Sciences Indusrielles

Ce document présente les notions fondamentales de la mécanique appliquée à l’énergétique, destinées aux étudiants en sciences industrielles. Il couvre les concepts de puissance, travail, énergie potentielle, théorème de l’énergie cinétique, inertie ramenée sur un axe, ainsi que des cas particuliers de puissance développée par des actions mécaniques de type couple et force.

Puissance en mécanique

Soient deux ensembles matériels (S1) et (S2). À l’instant t, si (S1) exerce sur (S2) une densité de force f, la puissance développée par cette action mécanique dans le mouvement de (S2) par rapport à un référentiel d’étude (R) s’écrit :

P = ∫(f · V) dm  (en W, Watt)

où V est le vecteur vitesse du point matériel considéré dans (S2) par rapport à (R).

En introduisant la décomposition du vecteur vitesse d’un solide :

V = V_A + ω × AM

avec :

• V_A : vitesse du point A du solide
• ω : vecteur vitesse angulaire
• AM : vecteur position du point M par rapport à A

On peut exprimer la puissance sous la forme :

P = R · V_A + M_A · ω

où :

• R : résultante des actions mécaniques exercées par (S1) sur (S2)
• M_A : moment résultant en A des actions mécaniques exercées par (S1) sur (S2)

La puissance est donc le produit des torseurs cinématique du mouvement de (S2) par rapport à (S1) et du torseur des actions mécaniques exercées par (S1) sur (S2). Ce produit est la somme des produits scalaires entre la résultante et la vitesse linéaire, et entre le moment et la vitesse angulaire.

Exemple d’application

Considérons un solide (S2) en mouvement par rapport à (S1) avec un point A fixé dans (S2). Si la résultante des forces exercées par (S1) sur (S2) est R, le moment en A est M_A, la vitesse en A est V_A, et la vitesse angulaire est ω, alors la puissance développée est :

P = R · V_A + M_A · ω

Travail

Le travail W entre deux instants t1 et t2 de l’action mécanique exercée par (S2) sur (S1) dans le mouvement de (S1) par rapport à un référentiel R est défini par :

W = ∫(t1 à t2) P dt  (en J, Joule)

Le travail est donc l’intégrale temporelle de la puissance.

Énergie potentielle

Un ensemble matériel (S1) possède une énergie potentielle associée à l’action mécanique exercée par un autre ensemble (S2) dans le mouvement de (S1) par rapport à un référentiel R, si une fonction scalaire E_p existe telle que :

P = - dE_p / dt

où P est la puissance développée par (S2) sur (S1).

Énergie potentielle de pesanteur

Pour un corps (S1) soumis à la pesanteur dans un référentiel R supposé galiléen avec un champ de pesanteur constant g, la puissance développée par la pesanteur est :

P = ∫(S1) g · V dm = - m g dz/dt

avec :

• m : masse totale de (S1)
• z : coordonnée verticale ascendante du centre d’inertie G de (S1)

On en déduit l’énergie potentielle de pesanteur :

E_p = m g z

Énergie potentielle d’élasticité : ressort longitudinal

Considérons un ressort de raideur k, de longueur à vide l_0, et de longueur x à l’instant t. L’effort exercé par le ressort sur un solide est :

F = - k (x - l_0)

La puissance développée par cette force est :

P = F · dx/dt = - k (x - l_0) dx/dt

Le travail entre t1 et t2 est :

W = ∫(t1 à t2) P dt = - (1/2) k [ (x(t2) - l_0)^2 - (x(t1) - l_0)^2 ]

On en déduit l’énergie potentielle élastique du ressort :

E_p = (1/2) k (x - l_0)^2

Théorème de l’énergie cinétique

Appliqué à un solide

Le théorème fondamental de la dynamique appliqué à un solide (S) en mouvement par rapport à un repère galiléen R, multiplié par le torseur cinématique du mouvement en un point A quelconque, conduit à :

dT/dt = P

où :

• T : énergie cinétique galiléenne du solide (S)
• P : puissance galiléenne développée par les actions mécaniques extérieures à (S)

Ce théorème exprime que la dérivée temporelle de l’énergie cinétique est égale à la puissance des forces extérieures.

