Statistical Principles and Methods

Ce matériel couvre les principes fondamentaux de l’estimation par intervalles de confiance, destiné aux étudiants de niveau universitaire en statistiques. Il présente des méthodes pour construire des intervalles de confiance pour la moyenne d’une population, la proportion, ainsi que pour la différence entre deux moyennes, en tenant compte des tailles d’échantillons et des variances connues ou inconnues.

Estimation par intervalles de confiance pour la moyenne

Considérons un exemple pratique : pour étudier la pollution d’une rivière par une usine, on mesure la teneur en polluant (en mg/l) sur 17 échantillons. La moyenne observée est de 5,2 mg/l avec un écart-type estimé à 1,2 mg/l. La variable aléatoire X modélisant la teneur suit une loi normale inconnue N(µ, σ²).

Pour un petit échantillon (n = 17), l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne µ s’appuie sur la loi de Student :

T = (X̄ - µ) / (S / √n) ∼ t(n-1)

avec X̄ la moyenne échantillonnale, S l’écart-type empirique, et n la taille de l’échantillon.

L’intervalle de confiance s’écrit :

ICα(µ) = [X̄ - t1-α/2 * (S / √n) ; X̄ + t1-α/2 * (S / √n)]

Pour notre exemple :

• n = 17, X̄ = 5,2, S = 1,2
• Degrés de liberté = 16
• t0.975(16) = 2,12

Calcul :

IC95%(µ) = [5,2 - 2,12 * (1,2 / √17) ; 5,2 + 2,12 * (1,2 / √17)] = [4,58 ; 5,82]

Interprétation : Avec 95 % de confiance, la teneur moyenne en polluant est comprise entre 4,58 et 5,82 mg/l. Comme cet intervalle ne dépasse pas la limite légale de 7 mg/l, on peut considérer que l’usine respecte la réglementation.

Précision et taille d’échantillon

Pour estimer la moyenne avec une précision de 0,1 mg/l au niveau de confiance 95 %, on utilise la formule :

Amplitude = 2 * z1-α/2 * (S / √n) = 0,1

avec z0.975 = 1,96 (quantile de la loi normale centrée réduite). D’où :

n = (2 * 1,96 * 1,2 / 0,1)^2 ≈ 2213

Il faudrait donc environ 2213 mesures pour atteindre cette précision.

Estimation par intervalle de confiance pour une proportion

Exemple : lors d’un sondage aux États-Unis, sur 1003 personnes, 54 % pensent que l’administration Bush a exagéré les preuves sur les armes de destruction massive.

La proportion estimée est f = 0,54. Pour un grand échantillon (n = 1003 > 30), on applique le théorème central limite :

IC1-α(p) = [f - z1-α/2 * √(f(1-f)/n) ; f + z1-α/2 * √(f(1-f)/n)]

Avec α = 5 %, z0.975 = 1,96 :

IC95%(p) = [0,54 - 1,96 * √(0,54*0,46/1003) ; 0,54 + 1,96 * √(0,54*0,46/1003)] = [0,5091 ; 0,5708]

Conclusion : On peut affirmer avec 95 % de confiance qu’au moins 50,9 % des Américains partagent cette opinion, donc une majorité.

Intervalle de confiance à 99 % pour une proportion

Pour 52 % de personnes désapprouvant la politique irakienne de Bush, avec α = 1 % et z0.995 = 2,5758 :

IC99%(p) = [0,52 - 2,5758 * √(0,52*0,48/1003) ; 0,52 + 2,5758 * √(0,52*0,48/1003)] = [0,47946 ; 0,56054]

Comme la borne inférieure est inférieure à 50 %, on ne peut pas affirmer avec 99 % de confiance qu’une majorité désapprouve la politique. Pour cela, il faudrait augmenter la taille de l’échantillon à environ 4141 personnes.

Intervalles de confiance pour la moyenne d’un échantillon de notes

Un enseignant corrige les 20 premières copies d’un examen et obtient une moyenne de 10,32 avec un écart-type de 2,4. On suppose la normalité des notes.

Intervalle de confiance à 95 %

Avec n = 20, on utilise la loi de Student avec 19 degrés de liberté :

• t0.975(19) = 2,093
• IC95%(µ) = [10,32 - 2,093 * (2,4 / √20) ; 10,32 + 2,093 * (2,4 / √20)] = [9,20 ; 11,44]

Interprétation : On ne peut pas affirmer avec 95 % de confiance que la moyenne est au moins égale à 10, car la borne inférieure est inférieure à 10.

Intervalle de confiance à 90 %

Avec t0.95(19) = 1,729 :

IC90%(µ) = [10,32 - 1,729 * (2,4 / √20) ; 10,32 + 1,729 * (2,4 / √20)] = [9,39 ; 11,25]

La borne inférieure est plus proche de 10, donc la probabilité que la moyenne soit inférieure à 10 a diminué.

Intervalle de confiance à 99 %

Avec t0.995(19) = 2,861 :

IC99%(µ) = [10,32 - 2,861 * (2,4 / √20) ; 10,32 + 2,861 * (2,4 / √20)] = [8,78 ; 11,85]

Plus le niveau de confiance augmente, plus l’intervalle s’élargit, ce qui réduit la précision.

