Statistique descriptive

Exercice 1

Question 1 - Population, caractère et nature

• Population : Les familles ayant un enfant étudiant en 1ère année à l'université.
• Individu : Une famille.
• Caractère : Les dépenses annuelles engagées pour l'étudiant (en dinars).
• Nature : Quantitatif continu, car les valeurs sont mesurables, exprimées en dinars, et regroupées en intervalles (classes).

Question 2 - Représentation graphique

Puisque le caractère est continu et que les classes ont des amplitudes inégales, la représentation adaptée est un histogramme des densités de fréquences (ou densités d'effectifs). Il faut d'abord calculer les amplitudes (ai) et les densités (di = effectif / amplitude). L'amplitude de base (a) la plus fréquente est 100. On peut définir la densité corrigée comme di = ni × (100 / ai).

Classes (Dépenses)	Effectif (ni)	Amplitude (ai)	Densité (di)
[300-400[	5	100	5
[400-500[	60	100	60
[500-600[	15	100	15
[600-700[	95	100	95
[700-800[	30	100	30
[800-1000[	5	200	2.5

Pour le graphique, on trace un repère avec les dépenses en abscisses et les densités (di) en ordonnées. On dessine ensuite des rectangles pour chaque classe dont la largeur est l'amplitude (ai) et la hauteur est la densité (di).

Question 3 - Calcul de la médiane

L'effectif total est N = Σ ni = 5 + 60 + 15 + 95 + 30 + 5 = 210. La médiane (Me) est la valeur du caractère qui partage la population en deux effectifs égaux (N/2 = 105). Calculons les effectifs cumulés croissants (Ni) :

• [300-400[ : 5
• [400-500[ : 65
• [500-600[ : 80
• [600-700[ : 175

La 105ème valeur se trouve dans la classe médiane [600-700[. Par interpolation linéaire : Me = 600 + 100 × (105 - 80) / 95 Me = 600 + 100 × (25 / 95) = 600 + 26.32 = 626.32 dinars.

Interprétation : 50% des familles dépensent moins de 626.32 dinars, et 50% dépensent plus.

Question 4 - Calcul du troisième quartile (Q3)

Le troisième quartile correspond à 75% de l'effectif : 3N/4 = 3 × 210 / 4 = 157.5. L'effectif cumulé 157.5 est atteint dans la classe [600-700[. Q3 = 600 + 100 × (157.5 - 80) / 95 Q3 = 600 + 100 × (77.5 / 95) = 600 + 81.58 = 681.58 dinars.

Signification : 75% des familles ont des dépenses annuelles inférieures ou égales à 681.58 dinars. Les 25% restants dépensent davantage.

Question 5 - Surfaces inégales de l'histogramme

Le troisième quartile Q3 partage l'histogramme (qui représente 100% de la population) en deux parties correspondant respectivement à 75% et 25% de la surface totale. Les valeurs représentatives en nombre de familles (l'effectif) sont donc :

• Pour la première surface (dépenses < Q3) : 75% × 210 = 157.5 familles.
• Pour la seconde surface (dépenses > Q3) : 25% × 210 = 52.5 familles.

Question 6 - Symétrie de la distribution

Pour juger de la symétrie, comparons la Moyenne (M), la Médiane (Me) et le Mode (Mo).

• Mode : La classe modale (plus forte densité) est [600-700[. Mo = 600 + 100 × (95 - 15) / ((95 - 15) + (95 - 30)) = 600 + 100 × 80 / (80 + 65) = 600 + 55.17 = 655.17 dinars.
• Moyenne : En utilisant les centres de classes (ci). M = (5×350 + 60×450 + 15×550 + 95×650 + 30×750 + 5×900) / 210 = 125750 / 210 = 598.81 dinars.

Nous observons que Moyenne (598.81) < Médiane (626.32) < Mode (655.17). La distribution est asymétrique, étalée vers la gauche (asymétrie négative).

