pI’ (t) = A’p cos(2πfpt) et pQ’ (t) = A’p sin(2πfpt)

s(t)pI (t) = A’p m1 (t) cos(2πfpt) cos(2πfpt) + A’p m2(t) sin(2πfpt) cos(2πfpt)

= 0.5 A’p m1 (t) [1 + cos(4πfpt)] + 0.5 A’p m2(t) sin(4πfpt)

Après filtrage passe-bas, il reste

m’1 (t) = A’p m1 (t)

De façon semblable, pour l’autre branche l’on trouve

s(t)pQ (t) = A’p m1 (t) cos(2πfpt) sin(2πfpt) + A’p m2(t) sin(2πfpt) sin(2πfpt)

= 0.5A’p m1(t) sin(4πfpt) + 0.5 A’p m2(t) [1 - cos(4πfpt)]

Après filtrage passe-bas, il reste M’2(t) = A’p m2(t))

1. (1pt)On suppose que, au niveau du démodulateur, la porteuse locale reconstruite présente une erreur de phase $θ$, supposée constante. Déterminer les signaux démodulés dans ce cas. Conclure.

Solution

pI (t) = A’p cos(2πfpt+phi) et pQ (t) = A’p sin(2πfpt+phi)

s(t)pI (t) = A’p m1 (t) cos(2πfpt+phi) cos(2πfpt) + A’p m2(t) sin(2πfpt) cos(2πfpt+phi)

= 0.5 A’p m1 (t) [cos(phi) + cos(4πfpt)] + 0.5 A’p m2(t) (sin(4πfpt+phi)+sin(phi))

Après filtrage passe-bas, il reste

m’1 (t) = A’p m1 (t) cos(phi) + 0.5 A’p m2(t) sin(phi); si phi est faible on détecte m1 (t), sinon, impossible

De façon semblable, pour l’autre branche l’on trouve

s(t)pQ (t) = A’p m1 (t) cos(2πfpt) sin(2πfpt+phi) + A’p m2(t) sin(2πfpt) sin(2πfpt+phi)

= 0.5 A’p m1(t) (sin(4πfpt+phi)-sin(phi))+ 0.5 A’p m2(t) [cos(phi) - cos(4πfpt)]

Après filtrage passe-bas, il reste m’2(t) = A’p m2(t)) cos(phi) + 0.5 A’p m1(t) sin(phi); si phi est faible on détecte m2 (t), sinon, impossible

Exercice 4. (5pts)

On considère l’étude de la fonction de corrélation et de la densité spectrale de puissance (DSP) de signaux aléatoires.

1. (2pts) Soit le signal $X\left(t\right)=A\_{0}cos⁡(2πf\_{0}t)$, déterminer la fonction d’auto-corrélation $R\_{X}(τ)$ de X(t) et sa DSP : $S\_{X}(f)$.

Solution

 ; et 

1. (2pts) En pratique la fonction d’auto-corrélation $R\_{X}\left(τ\right)$ ne peut être calculée que sur une fenêtre de temps de durée limitée. On obtient donc :

$R\_{1}\left(τ\right)=R\_{X}\left(τ\right)P\_{T}\left(τ\right)$, où $P\_{T}\left(τ\right)=\left\{\begin{matrix}1 si \left|τ\right|\leq T/2\\0 ailleurs\end{matrix}\right.$. Déterminer alors la nouvelle DSP $S\_{1}(f)$.

Solution

 ; et


1. (1pt)On considère le signal suivant :$ Y\left(t\right)=A\_{0}\cos(\left(2πf\_{0}t+φ\right))$, où $φ$ est une variable aléatoire uniformément répartie de$[-π,π[$. Déterminer la moyenne, la fonction d'auto-corrélation et la densité spectrale de puissance de $Y(t)$.

Solution

$Y\left(t\right)=A\_{0}\cos(\left(2πf\_{0}t+φ\right)) $; la moyenne de Y(t) est  ;  ; et