Sciences Industrielles

Ce cours de calcul vectoriel en sciences industrielles s'adresse aux étudiants en PCSI-PSI et en sciences de l’ingénieur. Il présente les outils fondamentaux nécessaires en mécanique, notamment les opérations sur les vecteurs, les champs de vecteurs antisymétriques, et la notion de torseur, indispensable pour modéliser les actions mécaniques dans l’espace.

Outils nécessaires en mécanique

Opérations sur les vecteurs

Soit E un espace vectoriel de dimension 3, avec une base orthonormée directe (x, y, z). On considère trois vecteurs :

V1 = (x1, y1, z1), V2 = (x2, y2, z2), V3 = (x3, y3, z3)

Produit scalaire

Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs V1 et V2 est une application linéaire définie positive de E² dans ℝ, notée (V1, V2) ou V1·V2, donnée par :

V1·V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

Norme géométrique : La norme d’un vecteur V1 est définie par :

||V1|| = √(V1·V1) = √(x1² + y1² + z1²)

Cette norme représente la longueur du vecteur en mètres et est toujours positive.

Interprétation géométrique : Le produit scalaire exprime la projection orthogonale du vecteur V1 sur la direction de V2 :

V1·V2 = ||V1|| ||V2|| cos(θ)

où θ est l’angle entre V1 et V2. Le produit scalaire est nul si l’un des vecteurs est nul ou si les deux vecteurs sont orthogonaux.

Produit vectoriel

Définition : Le produit vectoriel de V1 et V2, noté V1 ∧ V2, est une application linéaire antisymétrique de E² dans E, définie par :

V1 ∧ V2 = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2)

Interprétation géométrique : Le vecteur V1 ∧ V2 est perpendiculaire au plan formé par V1 et V2, de norme :

||V1 ∧ V2|| = ||V1|| ||V2|| sin(θ)

Cette norme représente l’aire du parallélogramme défini par V1 et V2. Le produit vectoriel est nul si l’un des vecteurs est nul ou si les deux vecteurs sont colinéaires.

Produit mixte

Définition : Le produit mixte de trois vecteurs V1, V2, V3 est un scalaire défini par :

(V1, V2, V3) = V1 · (V2 ∧ V3)

Ce produit est antisymétrique et invariant par permutation circulaire des vecteurs.

Interprétation géométrique : Il représente le volume du parallélépipède défini par les trois vecteurs.

Cas de nullité : Le produit mixte est nul si l’un des vecteurs est nul, si deux sont colinéaires, ou si les trois sont coplanaires.

Double produit vectoriel

Le double produit vectoriel s’écrit :

V1 ∧ (V2 ∧ V3) = V2 (V1 · V3) - V3 (V1 · V2)

Ce vecteur appartient au plan formé par V2 et V3.

Division vectorielle

Le problème posé est : étant donnés deux vecteurs non nuls W et V, existe-t-il un vecteur X tel que :

W ∧ X = V ?

La solution X doit être orthogonale à W, et si elle existe, elle n’est pas unique. Une solution particulière orthogonale à V est :

X = - (W ∧ V) / ||W||²

Applications antisymétriques

Définition

Une application L de E dans E est antisymétrique si, pour tous vecteurs u et v de E :

L(u) · v = - L(v) · u

En particulier, L(u) · u = 0 pour tout u.

Propriétés

• Toute application antisymétrique est linéaire.
• Pour un vecteur S donné, l’application L définie par L(u) = S ∧ u est antisymétrique.

Champ de vecteurs

Définition

Un champ de vecteurs associe à chaque point P de l’espace euclidien E un vecteur M(P) d’origine P.

Champ antisymétrique

Un champ M est antisymétrique s’il existe une application antisymétrique L telle que, pour tous points P et Q :

M(Q) = M(P) + L(→PQ)

Ce qui s’écrit :

M(Q) + M(P) = S ∧ →PQ

Champ équiprojectif

Un champ M est équiprojectif si, pour tous points P et Q :

(M(Q) - M(P)) · →PQ = 0

Théorème de Delassus

Tout champ antisymétrique est équiprojectif et réciproquement.

Démonstration (résumé) : À partir de la définition antisymétrique, on montre que la différence des vecteurs du champ en deux points est orthogonale au segment qui les relie, ce qui caractérise le champ équiprojectif. La réciproque est obtenue en construisant une application antisymétrique L à partir du champ équiprojectif.

Torseurs

Définition

Un torseur T est constitué d’un champ antisymétrique M et d’un vecteur S appelé vecteur somme, tels que :

• Le vecteur S est indépendant du point considéré.
• Le champ M dépend du point P et s’exprime par :

M(P) = M(Q) + S ∧ →QP

Les deux vecteurs S et M(P) sont appelés éléments de réduction du torseur au point P.

Notation

On note un torseur au point P :

T(P) = { S ; M(P) }

avec S et M(P) exprimés dans la base orthonormée directe (x, y, z).

