Sciences Industrielles
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PCSI-PSI
Calcul vectoriel
Cours
Sciences de l’ingénieur
Les Outils nécessaires en
Mécanique
Schéma cinématique minimal d’un mécanisme doseur
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Calcul vectoriel
Sommaire
1 Outils nécessaires en mécanique ............................................................................................................3
1.1 OPERATIONS SUR LES VECTEURS .........................................................................................3
1.1.1 Produit scalaire .........................................................................................................................3
1.1.1.1 Définition du produit scalaire : ..........................................................................................3
1.1.1.2 Définition de la norme géométrique ..................................................................................3
Interprétation géométrique du produit scalaire :................................................................3
1.1.1.3
1.1.2 Produit vectoriel........................................................................................................................3
1.1.2.1 Définition du produit vectorielle .......................................................................................3
Interprétation géométrique du produit scalaire :................................................................3
1.1.2.2
1.1.3 Produit mixte.............................................................................................................................4
1.1.3.1 Définition du produit mixte ...............................................................................................4
Interprétation géométrique du produit mixte : ...................................................................4
1.1.3.2
1.1.4 Double produit vectoriel ...........................................................................................................4
1.1.5 Division vectorielle...................................................................................................................4
1.1.5.1 Le problème : .....................................................................................................................4
1.2 APPLICATIONS ANTISYMÉTRIQUES......................................................................................5
1.2.1 Définition ..................................................................................................................................5
1.2.2 Propriétés ..................................................................................................................................5
1.3 CHAMP DE VECTEURS ..............................................................................................................5
1.3.1 Définition ..................................................................................................................................5
1.3.2 Champ antisymétrique ..............................................................................................................5
1.3.3 Champ équiprojectif..................................................................................................................5
1.3.4 Théorème de DELASSUS ........................................................................................................6
1.4 TORSEURS....................................................................................................................................7
1.4.1 Définition d’un torseur..............................................................................................................7
1.4.2 Notation d’un torseur ................................................................................................................7
1.4.3 Changement de point ................................................................................................................7
1.4.4 Torseur nul ................................................................................................................................7
1.4.5 Somme de deux torseurs ...........................................................................................................7
1.4.6 Multiplication par un scalaire ...................................................................................................8
1.4.7 Comoment de deux torseurs......................................................................................................8
1.4.8 Automoment d'un torseur..........................................................................................................9
1.4.9 Axe central d'un torseur ............................................................................................................9
1.4.10 Torseurs particuliers ...............................................................................................................9
1.4.10.1 Torseur Glisseur...............................................................................................................9
1.4.10.2 Torseur Couple ..............................................................................................................10
1.4.11 Décomposition d'un torseur ..................................................................................................10
Interprétation Géométrique d’un torseur ..............................................................................11
1.4.12
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1 OUTILS NECESSAIRES EN MECANIQUE
1.1 OPERATIONS SUR LES VECTEURS
E est un espace vectoriel de dimension 3.
Soient trois vecteurs de Ε3 :
x
1
→
→
V
V
= , =
1
2
y
1
x
2
y
2
→
V
= ,
3
x
3
y
3
et une base orthonormée directe
rrr
)z,y,x(
b
.
b
z
1
b
z
2
b
z
3
On définit les opérations suivantes :
1.1.1 PRODUIT SCALAIRE
1.1.1.1 Définition du produit scalaire :
Le produit scalaire est une application linéaire définie positive de E² dans R ‘réel tel que
le produit scalaire est défini et noté :
→→→→
yy+xx=V.V=)V,V(
21
21
21
21
z+z
21
1.1.1.2 Définition de la norme géométrique
La norme géométrique d’un vecteur est définie et notée :
→
V
1
=
→→
→→
V.V=)V,V(
1
11
1
=
→
zz+yy+xx=V
²1
11
11
11
Cette norme représente graphiquement la longueur en mètre du vecteur
→
1V . La norme
géométrique est définie positive.