Question 7 - Étendue et concentration

• Étendue : C'est la différence entre la limite supérieure de la dernière classe et la limite inférieure de la première classe. Étendue = 1000 - 300 = 700 dinars.
• Concentration : Remarque concernant le document original : Le texte de la question est endommagé ("la valeur [altéré] concentration"). En l'absence de la formule exacte demandée par l'énoncé, ce point ne peut pas être calculé avec certitude sans inventer une consigne. (On utilise parfois un ratio impliquant la médiale pour l'indice de concentration, comme détaillé plus loin à l'exercice 4).

Question 8 - Variance et coefficient de variation

Calculons la moyenne des carrés : Σ(ni × ci²) / N. Σ(ni × ci²) = 5×(350)² + 60×(450)² + 15×(550)² + 95×(650)² + 30×(750)² + 5×(900)² Σ(ni × ci²) = 612500 + 12150000 + 4537500 + 40137500 + 16875000 + 4050000 = 78362500.

• Variance V(X) : V(X) = (Σni×ci² / N) - M² V(X) = (78362500 / 210) - (598.8095)² = 373154.76 - 358572.84 = 14581.92
• Écart-type (σ) : σ = √V(X) = √14581.92 = 120.76 dinars.
• Coefficient de variation (CV) : CV = σ / M = 120.76 / 598.81 = 0.2017 (soit 20.17%).

Exercice 2

Question 1 - Calcul de l'effectif n5

Le document source est altéré : la mention "sachant que" est suivie d'un vide, ce qui rend la condition pour trouver n5 manquante. Conformément aux consignes consistant à ne pas inventer les données manquantes, cette question ne peut pas être résolue numériquement. Les réponses aux questions 2 et 3 seront donc explicitées sous forme de méthode s'appuyant sur un effectif inconnu n5.

Question 2 - Médiane et classe modale

• Classe modale : Il faut calculer les densités de fréquences (effectifs divisés par l'amplitude). Les amplitudes supposées sont 2 pour chaque classe connue ([0-2[, [2-4[, [4-6[, [6-9[ a une amplitude de 3, et "9 et plus" nécessite une hypothèse de clôture, par exemple [9-11[). La classe ayant la plus grande densité est la classe modale.
• Médiane : L'effectif total est N = 47 + n5. La médiane se trouve dans la classe où les effectifs cumulés atteignent N/2. L'interpolation linéaire s'applique ensuite : Borne inférieure + Amplitude × (N/2 - Cumul précédent) / Effectif de la classe.

Question 3 - Moyenne, écart absolu moyen, variance et écart-type

• Moyenne : M = [10×1 + 20×3 + 10×5 + 7×7.5 + n5×c5] / (47 + n5)
• Écart absolu moyen : e = Σ(ni × |ci - M|) / N
• Variance : V = [Σ(ni × ci²) / N] - M²
• Écart-type : σ = √V

Exercice 3

Question 1 - Effectif de chaque classe et effectif total

Le document fournit les données récupérées du texte altéré : V(x)= 49300 ainsi que les termes 16622002=Σf_i x_i et 190500=Σn_i x_i. Par déduction des symboles typographiques endommagés :

• Σ fi × ci² = 1 662 200
• Σ ni × ci = 190 500

Nous savons que la variance se calcule par V(x) = (Σ fi × ci²) - M². Ainsi : 49300 = 1662200 - M² M² = 1662200 - 49300 = 1612900 M = √1612900 = 1270. (La moyenne des salaires est 1270).

La moyenne s'exprime aussi par M = (Σ ni × ci) / N. 1270 = 190500 / N, ce qui donne N = 190500 / 1270 = 150. L'effectif total est donc 150 salariés.

L'effectif de chaque classe s'obtient par ni = fi × N. Les fréquences fi sont déduites de la fonction de répartition F(x) :

• Classe [500-700[ : f1 = 0.04 - 0 = 0.04. Donc n1 = 0.04 × 150 = 6.
• Classe [700-1100[ : f2 = 0.14 - 0.04 = 0.10. Donc n2 = 0.10 × 150 = 15.
• Classe [1100-1300[ : f3 = 0.44 - 0.14 = 0.30. Donc n3 = 0.30 × 150 = 45.
• Classe [1300-1500[ : f4 = 0.96 - 0.44 = 0.52. Donc n4 = 0.52 × 150 = 78.
• Classe [1500-1900[ : f5 = 1 - 0.96 = 0.04. Donc n5 = 0.04 × 150 = 6.

