 120, 200...) et d'ordonnée correspondant aux effectifs cumulés (120, 190, 250...).

Question 4 - Médiane et classe modale

• Classe modale : Elle correspond à la classe ayant la densité la plus forte (et non l'effectif le plus élevé). D'après nos calculs de densités (d_i), la densité maximale est d_i ≈ 46.7. La classe modale est donc [240 ; 300[.

• Médiane (M_e) : C'est la valeur qui partage la population en deux, soit au rang N/2 = 700 / 2 = 350. Dans le tableau des effectifs cumulés, 350 est atteint dans la classe [240 ; 300[ (puisque le cumul passe de 340 à 480). On applique la formule d'interpolation linéaire : M_e = Borne_inf + (Amplitude) × [ (N/2 - Cumul_précédent) / Effectif_classe ] M_e = 240 + 60 × [ (350 - 340) / 140 ] M_e = 240 + 60 × [ 10 / 140 ] M_e = 240 + (600 / 140) ≈ 240 + 4.286 Médiane ≈ 244.29 hectares.

Question 5 - Proportion < 240 ha

C'est une borne exacte d'une classe. L'effectif cumulé pour 240 ha est de 340 exploitations. Proportion = 340 / 700 ≈ 48.57 %

Question 6 - Proportion < 180 ha

180 ne correspond pas à une borne, il faut faire une interpolation linéaire au sein de la classe [120 ; 200[. Dans cette classe, l'effectif total est de 60 pour une amplitude de 80 ha. Effectif(x < 180) = Effectif(x < 120) + Effectif compris entre 120 et 180. Effectif(x < 180) = 190 + (180 - 120) × (60 / 80) Effectif(x < 180) = 190 + 60 × 0.75 Effectif(x < 180) = 190 + 45 = 235 exploitations. Proportion = 235 / 700 ≈ 33.57 %

Question 7 - Proportion > 180 ha

Il s'agit du complémentaire de la question précédente. Proportion(x > 180) = 100 % - Proportion(x < 180) Proportion(x > 180) = 100 % - 33.57 % = 66.43 % (En effectif : 700 - 235 = 465 exploitations).

Question 8 - Nombre d'exploitations entre 140 et 260 ha

Il faut d'abord calculer, par interpolation linéaire, le nombre cumulé pour 140 ha et pour 260 ha.

• Pour 140 ha (dans la classe [120 ; 200[) : Effectif(x < 140) = 190 + (140 - 120) × (60 / 80) Effectif(x < 140) = 190 + 20 × 0.75 = 190 + 15 = 205 exploitations.

• Pour 260 ha (dans la classe [240 ; 300[) : Effectif(x < 260) = 340 + (260 - 240) × (140 / 60) Effectif(x < 260) = 340 + 20 × (140 / 60) Effectif(x < 260) = 340 + 46.67 = 386.67 exploitations.

Le nombre cherché est la différence entre les deux effectifs cumulés : Effectif = 386.67 - 205 = 181.67 Soit environ 182 exploitations.

Méthode

Face à une épreuve de statistique descriptive, la première étape est toujours de vérifier et reconstruire la table des données initiales. Prenez l'habitude de calculer systématiquement et lisiblement les tableaux des effectifs, effectifs cumulés et densités :

1. Identifier la nature du caractère dès la première question. Le choix des graphiques et des formules (particulièrement celles de la médiane et du mode) en dépend entièrement.
2. Pour les variables continues à amplitudes inégales, ne jamais tracer l'histogramme ou chercher le mode avec les effectifs bruts. La normalisation (calcul des densités sur une base commune) est impérative, c'est un piège classique qui coûte beaucoup de points.
3. Surveiller la qualité des documents : Un énoncé peut contenir des erreurs typographiques ou des corruptions d'impression (comme vu sur l'exercice 1 et 5). N'essayez pas de tordre les calculs mathématiques pour qu'ils collent à une donnée manifestement fausse ; décrivez plutôt la méthode appliquée logiquement et assumez la correction de l'énoncé de manière documentée.