1.1.1.3 Interprétation géométrique du produit scalaire :
y
V 2
Soit la représentation plane dans le plan vectoriel
→→
)y,x(
→→→→
yy+xx=V.V=)V,V(
21
21
21
21
→→
VV=z+z
1
2
21
→→
)V,V(
21
cos
V1
x
Projection orthogonale
du vecteur V1
sur la direction de V2
x=V r→
1
Si
c’est-à-dire que
r
11 =V
alors,
→→
xV .1
représente la
projection orthogonale du vecteur
→
1V .
Cas de nullité du produit scalaire :
→
2V sur la direction de
! l'un des vecteurs est nul,
! les deux vecteurs sont orthogonaux.
1.1.2 PRODUIT VECTORIEL
1.1.2.1 Définition du produit vectorielle
Le produit vectoriel est une application linéaire antisymétrique de E² dans E tel que le
produit vectoriel est défini et noté :
→→
∧
()=
(
VV
2
1
-
zyzx
21
12
r
(+ )
x
-
xzxz
21
12
r
(+ )
y
-
yxyx
21
12
r
z
)
1.1.2.2 Interprétation géométrique du produit scalaire :
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Soit la représentation plane dans le plan vectoriel
→→
)y,x(
y
→→
∧
VV
(
1
)=
2
→→
VV
1
2
→→
r
n)V,V(
21
,
sin
avec
nr vecteur unitaire
→ →
V 2
S
V1
x
directement perpendiculaire à (V ,V )
2
norme
→→
)V,V(
21
→→→→
∧
VV
VV
=
1
1
2
représente
La
du
sin
1
2
.
produit
vectoriel
la
surface S
du
parallélogramme défini par
→
V
1
→
)V
2
et
.
Cas de nullité du produit vectoriel :
•
•
l'un des vecteurs est nul,
les deux vecteurs sont colinéaires.
1.1.3 PRODUIT MIXTE
1.1.3.1 Définition du produit mixte
Le produit mixte est une application linéaire antisymétrique de E3 dans R « réel » tel que
le produit mixte est défini et noté :
→→→→→→→→→→→→
∧
,(
,
).
(=)
VVV
VVVVVVVVV
1
21
3
3
3
(=).
3
2
(=).
2
1
∧
2
∧
1
Le produit mixte de trois vecteurs est un scalaire invariant par permutation circulaire des
vecteurs ou par inversion des opérations.
1.1.3.2 Interprétation géométrique du produit mixte :
y
V 2
z
V3
V
S
V1
V 1
→→→→→→
∧
,(
(=)
,
).
VVV
VVV
3
3
21
2
1
du parallélépipède de cotés définis par
→→
VV
,
1
2
représente graphiquement le volume
les vecteurs
→
)V
3
et
x
Cas de nullité du produit mixte :
! l'un des vecteurs est nul,
! deux des vecteurs sont colinéaires,
! les trois vecteurs sont coplanaires.
1.1.4 DOUBLE PRODUIT VECTORIEL
→→→
∧∧
(
)
VVV
3
2
1
→→
∧VV
(
)
est un vecteur perpendiculaire à
3
2
→
→
→
→
Publicité
V µλ
2+ V
V
2 et
V
3
3
Par identification on obtient :
et peut s'écrire alors :
par les vecteurs
. Il se trouve donc dans le plan formé
avec
R∈µλ
²
),(
.
→→→
∧∧
(
).()=
VVV
1
2
3
31
→→→→→→
)
.( -
VVVVVV
3 21
2
1.1.5 DIVISION VECTORIELLE
1.1.5.1 Le problème :
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→
→
WV et
on en conclut :
étant deux vecteurs connus non nuls , existe-t-il un vecteur
→
X tel que :
→→→
∧ WXV
=
!
!
→
X doit être non nul,
→
→
WV et
vectoriel..
doivent être orthogonaux et
→
→
WX et
aussi par propriété du produit
Si il existe une solution
En multipliant vectoriellement par
= , on obtient :
→
X , alors tout vecteur de la forme
→→→
∧ WXV
→
V la relation
→→
VX λ+
sera aussi solution.