Changement de point

Pour deux points A et B :

M(B) = M(A) + S ∧ →AB

Torseur nul

Un torseur est nul si :

S = 0 et M(P) = 0 pour tout point P.

Somme de deux torseurs

Soient deux torseurs T1 et T2 définis respectivement aux points M et N :

T1(M) = { S1 ; M1(M) }
T2(N) = { S2 ; M2(N) }

Pour sommer ces torseurs, il faut exprimer T2 au point M :

T2(M) = { S2 ; M2(N) + S2 ∧ →NM }

La somme est alors :

T(M) = T1(M) + T2(M) = { S1 + S2 ; M1(M) + M2(N) + S2 ∧ →NM }

Il est essentiel que les torseurs soient exprimés au même point pour que la somme ait un sens.

Multiplication par un scalaire

Pour un scalaire λ ∈ ℝ et un torseur T(M) = { S ; M(M) }, on définit :

λ T(M) = { λ S ; λ M(M) }

Le produit reste un torseur.

Comoment de deux torseurs

Le comoment c(T1, T2) est un scalaire défini par :

c(T1, T2) = S1 · M2(M) + S2 · M1(M)

Cette quantité est indépendante du point M et est un invariant scalaire du torseur.

Automoment d’un torseur

L’automoment A(T) est le comoment du torseur avec lui-même :

A(T) = c(T, T) = 2 S · M(M)

Cette quantité est indépendante du point M et constitue un invariant du torseur.

Axe central d’un torseur

L’axe central est l’ensemble des points I pour lesquels le champ M(I) est colinéaire à S :

M(I) = α S avec α ∈ ℝ

Cette condition conduit à l’équation paramétrique de l’axe :

→MI = (S ∧ M(M)) / ||S||² + λ S, avec λ ∈ ℝ

Le scalaire α est appelé le « pas » du torseur et est indépendant du point M.

Torseurs particuliers

• Torseur glisseur : Un torseur dont l’automoment est nul et S ≠ 0. Le pas est nul et l’axe central est défini.
• Torseur couple : Un torseur dont S = 0. Le champ M est constant, l’automoment est nul, et l’axe central n’est pas défini.

Décomposition d’un torseur

Tout torseur T(M) peut se décomposer en somme d’un glisseur et d’un couple :

T(M) = { S ; M(M) } = { S ; M0(M) } + { 0 ; M(M) - M0(M) }

où { S ; M0(M) } est un glisseur et { 0 ; M(M) - M0(M) } un couple.

Interprétation géométrique d’un torseur

Un torseur peut être représenté géométriquement comme une liaison hélicoïdale (vis-écrou) d’axe l’axe central du torseur. Cette liaison combine une translation (représentée par S) et une rotation (représentée par M), d’où le nom de torseur (torsion).

Glossaire des termes clés

• Produit scalaire : Opération donnant un scalaire à partir de deux vecteurs, mesurant leur projection mutuelle.
• Produit vectoriel : Opération donnant un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs initiaux, proportionnel à l’aire du parallélogramme formé.
• Produit mixte : Scalaire représentant le volume du parallélépipède formé par trois vecteurs.
• Application antisymétrique : Application linéaire L telle que L(u)·v = -L(v)·u pour tous vecteurs u, v.
• Champ de vecteurs : Association d’un vecteur à chaque point de l’espace.
• Champ antisymétrique : Champ de vecteurs vérifiant M(Q) = M(P) + L(→PQ) avec L antisymétrique.
• Champ équiprojectif : Champ de vecteurs où la différence des vecteurs en deux points est orthogonale au segment qui les relie.
• Torseur : Couple formé d’un vecteur somme S et d’un champ antisymétrique M, modélisant une action mécanique.
• Éléments de réduction : Vecteurs S (somme) et M(P) (moment) définissant un torseur au point P.
• Axe central : Ensemble des points où le champ M est colinéaire à S.
• Automoment : Invariant scalaire du torseur, égal au comoment du torseur avec lui-même.
• Torseur glisseur : Torseur avec automoment nul et S ≠ 0.
• Torseur couple : Torseur avec S = 0, champ constant.

Points clés à retenir

• Le produit scalaire et le produit vectoriel sont des opérations fondamentales en mécanique vectorielle, avec des interprétations géométriques précises.
• Le produit mixte permet de calculer des volumes dans l’espace vectoriel.
• Les applications antisymétriques sont liées aux produits vectoriels et aux champs de vecteurs antisymétriques.
• Un champ de vecteurs antisymétrique est équivalent à un champ équiprojectif (théorème de Delassus).
• Le torseur est un outil essentiel en mécanique pour représenter les actions mécaniques combinant forces et moments.
• La somme, la multiplication par un scalaire, le comoment et l’automoment sont des opérations clés sur les torseurs.
• L’axe central d’un torseur caractérise la direction privilégiée du champ antisymétrique.
• Les torseurs particuliers (glisseur et couple) ont des propriétés spécifiques importantes en mécanique.
• La représentation géométrique d’un torseur évoque une liaison hélicoïdale, illustrant la combinaison translation-rotation.