Effet de l’augmentation de la taille d’échantillon

Après correction de 101 copies, si la moyenne et l’écart-type restent constants, on peut approximer la loi de Student par une loi normale :

• z0.975 = 1,96
• IC95%(µ) = [10,32 - 1,96 * (2,4 / √101) ; 10,32 + 1,96 * (2,4 / √101)] = [9,85 ; 10,79]

La borne inférieure se rapproche de 10, ce qui réduit le risque que la moyenne soit inférieure à 10.

Intervalles unilatéraux

• Intervalle unilatéral droit (95 %) : [9,93 ; +∞) — utile pour vérifier un seuil minimum. Ici, on ne peut pas affirmer avec 95 % de confiance que la moyenne est au moins 10, mais on peut dire qu’elle est supérieure à 9,93 avec cette confiance.
• Intervalle unilatéral gauche (95 %) : (-∞ ; 10,71] — moins pertinent ici car on cherche à garantir un seuil minimum, pas un maximum.

Intervalles de confiance pour la différence de moyennes

Soient X et Y deux variables normales indépendantes, de moyennes µX et µY, et variances σ²X et σ²Y inconnues.

Cas des variances égales, petits échantillons (n1 = n2 = 10)

• Moyennes échantillonnales : X̄ = 4,8 ; Ȳ = 5,6
• Variances estimées : S²X = 9,6 ; S²Y = 8,75
• Degrés de liberté : n1 + n2 - 2 = 18
• t0.975(18) = 2,101

Intervalle de confiance pour µX :

IC95%(µX) = [X̄ - t0.975 * (S / √n1) ; X̄ + t0.975 * (S / √n1)]

avec S la variance commune estimée.

Intervalle de confiance pour µX - µY :

IC95%(µX - µY) = [ (X̄ - Ȳ) - t0.975 * S_p * √(1/n1 + 1/n2) ; (X̄ - Ȳ) + t0.975 * S_p * √(1/n1 + 1/n2) ]

avec S_p la variance combinée :

S_p = √[ ((n1-1)S²X + (n2-1)S²Y) / (n1 + n2 - 2) ]

Calcul numérique donne :

IC95%(µX - µY) = [-3,64 ; 2,04]

Cas des variances inconnues et inégales, grands échantillons (n1 = n2 = 40)

• Moyennes : X̄ = 5 ; Ȳ = 5,5
• Variances : S²X = 9,6 ; S²Y = 8,75
• Normalité approximée par TCL, z0.975 = 1,96

Intervalle de confiance pour µY :

IC95%(µY) = [Ȳ - z0.975 * (S_Y / √n2) ; Ȳ + z0.975 * (S_Y / √n2)] = [4,1 ; 7,34]

Intervalle de confiance pour µX - µY :

IC95%(µX - µY) = [ (X̄ - Ȳ) - z0.975 * √(S²X/n1 + S²Y/n2) ; (X̄ - Ȳ) + z0.975 * √(S²X/n1 + S²Y/n2) ] = [-1,827 ; 0,827]

Glossaire des termes clés

• Variable aléatoire (v.a.) : Quantité dont la valeur est soumise au hasard.
• Moyenne (µ) : Espérance mathématique d’une variable aléatoire.
• Variance (σ²) : Mesure de la dispersion d’une variable aléatoire.
• Écart-type (σ) : Racine carrée de la variance.
• Échantillon : Sous-ensemble de la population étudiée.
• Intervalle de confiance : Intervalle estimé dans lequel la valeur inconnue d’un paramètre se trouve avec un certain niveau de confiance.
• Loi normale : Distribution de probabilité continue en forme de cloche, caractérisée par sa moyenne et son écart-type.
• Loi de Student : Distribution utilisée pour estimer la moyenne d’une population lorsque la variance est inconnue et l’échantillon petit.
• Théorème central limite (TCL) : Principe selon lequel la moyenne d’un grand échantillon suit approximativement une loi normale.
• Quantile (zα) : Valeur telle que la probabilité d’observer une valeur inférieure est α.
• Précision : Amplitude de l’intervalle de confiance, plus elle est petite, plus l’estimation est précise.
• Intervalle unilatéral : Intervalle de confiance avec une borne infinie d’un côté, utilisé pour tester un seuil minimal ou maximal.

Points clés à retenir

• Pour un petit échantillon avec variance inconnue, on utilise la loi de Student pour construire l’intervalle de confiance.
• Pour un grand échantillon, on peut utiliser la loi normale grâce au théorème central limite.
• La taille de l’échantillon influe directement sur la précision de l’estimation.
• Les intervalles de confiance pour une proportion s’appuient sur une approximation normale pour les grands échantillons.
• Les intervalles unilatéraux sont utiles pour vérifier des seuils minimaux ou maximaux.
• Pour comparer deux moyennes, il faut tenir compte de l’égalité ou non des variances et de la taille des échantillons.
• Augmenter le niveau de confiance élargit l’intervalle et réduit la précision.
• Augmenter la taille de l’échantillon réduit l’intervalle et augmente la précision.