→→→→→
WVXVV
∧∧
(
=)
∧
ou
bien
→→→→→→→→
.(
= ).(- )
WVXVVVXV
∧
Si on cherche la solution particulière
où
)
est réel β
→→
.(
XV
→
0X (β = 0) orthogonale à
→
V , on obtient :
→
0
→→
∧
-=
WVX
2
V
et
1.2 APPLICATIONS ANTISYMÉTRIQUES
→
-=
→→
→
∧
VWVX
λ+
2
V
1.2.1 DEFINITION
Une application L de Ε dans Ε est antisymétrique si et seulement si :
L
r
r
r
∈
⋅
∀
uEvetu
,
Remarque : r
.
u
L
r
r
⋅
=-)(
v
v
r
=L(
) 0
u
r
)(
u
1.2.2 PROPRIETES
• Toute application antisymétrique L de Ε dans Ε est linéaire.
L
L
r
r
∈
λ
∀
etEvetu
=
→
S étant donné, l’application L qui à ur fait correspondre
c'est à dire :
r
r
λ
)v+u(
λ ∈∀
,
L
r
)u(
r
)v(
+
• Dans Ε, le vecteur
∧Su)u(L
r =
r
→
est antisymétrique.
1.3 CHAMP DE VECTEURS
1.3.1 DEFINITION
Si à tout point P de l’espace euclidien E(Ε) on fait correspondre un vecteur
→
M d’origine P, on dit qu’on définit un champ de vecteurs.
(P)
1.3.2 CHAMP ANTISYMETRIQUE
Un champ de vecteurs
M est antisymétrique si et seulement si, L étant une application
antisymétrique de Ε dans Ε quels que soient les points P et Q de E(Ε), on a :
→
→
→
LMM
(Q)
(P)
=
+
→
)PQ(
Dans Ε, cette relation s’écrit :
→
→
=MM
(P)
(Q)
+
→→
∧S
PQ
1.3.3 CHAMP EQUIPROJECTIF
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Un champ de vecteurs
:
→
M est équiprojectif si, et seulement si, quels que soient les points P et Q de E(Ε), on a
→
M
→
→
. M
PQ
=
→
.
PQ
(Q)
(P)
1.3.4 THEOREME DE DELASSUS
Tout champ antisymétrique est équiprojectif et réciproquement.
Démonstration :
→
→
LMM
Si nous avons
=
Comme l’application L est antisymétrique :
(Q)
(P)
+
→
)PQ(
, alors :
→
M
→
.
PQ
(P)
→
M
=
→
.
PQ
(Q)
+
L
→
→
.
PQ)PQ(
→
→
.
PQ)PQ(
L
→
0=
→
M
(P)
→
. M
PQ
=
→
.
(Q)
PQ
Donc :
→
Le champ de vecteurs
M est donc équiprojectif.
Réciproque :
→
Soit un champ équiprojectif :
→
Retranchons
(O).M
→
PQ
→
M
(P)
→
. M
PQ
=
→
.
PQ
(Q)
Nous obtenons :
Et, en factorisant :
à chaque membre de l’expression précédente.
→
→
M
-
.
PQ
(P)
→
→
MM
(P)
-
→
M
→
→
M
=
→
(O)
.
PQ
→
→
OQ
OP
-
.(
→
M
(Q)
-
.
PQ
→
)=
MM
(Q)
-
→
PQ
.
(O)
→
→
→
OQ
OP
-
.(
)
(O)
(O)
→
→
MM
-
(P)
Publicité
(O)
→
.
OQ
→
-
.
OP
→
Finalement, on obtient :
→
→
→
→
MM
-
(P)
(O)
=
→
.
OQ
MM
-
(Q)
(O)
→
-
.
OP
→
→
MM
-
(Q)
(O)
Le champ de vecteurs
→
.
OP
M étant équiprojectif, les deux produits scalaires :
MM -
(P)
MM -
(Q)
sont nuls.
(O)
(O)
et
→
→
→
→
→
.
OQ
→
→
.
PO
→
Soit L l’application de Ε dans Ε qui à tout vecteur AB
→
-
QO
.
MM
-
(P)
D'où :
=
(O)
→
→
→
MM
-
(Q)
(O)
associe le vecteur :
L'égalité
→
→
→
-
(A)
(B)
→
→
)AB(
→
MML
=
=
→
→
-
QO
.
→
QO (PO) PO (QO)
=
→
.