Appliqué à un ensemble de solides

Pour un ensemble E composé de plusieurs solides S_i :

dT_E/dt = Σ dT_i/dt = Σ P_i

où T_E est l’énergie cinétique totale et P_i la puissance développée sur chaque solide S_i. Il faut aussi tenir compte des puissances des actions mécaniques mutuelles entre les solides.

Intérêt du théorème

Si les efforts extérieurs dérivent d’une énergie potentielle E_p, alors :

d/dt (T + E_p) = 0

Ce qui conduit à une intégrale première du mouvement :

T + E_p = constante

Inertie ramenée sur un axe

Considérons un système composé de deux sous-ensembles fonctionnels :

• Ensemble 1 : arbre moteur + pignon 1, d’inertie I1 autour de l’axe fixe Oz, tournant à la vitesse ω1
• Ensemble 2 : arbre récepteur + pignon 2 + roue d’inertie, d’inertie I2 autour de l’axe Az, tournant à la vitesse ω2

L’énergie cinétique totale est :

T = (1/2) I1 ω1^2 + (1/2) I2 ω2^2

Le réducteur impose la relation entre vitesses :

ω2 / ω1 = Z1 / Z2

avec Z1 et Z2 le nombre de dents des pignons 1 et 2.

L’énergie cinétique peut s’écrire :

T = (1/2) I1 ω1^2 + (1/2) I2 (Z1 / Z2)^2 ω1^2

On définit alors l’inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur :

I_eq = I1 + I2 (Z1 / Z2)^2

Cas particuliers de puissance développée

Puissance développée par un couple

Si (S1) exerce sur (S2) un couple C suivant Oz, le torseur d’action mécanique est :

{T} = {0, 0, C; 0, 0, 0}

Le torseur cinématique du mouvement de (S2) par rapport à R est :

{V} = {ω_x, ω_y, ω_z; v_x, v_y, v_z}

La puissance développée par ce couple est :

P = C · ω_z

Puissance développée par une force

Si (S1) exerce sur (S2) une force F en un point A, le torseur d’action mécanique est :

{T} = {F_x, F_y, F_z; 0, 0, 0}

Le torseur cinématique du mouvement de (S2) par rapport à R est :

{V} = {ω_x, ω_y, ω_z; v_x, v_y, v_z}

La puissance développée par cette force est :

P = F · v_A

où v_A est la vitesse du point d’application A.

Glossaire des termes clés

• Puissance (P) : taux de transfert d’énergie mécanique, exprimé en watts (W).
• Travail (W) : énergie transférée par une force ou un couple sur un déplacement, exprimé en joules (J).
• Énergie potentielle (E_p) : énergie stockée dans un système en raison de sa position ou configuration.
• Énergie cinétique (T) : énergie liée au mouvement d’un solide.
• Torseur cinématique : couple formé du vecteur vitesse linéaire et du vecteur vitesse angulaire d’un solide.
• Torseur des actions mécaniques : couple formé de la résultante des forces et du moment résultant exercés sur un solide.
• Moment (M_A) : moment des forces par rapport à un point A.
• Inertie équivalente (I_eq) : inertie ramenée sur un axe unique, prenant en compte plusieurs éléments en rotation.
• Couple (C) : moment de force tendant à faire tourner un solide autour d’un axe.
• Réducteur : mécanisme permettant de modifier la vitesse de rotation entre deux arbres.

Points clés à retenir

• La puissance mécanique est le produit scalaire entre les forces (ou couples) et les vitesses (linéaires ou angulaires).
• Le travail est l’intégrale temporelle de la puissance.
• L’énergie potentielle est liée à des forces conservatives et permet d’exprimer la puissance comme la dérivée négative de cette énergie.
• Le théorème de l’énergie cinétique relie la dérivée de l’énergie cinétique à la puissance des forces extérieures.
• L’inertie équivalente permet de simplifier l’étude dynamique de systèmes composés de plusieurs solides en rotation.
• Les puissances développées par des couples et des forces s’expriment respectivement par C·ω et F·v.