Question 2 - Symétrie de la distribution

Calculons la classe modale et le mode. Densités (di = fi / ai) :

• [500-700[ : a=200, d=0.0002
• [700-1100[ : a=400, d=0.00025
• [1100-1300[ : a=200, d=0.0015
• [1300-1500[ : a=200, d=0.0026
• [1500-1900[ : a=400, d=0.0001 La classe modale est [1300-1500[. Mo = 1300 + 200 × (0.0026 - 0.0015) / ((0.0026 - 0.0015) + (0.0026 - 0.0001)) = 1300 + 200 × (0.0011 / 0.0036) = 1361.11.

Calculons la médiane (Me) via F(x) = 0.5. La classe médiane est [1300-1500[. Me = 1300 + 200 × (0.50 - 0.44) / (0.96 - 0.44) = 1300 + 200 × (0.06 / 0.52) = 1323.08.

Puisque Moyenne (1270) < Médiane (1323.08) < Mode (1361.11), la distribution est asymétrique avec un étalement à gauche.

Question 3 - Médiane, médiale, indice de Gini et concentration

• Médiane : Déjà calculée, Me = 1323.08.
• Médiale (Ml) : Elle divise la masse salariale en deux parts égales (50%). Calcul des masses globales (Qi = ni × ci) : Q1=3600, Q2=13500, Q3=54000, Q4=109200, Q5=10200. Total = 190500. Masses cumulées relatives (Φi) : 0.0189, 0.0898, 0.3732, 0.9465, 1.0000. La médiale tombe dans la classe [1300-1500[ (car Φ passe les 0.5). Ml = 1300 + 200 × (0.50 - 0.3732) / (0.9465 - 0.3732) = 1300 + 200 × (0.1268 / 0.5733) = 1344.23.
• Indice de Gini : Il mesure l'aire de concentration entre la diagonale parfaite et la courbe de Lorentz. En utilisant la méthode des trapèzes sur les coordonnées (Fi, Φi) : Aire sous la courbe = Σ 0.5 × (F_i - F_i-1) × (Φ_i + Φ_i-1) = 0.4573. Indice de Gini = 1 - 2 × (Aire sous la courbe) = 1 - (2 × 0.4573) = 1 - 0.9146 = 0.0854.
• Conclusion : Un indice de Gini de 0.0854 (très proche de 0) et une Médiale très proche de la Médiane démontrent une très faible concentration des salaires (forte égalité).

Exercice 4

Question 1 - Diagramme

Puisque le caractère (montant en centaines de dinars) est quantitatif continu regroupé en classes, le diagramme approprié est l'histogramme. Son principe repose sur le tracé de rectangles adjacents dont l'aire (et non nécessairement la hauteur) est proportionnelle aux effectifs de chaque classe.

Question 2 - Effectifs manquants, classe modale, médiane et troisième quartile

Le document fait référence aux effectifs non étiquetés pour les classes [10,20[ et [20,40[. Notons-les λ1 et λ2 (ce qui correspond aux fragments 1λ et 2λ dans le scan).

• Total N = 100.
• Le sixième décile (D6) vaut 20. Cela signifie que 60% des factures, soit 60 factures, ont un montant strictement inférieur à 20.
• Effectif cumulé jusqu'à 20 = n1 + n2 + λ1 = 26 + 24 + λ1.
• Donc : 50 + λ1 = 60, d'où λ1 = 10. (L'effectif de la classe [10,20[ est 10).
• Le tableau révèle un 10 final pour la dernière classe (40 et plus).
• Le reste se déduit : λ2 = 100 - (26 + 24 + 10 + 10) = 30. (L'effectif de la classe [20,40[ est 30).

Classe modale : Calcul des densités (avec une hypothèse de clôture [0,5[ et [40,60[) : d1 = 26/5 = 5.2, d2 = 24/5 = 4.8, d3 = 10/10 = 1, d4 = 30/20 = 1.5, d5 = 10/20 = 0.5. La classe modale est [0,5[.

