Sciences Indusrielles
Energétique
Mécanique - Energétique
MECANIQUE
ENERGETIQUE
L’expression de l’énergie cinétique ayant été vue lors du cours de cinétique - dynamique, nous n’en redonnons pas ici l’expression. On se contentera ici d’en donner des applications
1 Puissance
Définition : Soient deux ensembles matériels (S1) et (S2). Si à l’instant t, (S1) exerce sur (S2) une
r ( M® f 1 2
)
densité de force
; la puissance développée, à l’instant t, par l’action
mécanique de (S1) sur (S2), dans le mouvement de (S2) par rapport à un référentiel d’étude (R) s’écrit et se note : ur )
r / PSSRfM VM SRdm ® /.
en W (Watt) = Nms-1
(
)
(
)
(
®= 1212
2
M S
2
D’après le champs des vecteurs vitesse d’un solide, on peut écrire : ururuuurur ) Î=Î+Ù VM S RV A SRMAS R /
//
)
(
(
)
(
. En introduisant cette relation dans la définition
22 ci-dessus, on a alors : uruuurur ( PSSRfM V ASRdmfMMAS Rdm
/./.
(
)
)
r
®=Î+Ù 1212212
( / 2
2
MSM S ururuuur ( . PSSRV A SRfMdmSRfMMAdm
®=Î+W 1221221 2//./
)
)
(
2
r
(
urururuuuur ( . PSSRV A S RRSSSRAMfMdm
®=Î 1221221 2//./
®+W
(
)
)
(
MSM S
2
(
urururuuur ) PSSRV A S RRSSSRMS . 2 r ) =
®+W ®=Î 1221221 ur ( RSSfMdm 12121
avec :
//./
(
2
M S
2
et uuuruuuur ) ( ®= MSSAMfMdm 12121
A
2
M S
2
) (
( S )
r
(
)
)
)
)
)
(
(
)
r
(
(
)
)
M S
2
(
A
2
2
)
)
(
)
)
(
(
r
r
)
résultante des actions mécaniques qu'exerce S sur S
,
moment résultant en A des actions mécaniques de S sur S
On voit donc apparaître dans l’expression de la puissance les deux torseurs :
cinématique de S2/R:
{ ( VS R /
2
} )
= í
A
ur
(
)
S R / 2
ur ) V A S R
(
/
2
des actions mécaniques de S1 sur S2 :
{ ( TS S /
1
} )
2
= í
A
et
ur ( RS uuur MS A
(
1
S
)
2
S
1
)
2
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On a donc :
(
®== PSSRVSRTS /./ 1221 2
)
S .
urur ( uruuur ) ( V A SRMS
SRRS / 21
)
/ 21
2
(
(
S
A
S
2
)
)
{
A
(
} )
{
A
(
} )
La puissance développée par les efforts de 1 sur 2 dans le mouvement de 2/1 est donc le « produit » des torseurs cinématiques du mouvement de 2 par rapport à 1 et du torseur des actions mécaniques qu’exerce 1 sur 2. On entend ici par produit de torseur, la somme des deux produits scalaires Résultante d’un torseur scalaire Moment de l’autre. Cette puissance peut se calculer à partir des torseurs réduits en un même point qui par contre peut être quelconque.
La notion de puissance dépend du repère d’étude : Soient deux repère R0 et R3 et deux solides S1 et S2: D’après la composition des vecteurs vitesse, on peut écrire : ururur ( ) VM SRVM SRVM R R /
Î=Î+
)
(
)
(
/
/ 20233
0
par les efforts qu’exerce S1 sur S2 dans son mouvement par rapport R0
rapport à R3
/ r ) PSSRfM VM S RdmfMVM SRVM RRdm
ururur (
®=Î=Î+ 120122012233
/././
( PSS R® )
) : (
) /
(
12
3
0
r
(
)
(
®=Î+ 1201223123
PSSRfM VM SRdmfM VM R Rdm MSM S
/./.
0
2
)
urur (
)
2
MSM S r /
(
(
( PSSRPSSRV RRTS
®=®+ 120123301
///
)
.
2
S
)
)
r
2
)
(
(
2
(
} } { ) ) 1444442444443 A A 0
{
(
, donc si on calcul la puissance développée ( PSS R®
, puis par
)
/
12
0
)
(
)
(
)
Définition : Puissance développée par les actions mutuelles entre deux ensembles matériels S1 et
S2 : On la note «=®+ 1212021
( PS
)
0
SPSSRPSS R
( PS (
S«
1
2
)
/
et cette quantité vaut : )
(
)
/
Remarque : Cette puissance ne dépend pas du repère R0 choisi pour la calculer : Soit un second
repère d’étude noté R1 :
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®
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( PS
«=®+ 1212021
SPSSRPSS R
)
0 =®+
=+®
A =®+®
.
