Solutions DS 2013-03-15

Exercice 3 - Modulateur d'amplitude en quadrature

Question 1 - Expression du signal enveloppe et du signal modulé

EXPLICATION : Dans le document source fourni, les expressions mathématiques exactes de la porteuse et de l'enveloppe complexe sont illisibles (remplacées par des balises d'image ![](data:image...) endommagées lors de l'extraction). Il est donc impossible de restituer l'équation spécifique attendue par le corrigé original sans l'inventer.

Cependant, d'après les données visibles (sensibilité k=1, deux messages m1(t) et m2(t)) et la théorie standard de la modulation d'amplitude en quadrature (QAM) confirmée par la question suivante, la démarche est la suivante :

1. L'expression théorique d'un signal modulé en quadrature s(t) combine deux porteuses déphasées de π/2 (cosinus et sinus). Avec une sensibilité k=1, l'équation s'écrit généralement : s(t) = m1(t)cos(2πfpt) + m2(t)sin(2πfpt) (Note : certaines conventions utilisent un signe moins, mais la question 2 du document confirme l'usage du signe plus ici).

2. L'enveloppe complexe associée (souvent notée par un tilde ou soulignée) se déduit de la représentation analytique du signal et s'écrit comme la combinaison complexe des deux messages en bande de base : E(t) = m1(t) + j m2(t)

Question 2 - Schéma synoptique et démodulation cohérente

FICHE DE COURS : Le schéma synoptique (non dessiné ici en raison du format texte) d'un démodulateur cohérent en quadrature se compose d'un diviseur de puissance qui sépare le signal reçu s(t) en deux branches parallèles (voie I pour "En phase" et voie Q pour "Quadrature").

• Sur la voie I, s(t) est multiplié par un oscillateur local pI'(t) = A'p cos(2πfpt), puis passe dans un filtre passe-bas.
• Sur la voie Q, s(t) est multiplié par pQ'(t) = A'p sin(2πfpt), puis passe dans un filtre passe-bas.

CORRIGÉ : L'analyse mathématique fournie par le document source pour cette question contient des erreurs de calcul (des facteurs 0.5 ont disparu après le filtrage). Voici la démonstration mathématique corrigée pas à pas :

Voie I (En phase) : Signal local : pI'(t) = A'p cos(2πfpt) Multiplication : s(t) × pI'(t) = [m1(t)cos(2πfpt) + m2(t)sin(2πfpt)] × A'p cos(2πfpt) s(t) × pI'(t) = A'p m1(t) cos²(2πfpt) + A'p m2(t) sin(2πfpt) cos(2πfpt)

En utilisant les identités trigonométriques cos²(x) = 0.5[1 + cos(2x)] et sin(x)cos(x) = 0.5 sin(2x) : s(t) × pI'(t) = 0.5 A'p m1(t) [1 + cos(4πfpt)] + 0.5 A'p m2(t) sin(4πfpt) (Cette ligne correspond exactement à celle du document source).

Après le filtrage passe-bas, les composantes hautes fréquences (celles en 4πfpt) sont coupées. Il reste donc : m'1(t) = 0.5 A'p m1(t) Attention : le document source indique m'1(t) = A'p m1(t). Le corrigé d'origine a fait une erreur mathématique en oubliant de conserver le facteur 0.5 issu du développement du cos².

Voie Q (En quadrature) : Signal local : pQ'(t) = A'p sin(2πfpt) Multiplication : s(t) × pQ'(t) = [m1(t)cos(2πfpt) + m2(t)sin(2πfpt)] × A'p sin(2πfpt) s(t) × pQ'(t) = A'p m1(t) cos(2πfpt) sin(2πfpt) + A'p m2(t) sin²(2πfpt)

En utilisant sin²(x) = 0.5[1 - cos(2x)] : s(t) × pQ'(t) = 0.5 A'p m1(t) sin(4πfpt) + 0.5 A'p m2(t) [1 - cos(4πfpt)] (Cette ligne correspond au document source).

Après filtrage passe-bas, la composante continue restante est : M'2(t) = 0.5 A'p m2(t) Attention : le document source indique M'2(t) = A'p m2(t). Le facteur 0.5 a de nouveau été perdu de manière erronée dans le document original.

Question 3 - Impact d'une erreur de phase θ

EXPLICATION : L'énoncé introduit une erreur de phase constante notée θ, mais la solution source utilise la notation phi. Nous conserverons ici phi (ou φ) pour coller au développement du document, bien que les calculs de ce dernier soient mathématiquement faux concernant les signes et les coefficients. Voici la véritable démonstration.