Médiane (N/2 = 50) : L'effectif cumulé à la fin de la classe [5,10[ est exactement 50 (26 + 24). La médiane est donc exactement la borne supérieure de cette classe : Me = 10.

Troisième quartile (Q3, 75ème facture) : L'effectif cumulé dépasse 75 dans la classe [20,40[ (les cumuls sont 26, 50, 60, 90). Q3 = 20 + 20 × (75 - 60) / 30 = 20 + 20 × (15 / 30) = 30.

Question 3 - Moyenne et écart-type

Centres (ci) : 2.5, 7.5, 15, 30, 50. Moyenne (M) = (26×2.5 + 24×7.5 + 10×15 + 30×30 + 10×50) / 100 = 1795 / 100 = 17.95 (en centaines de Dinars). Variance V = [Σ(ni × ci²) / 100] - M² = [55762.5 / 100] - (17.95)² = 557.625 - 322.2025 = 235.4225. Écart-type (σ) = √235.4225 = 15.34 (en centaines de Dinars).

Question 4 - Coefficient de variation

CV = σ / M = 15.34 / 17.95 = 0.8546, soit 85.46%. Il s'agit d'un indicateur de dispersion relative. Il est utile pour comparer la dispersion de plusieurs séries statistiques exprimées dans des unités différentes (ou ayant des ordres de grandeur très différents), car il est sans dimension.

Question 5 - Coefficient de variation (HT)

Le passage du TTC au Hors Taxes (HT) consiste à diviser tous les montants par une constante (1 + taux de TVA). Selon les propriétés de la moyenne et de l'écart-type, les deux paramètres sont divisés par cette même constante. Leur rapport (le CV) reste donc strictement inchangé. CV (HT) = 85.46%.

Question 6 - Variance et écart-type en milliers de Dinars

Exprimer les centaines en milliers revient à diviser les valeurs par 10 (Y = X / 10).

• Le nouvel écart-type est divisé par 10 : σ_Y = 15.34 / 10 = 1.534 milliers de Dinars.
• La nouvelle variance est divisée par 10² (soit 100) : V_Y = 235.4225 / 100 = 2.354.

Question 7 - Médiale

La masse globale des factures est Σ(ni×ci) = 1795. La moitié est 897.5. Cumul des masses successives : 65, 245, 395, 1295. La Médiale (Ml) se trouve dans la classe [20,40[. Ml = 20 + 20 × (897.5 - 395) / (1295 - 395) = 20 + 20 × (502.5 / 900) = 20 + 11.17 = 31.17. Interprétation : Les montants inférieurs à 31.17 représentent la moitié de la somme totale due par les débiteurs.

Question 8 - Indicateur de concentration

L'indicateur basé sur l'étendue demandé par l'énoncé est calculé comme : Indicateur = (Médiale - Médiane) / Étendue Étendue = 60 - 0 = 60. Indicateur = (31.17 - 10) / 60 = 21.17 / 60 = 0.353.

Question 9 - Courbe de concentration et Gini

• Courbe de concentration (Lorentz) : Représentation graphique reliant les points de coordonnées (Fi, Φi) où Fi sont les pourcentages cumulés de la population et Φi les pourcentages cumulés de la variable observée (masses).
• Surface de concentration : C'est la surface comprise entre la première diagonale du repère (ligne d'équirépartition parfaite) et la courbe de Lorentz.
• Indice de Gini : C'est le rapport entre la surface de concentration et la surface totale du triangle sous la diagonale (laquelle vaut 0.5). Il vaut donc deux fois la surface de concentration.

Exercice 5

Question 1 - Définitions

• Population : Les ouvriers d'une entreprise.
• Individu : Un ouvrier.
• Caractère : L'âge.
• Nature : Quantitatif continu.