/
1 A
(
)
)
(
Publicité
S
AAA
{
( +
/./ 2012102
( ( / } { } ( ) ) VSRTSSV SRTS { } { } ) ) VSRV RRTS // . 21101 2 A } } { { ) ( ) + V SRV RRTS . 1 A } } } { { ) ) ) + VSRTSSVSRTS /./ 2112112 1 14444424444431444442444443 AAA A
} ) } ) } )
{ {
{ {
// 11102
} )
( S
{
{
S
S
(
(
(
(
(
(
(
(
.
A
A
A
} )
{ V R R 1 0
(
/
A
( PS } )
.
SRPSS R / 1
12121
) { ( ®+ TSSTS 211
A
} } ) ) S 2 144444424444443 r 0 r 0
{
(
=í
A
(
)
/
=®+
PSSRPSS R 12121
)
(
)
/
( ( PS
=
/ 1 )
S
2
1
Liaisons parfaites entre solides : Si S1 et S2 sont en liaison parfaites, cela signifie que l’on a :
( PS
S«
1
) = 2
0
On peut alors écrire : ( PS
«=®+ 1212221
)
SPSSSPSS S ( .
2 =®+
0/./
/
)
( { } { ) VSSTSSV SSTS 2212122 1 1442443 AAA A torseur nul } { ) V SSTS . 122
{ S A
(
A
1
=
0/
)
{
(
( (
(
S
/ } )
} )
} )
{
(
} )
Les deux torseurs (cinématique et des actions mécaniques transmissibles) sont donc complémentaires : les zéros de la résultante de l’un correspondent aux composantes non nuls du moment de l’autre :
=«=®
0/.
(
( PSSVSSTSSvY M
= . 12122
)
1
{
O
} )
{
O
(
=
+ XvYvZvL
++ 0 y Exemple sur la liaison Pivot glissante d’axe (
Nw
+ yzx
+ w
M
w
x
z
=«=® 0/.0
= PSSV SSTSSv . 0 12122 O
1
)
(
{
(
Y
} )
{
O
(
} )
r )Ox
} )
w
w w
x
y
z
vX x
L
y vZ N z
O
O
ente les deux solides S1 et S2:
wì
x
0
O
0
y
z
v
0
L
Z
0
O
2 Travail
Définition : Le travail entre deux instants t1 et t2 de l’action mécanique qu’exerce un solide (S2)
sur un solide (S1) dans le mouvement de (S1) par rapport à un référentiel R vaut :
WSSRPSSRdt
t 2 1212
1
t
®=
(
)
/
(
t
2
t
1
)
/
en J (Joule)
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® ò Sciences Indusrielles
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Cette relation entre travail et puissance peut s’écrire sous forme de dérivation :
(
PSS R 2
) =
/
1
3 Energie potentielle
( ( d WSS R
2
/
1
)
)
dt
Définition : Un ensemble matériel (S1) possède une énergie potentielle associée à l’action
mécanique qu’exerce un ensemble matériel (S2) dans le mouvement de (S1) par rapport à un référentiel R si il existe une fonction scalaire notée
( PESS R®
1 /
2
)
telle que l’on puisse écrire :
(
®= - PSS R 2
/
1
)
(
dESS R 2 P dt
)
/
1
EP est alors l’énergie potentielle de S2 due à l’action de S1 dans son mouvement par rapport à R.
Remarque : Entre deux instants t1 et t2,
( 2 t WSSR tP 12
®= 1 P
E
) E
/
1
2
Energie potentielle de pesanteur : L’action mécanique de la pesanteur sur un corps S1 est fréquemment notée ( La puissance développée par la pesanteur sur un corps S1 en mouvement par rapport à un référentiel r r r R O x y z , ; , )
vaut, par définition : (
. Avec l’hypothèse que le champ de pesanteur est constant
®r g
( (
S 1
ur
®=
.
)
)
)
r
r
/
1
PgSgVM SRdm 1 M S 1
.
sur tout le corps S1 pendant son mouvement par rapport au référentiel R (ce qui exclut par exemple la face de lancement d’une fusée : le champ de pesanteur n’étant pas identique au sol et en orbite). En prenant le paramétrage classique : ggz= - :
r
r
r
(
)
®=-
Î=-
r ./. PgSgzVM SRdmmgzVG S R M S 14444244443 1
)
11
/
1
urur (
ur
r
(
)
urur ( VG SRV G R 1 /
Î=
)
Or:
( =
1
(
) mVG S R / uuur dOG dt
)
/
car G est bien sur un point matériel du solide S1 dont il
R
est le centre d’inertie. On peut donc réécrire la puissance sous la forme :
r
(
®=-=- PgSmgzmgOG
)
1
r
.