PO
L
MM
-
(P)
L
(O)
→
→
-
.
.
→
MM
-
(Q)
(O)
s'écrit :
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L’application L est donc antisymétrique et la relation
MML
=
-
(A)
(B)
donne :
→
→
→
)AB(
→
→
→
LMM
→
)AB(+(B)
=(A)
→
∧Su)u(L
r =
r
et
d’ou
→
→
=(A) MM
→→
∧S
AB+(B)
Le champ de vecteurs
M est donc antisymétrique.
1.4 TORSEURS
1.4.1 DEFINITION D’UN TORSEUR
On appelle torseur T l'ensemble d'un champ antisymétrique
associé.
→
M et de son vecteur S
→
Pour définir complètement un torseur, il faut et il suffit de préciser :
•
•
→
le vecteur S
,
la valeur du champ
M en un point quelconque P.
→
Ces deux vecteurs sont appelés éléments de réduction du torseur au point P.
→
S
est aussi appelée coordonnée Somme du torseur indépendante du point.
→
M est aussi appelée coordonnée Moment du torseur dépendante du point.
(P)
1.4.2 NOTATION D’UN TORSEUR
T
→
S
= →
M
(P)
M
=
,
x
S
S
S
z
MMM
,
(M)
x
,
(M)
,
y
(M)
y
z
rrr ,
,
zyxP
,
•
•
→
sont les projections de S
,
SSS
,
x
y
z
dans la base orthonormée directe
rrr
),
zyx
,(
MMM
,
(M)
,
(M)
x
y
rrr
),
zyx
,(
directe
z
(M)
sont les projections de
→
M dans la base orthonormée
(P)
1.4.3 CHANGEMENT DE POINT
→
→
→
Le champ de vecteurs
M étant antisymétrique, on peut écrire :
=MM
(A)
(B)
+
→→
∧S
AB
T
=
D’où :
1.4.4 TORSEUR NUL
→
→
S
M
(A)
=
A
→
→
S
→
MM
=(B)
Publicité
→
BA+(A)
B
→
S
∧
→
0
T
=
→
0
M∀
1.4.5 SOMME DE DEUX TORSEURS
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Soient deux torseurs
T
=
1
→
S
r
M
1
1
(M)
M
T
=
2
et
→
S
r
M
2
(N)
2
N
Exprimons la somme des deux champs en M. Pour sommer deux torseurs, il est
nécessaire qu’ils soient écrits au même point. C’est pourquoi, il faut transporter le torseur T2
au point M.
Au point M nous pouvons écrire le torseur T2 :
T
2
=
2
→
S
r
M
(N)
2
r
=
M
N
→
S
2
+
(N)
2
→
→
SMN
2
∧
M
TT
+
1
2
=
1
→
S
r
M
(M)
1
M
+
→
S
r
M
2
2
(N)
N
→
→
SS
+
1
r
r
=
MM
+
(M)
2
1
2
+
(N)
T
=
M
→
→
SMN
2
∧
Ajouter deux torseurs dont les éléments de réduction sont exprimés en des points
différents n'a aucun sens !
1.4.6 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE
Soient un torseur
et un scalaire λ∈R (réel).
→
S
T r
=
M
(M)
M
r
r
MM
λ
=(M)
λ
→
∧
λ
=SMN
(
→
)
+(N)
→
MN+(N)
→
λ
S
)
∧
(
r
M
λ
Ce produit représente bien un champ antisymétrique qui peut être représenté par un
torseur. Au point M nous pouvons écrire :
T
λ
≡=
→
S
r
λ
M
(M)
M
=
→
λ
S
r
M
λ
(M)
M
L'ensemble des torseurs est un espace vectoriel sur le corps des réels.