Question 2 - Détermination de a et b

L'âge minimum des 25% des ouvriers les plus âgés correspond, par définition, au 3ème quartile (Q3). Donc Q3 = 42.733 ans. L'effectif total est N = 1000. Q3 correspond à un cumul de 750 ouvriers. Observons les effectifs cumulés (Ni) en descendant : 50, 150, 350, 500, 620, 770. Le cumul 750 tombe dans la classe [41-b[, dont le cumul à l'entrée (âge 41) est 620. Q3 = 41 + (b - 41) × (750 - 620) / 150 = 42.733. 41 + (b - 41) × (130 / 150) = 42.733 (b - 41) × (13 / 15) = 1.733 b - 41 = 1.733 × 15 / 13 ≈ 2.0. Donc b = 43.

Pour trouver a, utilisons la moyenne M = 40.38 ans. La somme des masses est M × N = 40380. Exprimons la somme des (ni × ci) en gardant "a" comme inconnue pour les classes [37-a[ et [a-40[ : Σ(ni × ci) = (50×32.5) + (100×36) + 200×((37+a)/2) + 150×((a+40)/2) + (120×40.5) + (150×42) + (130×44) + (100×47.5) 33555 + 100a + 75a = 40380 175a = 40380 - 33555 = 6825 a = 6825 / 175 = 39.

Question 3 - Proportions

• Proportion (32 < X ≤ 42) : Calculons le nombre d'ouvriers dans ce segment : Dans [30-35[ : depuis 32, cela fait les 3/5 de la classe, soit (3/5)×50 = 30. Classes entières : [35-37[ (100), [37-39[ (200), [39-40[ (150), [40-41[ (120). Dans [41-43[ : jusqu'à 42, c'est la moitié de la classe, soit (1/2)×150 = 75. Total = 30 + 100 + 200 + 150 + 120 + 75 = 675 ouvriers. La proportion est de 675 / 1000 = 67.5%.
• L'âge maximum des 75% les moins âgés : Cette définition est strictement identique à celle du troisième quartile (Q3). Comme vu à la question 2, la valeur est de 42.733 ans.

Question 4 - Déterminer le mode

Densités avec a=39 et b=43 : d1=10, d2=50, d3=100 (200/2), d4=150 (150/1), d5=120, d6=75, d7=65, d8=20. La plus forte densité est 150 dans la classe [39-40[. Mo = 39 + 1 × (150 - 100) / ((150 - 100) + (150 - 120)) = 39 + 50 / 80 = 39.625 ans. Interprétation : La tranche d'âge la plus fréquente tourne autour de 39.6 ans.

Question 5 - Déterminer la médiane

N/2 = 500. Le cumul des effectifs jusqu'à 40 ans (50+100+200+150) donne exactement 500. La médiane correspond donc exactement à la borne supérieure de la classe [39-40[. Me = 40 ans. Interprétation : La moitié des ouvriers a moins de 40 ans, l'autre moitié a plus de 40 ans.

Question 6 - Symétrie de la distribution

Nous disposons des trois indicateurs de tendance centrale : Mode (39.625) < Médiane (40) < Moyenne (40.38). Cette hiérarchie indique que la distribution présente une asymétrie droite (oblique à droite ou étalée vers les valeurs supérieures). Un graphique de l'histogramme montrerait une queue s'étirant vers les âges élevés.

Méthode

Lorsque vous traitez un sujet de statistique descriptive complexe ou imparfait :

1. Pistez les déductions croisées : Un exercice ne donne jamais des valeurs au hasard. Si un quartile ou une moyenne est fournie, c'est généralement pour déverrouiller un tableau à effectifs manquants ou à bornes de classes inconnues. Traduisez mécaniquement la définition de la donnée (ex: "le sixième décile") en son expression mathématique cumulative.
2. Reconnaissez le rôle vital des densités : Ne tombez pas dans le piège classique consistant à lire le Mode ou tracer un Histogramme sur la base directe de l'effectif (ni) quand les classes ont des amplitudes inégales. Corrigez toujours en calculant la densité de fréquence ou d'effectif au préalable.
3. Respectez l'intégrité des données : Si une variable n'a aucun moyen mathématique d'être déduite à cause d'une altération du document, écrivez-le noir sur blanc et résolvez le reste du problème sous forme algébrique. En statistique, assumer au hasard la valeur d'une donnée manquante fausse toutes les équations de dispersion.