uuur dOGdz dtdtdt R
uuur r ( . dOG z
)
uuur
.
r
R
. En notant
uuur r . OGz
z=
, on
G
Publicité
obtient :
r ( ®=-= - PgSmg
)
1
( dmgz
)
G
dz G dtdt
On obtient donc aisément l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur :
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r avec z
r verticale ascendante et Gz , coordonnées cartésienne du centre d’inertie de S1 sur z
Emgz P
pesanteur
=
G
Energie potentielle d’élasticité : Cas d’un ressort longitudinal :
.
r x
O
Bâti
On considère un ressort de longueur à vide 0l et de longueur x à un instant t. Soit k sa raideur (en N/m).
L’effort qu’exerce ce ressort sur le solide (non représenté) qui le déforme, vaut donc :
ur Rklx x®
ressortsolide
=
)
(
r
0
La puissance développée par l’action mécanique du ressort sur le solide qui le compresse (ou l’étire) est égal à :
) = ®== /0 0.0 Pressortsolidebatiklxxkl
(
x 0
0
& xkl
000
O
O
x
0
(
0
)
0
(
0
)
&
(
0
)
dx dt
Donc le travail entre deux instants t1 et t2 de l’action mécanique du ressort sur le solide dans son déplacement par rapport au bâti, vaut :
2 =-=-=-
dx ( WklxdtklxdxklxE dt
) -=
0
1
2 E 1
(
001
)
2
(
1 2
2
)
2
1
potpot
On en déduit donc l’énergie potentielle d’élasticité d’un ressort de raideur k et de longueur à vide
(ou au repos) :
Ekl
x potentielle ressort
=
1 2
(
0
)2
4 Théorème de l’énergie cinétique
4.1 Appliqué à un solide
On « part » du principe fondamental de la dynamique appliqué à un solide (S) dans son mouvement par rapport à un repère R en un point A quelconque : {
. « Multiplions » ce principe par le torseur cinématique en A du
} ) D SRTS /
{ S=
} )
(
(
A
A
mouvement de S/R :
{
} ) D SRTS /.
(
A
A
urur (
/
{ ( urur S ( V A SRV A S R
) SRS R )
=
/
A
} )
.
(
A
(
/
)
)
/
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Energétique ur
dm
P
P S uuurur APdm
P
ur
dm
P
P S uuurur APdm
P
A
P S
A
P S
.
.
A
A
urur (
ur ( ) RS SRS R urur uur ( ) V A SRV A S RMS A
=
/
/
(
(
/
)
. D’où :
) 144444424444443 A
S
/
A
urur (
ur ( ) RS SRS R urur uur ( ) V A SRV A S RMS A
=
/
/
(
(
/
)
) 144444424444443 A
S
/
A
)
S
.
.
)
)
( PSS R
)
S
( PSS R
( )
( )
/
/
) ( PSSRV A SRdmSRAPdm
ururuuur ( .
®=Î+W
//./
)
Or
(
Î=Î+Ù
ururuuurur ) ) V A SRV P SRAPS R / // ururuuurur ( +Ù = V VAPS R
(
A
P
l’écriture :
urur dVdV P dtdt
PSP S
écrite ci-dessus :
( PSSR
®=+Ù
W+Ù
) VdmAPSRdmAPSRdm /./..
ururur uruuururuuurur dVdVdV PP dtdtdt
/ PSPSP S
P
(
)
(
)
P
, ce qui donne sous forme simplifiée au niveau de
)
/
. On obtient donc une nouvelle expression pour la puissance
(
P
)
÷
(
) ÷ ÷
14444444r
444444244444444444443
0 les deux termes étant opposés
= (produit mixte avec deux term
es permutés)
On a donc trouvé :
( PSSR
®==
/
urur . P
) VdmdmVdm PSPSP S
ur dV P = dtdtdt
ur ( d V
P
2
)
d
1 2
.
2 P
1 2 1442443 ( T S R /
)
On a donc le théorème de l’énergie cinétique : La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique Galiléenne d’un solide S en mouvement par rapport à un repère R Galiléen est égale à la puissance Galiléenne développée par les actions mécaniques extérieures à S. ( d T S R
)
/
=
( PSS R
)
/
dt
Remarque :
Ce théorème ne donne pas d’équations supplémentaires par rapport au principe fondamental de la dynamique puisqu’il en est directement issu !!!