1.4.7 COMOMENT DE DEUX TORSEURS
On appelle comoment de deux torseurs T1 et T2, la quantité scalaire c(T1, T2) telle
que :
r
→
MTT
.S=
2
1
⊗
1
→
r
M
.S+(M)
2
2
(M)
1
Cette quantité est indépendante du point M et est réel. En effet :
1 TT ⊗
2
est appelé aussi Invariant scalaire du torseur
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⊗
1
r
→
MTT
.S=
r
1
2
→
M
.S=
1
2
→
.S+(M)
2
→
.S+(N)
2
2
r
M
r
M
1
→
→
r
r
→
M
M
∧
.S=(M)
.S+SMN+(N)
1
2
2
2
→→
→
→→
→
,
,
(
,
()+
)
S+(N)
SMN
S
SMN
1
2
1
1
4444
4444
2
3
0 =
,
2
→
1
→
→
SMN+(N)
∧
Publicité
1
1
1.4.8 AUTOMOMENT D'UN TORSEUR
On appelle automoment d'un torseur, la quantité scalaire A(T) telle que :
r→⊗
M
TT
(
)
.S=
(M)
A
T
(
1)
=
2
⊗=
TT
A(T)
Cette quantité, indépendante du point M, constitue un invariant du torseur.
est appelé aussi Invariant scalaire du torseur
1.4.9 AXE CENTRAL D'UN TORSEUR
Soit un torseur
T
=
r
M
→
S
(M)
M
→
points I pour lesquels le champ
M est colinéaire à S
.
→
En I, on peut écrire :
r
S=(I) αM
→
.On appelle axe central de T, l'ensemble des
r
r
MM
=(M)
→→→→→
α
SMI+S=SMI+(I)
⇔∧
∧
Or
r
M
→→→
α
SMI=S-
∧
(M)
Cette égalité n'existe que si :
r
→
αMet
0
S-
(M)
→
S
⊥
→
S
≠
r
M
→
.S
(M)
→
α
=S-
0
r
M
→→
α
S.S=(M)
→
.S
ou
bien
Ce qui nous permet d'écrire :
r→
M=
.S
D'ou :
(M)
α
S
2
Cette valeur est indépendante M du point et est appelée le «pas»
du torseur.
De la relation
r
(M) αM
→→→
∧SMI=S-
on tire, par division vectorielle, le résultat suivant :
→
S
→ ∧
=MI
r
M
r
S
2
(M)
→
λ
S +
→
Ce résultat représente l'équation paramétrique d'une droite parallèle à S
et passant par un
point I où le champs antisymétrique est minimum (voir définition).
1.4.10 TORSEURS PARTICULIERS
1.4.10.1 Torseur Glisseur
→
Tout torseur dont l'automoment est nul (avec S
→
≠ 0 ) est appelé glisseur.
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Il découle de cette définition que :
→
,
(M)
r
S M
⊥
le pas d'un glisseur est nul,
r
0M =(I)
→
•
•
•
où I appartient à l’axe central
Donc, si :
→
r
S M
⊥
(M)
,
→
S
T r
=
M
(M)
M
=
→
S
→
0
I
1.4.10.2 Torseur Couple
→
Tout torseur T dont le vecteur S
Il découle de cette définition que :
r
! le champ M
! l'automoment est nul,
! l'axe central n'est pas définit.
est constant,
est nul, est appelé couple.
Donc, si :
→ →
S
= 0 , le torseur couple s’écrit :
→
C 0
r
≡
M
M∀
1.4.11 DECOMPOSITION D'UN TORSEUR
En tout point M, un torseur T se décompose en somme d'un glisseur et d'un couple de la
manière suivante :
T
→
S
r
=
M
(M)
M
=
→
S
→
0
M
→
0
r
+
M
(M)
∀
M
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Sciences Industrielles
Cours
Calcul vectoriel
1.4.12 INTERPRETATION GEOMETRIQUE D’UN TORSEUR
T
→
S
r
=
M
(M)
M
=
→
S
r
r
=
→
( MM
+
I)
IMI)
(
I
→
S
∧
M
r
S
r
(M
M)
→
IM
r∧
S
r
(M
M)
M
→
IM
r∧
S
r
(M
M)
M
→
IM
r∧
S
M
M
→
IM
r∧
S
r
(M
M)
On remarque qu’il est possible d’imaginer la représentation géométrique d’un torseur comme une liaison vis-
écrou d’axe, l’axe centrale du torseur. Cette liaison est appelée dans la norme liaison hélicoïdale d’axe : l’axe
centrale du torseur représenté ci-dessus ; d’où le nom de torseur (torsion).
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