Voie I : pI(t) = A'p cos(2πfpt + phi) s(t) × pI(t) = [m1(t)cos(2πfpt) + m2(t)sin(2πfpt)] × A'p cos(2πfpt + phi)

Développons chaque terme avec cos(a)cos(b) = 0.5[cos(a-b) + cos(a+b)] et sin(a)cos(b) = 0.5[sin(a-b) + sin(a+b)] :

• Terme m1 : 0.5 A'p m1(t) [cos(-phi) + cos(4πfpt + phi)] = 0.5 A'p m1(t) [cos(phi) + cos(4πfpt + phi)]
• Terme m2 : 0.5 A'p m2(t) [sin(-phi) + sin(4πfpt + phi)] = 0.5 A'p m2(t) [-sin(phi) + sin(4πfpt + phi)]

Total avant filtrage : 0.5 A'p m1(t) [cos(phi) + cos(4πfpt + phi)] + 0.5 A'p m2(t) [sin(4πfpt + phi) - sin(phi)] Le document source indique un + sin(phi) pour le terme m2(t). C'est une erreur de signe. sin(2πfpt - (2πfpt + phi)) donne sin(-phi) = -sin(phi).

Après filtrage passe-bas : m'1(t) = 0.5 A'p m1(t) cos(phi) - 0.5 A'p m2(t) sin(phi) Le document source indique A'p m1(t) cos(phi) + 0.5 A'p m2(t) sin(phi). Le facteur 0.5 sur m1 manque et le signe sur m2 est faux.

Voie Q : pQ(t) = A'p sin(2πfpt + phi) s(t) × pQ(t) = [m1(t)cos(2πfpt) + m2(t)sin(2πfpt)] × A'p sin(2πfpt + phi)

• Terme m1 : cos(a)sin(b) = 0.5[sin(a+b) - sin(a-b)] 0.5 A'p m1(t) [sin(4πfpt + phi) - sin(-phi)] = 0.5 A'p m1(t) [sin(4πfpt + phi) + sin(phi)]
• Terme m2 : sin(a)sin(b) = 0.5[cos(a-b) - cos(a+b)] 0.5 A'p m2(t) [cos(-phi) - cos(4πfpt + phi)] = 0.5 A'p m2(t) [cos(phi) - cos(4πfpt + phi)]

Total avant filtrage : 0.5 A'p m1(t) [sin(4πfpt + phi) + sin(phi)] + 0.5 A'p m2(t) [cos(phi) - cos(4πfpt + phi)] Le document source a une nouvelle erreur de signe, affichant - sin(phi) pour le terme m1.

Après filtrage passe-bas : m'2(t) = 0.5 A'p m2(t) cos(phi) + 0.5 A'p m1(t) sin(phi) Le document source omet le 0.5 devant m2(t).

Conclusion : La conclusion qualitative du document original reste valable : si l'erreur de phase phi est très faible, alors cos(phi) ≈ 1 et sin(phi) ≈ 0. On détecte bien m1(t) sur la voie I et m2(t) sur la voie Q (avec un facteur d'amplitude 0.5 A'p). Si phi est important, il y a une interférence inter-voies sévère (diaphonie) empêchant la séparation des deux messages sans correction de phase.

Exercice 4 - Étude de corrélation et densité spectrale de puissance

Question 1 - Autocorrélation et DSP de X(t)

CORRIGÉ : Comme pour l'exercice précédent, le rendu original du corrigé PDF comporte des images corrompues ![](data:image...) à la place des formules mathématiques finales. La démarche analytique correcte est la suivante :

Soit le signal déterministe X(t) = A₀ cos(2πf₀t).

1. Fonction d'auto-corrélation temporelle R_X(τ) : Pour un signal périodique de puissance, elle est définie par la moyenne temporelle sur une période T₀ = 1/f₀ : R_X(τ) = (1/T₀) ∫ X(t) X(t-τ) dt (intégrée de 0 à T₀) R_X(τ) = (A₀² / 2) cos(2πf₀τ)

2. Densité Spectrale de Puissance S_X(f) : D'après le théorème de Wiener-Khintchine, la DSP est la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation. S_X(f) = Transformée de Fourier { (A₀² / 2) cos(2πf₀τ) } La transformée d'un cosinus génère deux impulsions de Dirac (notées δ) aux fréquences +f₀ et -f₀. S_X(f) = (A₀² / 4) [ δ(f - f₀) + δ(f + f₀) ]

Question 2 - Autocorrélation fenêtrée et nouvelle DSP

GUIDE DE TP : Dans la pratique, on ne peut pas calculer une corrélation sur un temps infini, on la tronque avec une fenêtre temporelle P_T(τ). Ici, P_T(τ) = 1 pour |τ| ≤ T/2, et 0 ailleurs (fenêtre rectangulaire de largeur T). R₁(τ) = R_X(τ) × P_T(τ)

Pour obtenir la nouvelle DSP S₁(f), on passe dans le domaine fréquentiel. La multiplication dans le domaine temporel correspond à un produit de convolution (noté *) dans le domaine fréquentiel. S₁(f) = S_X(f) * Transformée de Fourier { P_T(τ) }

La transformée de Fourier de la fenêtre rectangulaire est un sinus cardinal : F_T(f) = T × sin(πfT) / (πfT) (souvent noté T sinc(πfT) ou T sinc(fT) selon les conventions).

La convolution d'une fonction avec une impulsion de Dirac décale la fonction à la position du Dirac : S₁(f) = [ (A₀² / 4) (δ(f - f₀) + δ(f + f₀)) ] * [ T × sin(πfT) / (πfT) ] S₁(f) = (A₀² T / 4) [ (sin(π(f - f₀)T) / (π(f - f₀)T)) + (sin(π(f + f₀)T) / (π(f + f₀)T)) ]

Question 3 - Analyse du signal aléatoire Y(t)

EXPLICATION : Le signal Y(t) = A₀ cos(2πf₀t + φ) n'est plus déterministe, car φ est une variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle [-π, π[. La densité de probabilité de φ est p(φ) = 1/(2π).

1. Moyenne statistique : Moyenne = Espérance E[Y(t)] E[Y(t)] = ∫ A₀ cos(2πf₀t + φ) p(φ) dφ (intégrée de -π à π) E[Y(t)] = (A₀ / 2π) ∫ cos(2πf₀t + φ) dφ = 0 (L'intégrale d'un cosinus sur une période complète vaut zéro).

2. Fonction d'auto-corrélation statistique : R_Y(t, t-τ) = E[ Y(t) Y(t-τ) ] R_Y(t, t-τ) = E[ A₀² cos(2πf₀t + φ) cos(2πf₀(t-τ) + φ) ] En appliquant cos(a)cos(b) = 0.5[cos(a-b) + cos(a+b)] : R_Y(t, t-τ) = (A₀² / 2) E[ cos(2πf₀τ) + cos(4πf₀t - 2πf₀τ + 2φ) ]

L'espérance est un opérateur linéaire.

• Le premier terme, cos(2πf₀τ), ne dépend pas de la variable aléatoire φ, son espérance est donc lui-même.
• Le deuxième terme intègre un cosinus sur 4π (puisque 2φ varie de -2π à 2π), sa moyenne est nulle. R_Y(τ) = (A₀² / 2) cos(2πf₀τ)

3. Densité spectrale de puissance : Puisque R_Y(τ) est rigoureusement identique à R_X(τ) calculée à la question 1, la DSP est également identique. S_Y(f) = (A₀² / 4) [ δ(f - f₀) + δ(f + f₀) ]

Méthode

Face à une épreuve de traitement du signal et de modulation :

1. Faites confiance au calcul analytique aveuglément : Les erreurs de corrigés (comme celles pointées dans l'Exercice 3) proviennent très souvent de simplifications faites de tête. Lorsque vous manipulez des multiplications de cosinus et de sinus, écrivez systématiquement la formule trigonométrique [ex: cos(a)cos(b) = 0.5(cos(a-b)+cos(a+b))] avant d'injecter vos variables. Cela vous évitera de perdre le facteur multiplicatif 1/2 ou de vous tromper de signe.
2. Soignez le formalisme probabiliste vs déterministe : L'exercice 4 illustre un piège classique. Dans la question 1, le signal est déterministe, on calcule une autocorrélation via une moyenne temporelle (intégrale sur T₀ divisée par T₀). Dans la question 3, le signal est aléatoire, on calcule une autocorrélation via une espérance mathématique (intégrale sur la densité de probabilité de la variable aléatoire). Le résultat final est le même, mais la démonstration est fondamentalement différente. Une démonstration déterministe à la question 3 vaudrait zéro à l'examen.
3. Restez pragmatiques face aux erreurs d'énoncés : Si un énoncé change de notation (passant de θ à phi) ou oublie un coefficient multiplicateur, démontrez le résultat exact et mentionnez d'où pourrait venir l'approximation (par exemple l'omission d'un facteur 0.5 sans perte d'information de phase). Ne falsifiez jamais votre calcul pour retomber sur le résultat du fascicule.