4.2 Appliqué à un ensemble de solides
Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un ensemble de plusieurs solides en mouvement dans un repère Galiléen R :
Soit
E
= U , on a S
i
i
i
:
)
( dTS R /
i dt
=
( PSS R i
/
i
)
. Or
T ERTS R= å /
(
)
(
/i
)
i
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Energétique ( ) dT E R dt
/
Donc :
D’autre part :
=
( PSS R i
/
i
)
avec
S
i
i
) ( PEERPES R
®=
/
(
/i
j
S
= U E )
j
i
. On trouve donc :
i /
( dT E R dt
)
=®+
( PEERPS
/
) S
(
i
)
j
i
j
On remarque qu’il faut tenir compte des puissances des actions mécaniques mutuelles entre chaque solides composant E
4.3 Intérêt de ce théorème
Intégrale première du mouvement
Si les efforts extérieurs au solide S étudié dérivent tous d’une énergie potentielle
( ®= - PSS R
)
/
( PdES R / dt
)
.
PE on a :
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au solide S dans son mouvement par rapport à R : ( d T S R
)
/
=
( PSS R
)
/
dt
On obtient donc, en combinant les deux relations :
d dt
T SRES R //
)
+
(
( 0P
)
=
Soit en intégrant : on obtient une équation que l’on appelle intégrale première du mouvement : T SRES R+
=
(
)
( //constanteP
)
5
Inertie ramenée sur un axe
Moteur
r Axe Oz
r Axe Az
Arbre moteur lié au pignon 1 : inertie par r rapport à l’axe Oz : I1
Arbre récepteur lié au pignon 2 + roue d’inertie: inertie par rapport à l’axe r Az : I2
On calcul l’énergie cinétique de ce système composé de deux sous – ensemble fonctionnels :
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Mécanique - Energétique
Æ L’ensemble 1 composé de : l’arbre moteur + pignon 1 (nombre de dents Z1) tournant autour
1w par rapport au bâti 0. Le tout d’inertie I1 par
r de l’axe fixe Oz à la vitesse de rotation r rapport à l’axe Oz
Son énergie cinétique vaut :
T
( 1 / 0
)
=
1 2
2 I w 1 1
r autour de l’axe fixe Az r Le tout d’inertie I2 par rapport à l’axe Az 1 2
Son énergie cinétique vaut :
2 / 0
T
=
(
)
I w 2
2 2
Æ L’ensemble 2 composé de : l’arbre récepteur + pignon 2 (nombre de dents Z2) tournant
à la vitesse de rotation
2w par rapport au bâti 0 + la roue d’inertie.
L’énergie cinétique de l’ensemble {
} 1 2+
vaut donc :
( { } + 1 2/ 0 I TI
)
=
1 2
w 112
2
+ 2
1 2
2
w
Lorsque l’on cherche l’inertie équivalente ramené sur l’arbre moteur (que nous noterons
eqI
)
du système, cela revient à chercher à mettre l’énergie cinétique de cet ensemble sous la
forme :
T
( { } + 1 2/ 0
)
=
1 2 eq
2 I w 1
Le réducteur entre 1 et 2 nous donne la relation suivante entre les vitesses de rotation :
= -
w 2 w 1
Z Z
1
2
.
L’énergie cinétique de l’ensemble { 11 =+= 22
( { } + 1 2/ 0 I TIII
22 ww 11
Z Z
2112
+
)
2 1 1 2 2 2
} 1 2+
peut donc s’écrire :
2 w
1
Z Z
2 1 ÷ 2 2
. En comparant les deux expressions, on
en déduit l’expression de l’inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur :
II eq
=
I
+
1
2
Z Z
2 1 ÷ 2 2
Si on appelle r le rapport de réduction du réducteur composé des deux roues dentées :
r
l’inertie équivalente vaut alors :
eqIIr I=
(
+
1
2
)
2
6 Cas particuliers
=
Z Z
1
2
,
6.1 Puissance développée par une action mécanique de type
couple
r Si le solide S1 exerce sur le solide S2 un couple C (en Nm) suivant Oz mécanique de S1 sur S2 est de la forme : 0 0
alors le torseur d’action
{ T
} ) ( = 120 0
. Le mouvement de S2 par rapport à un repère d’étude R étant
0O
C
quelconque, le torseur cinématique de 2/R n’a aucune forme particulière :
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{ ( VR
2/
} )
= í
O
w x
v w y w z
v x
y v z
.
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La puissance développée par ce couple dans le mouvement de 2/R vaut donc :
( C 12/0 0. PRv
®=
)
0 0
0
C
O
O
w x = w w z
yy
v x
v
z
w
.
z
La puissance développée par un couple est de la forme :
6.2 Puissance développée par une action mécanique de type
force
ur FF x=
r
en un point A, alors le torseur d’action
Si le solide S1 exerce sur le solide S2 une force mécanique de S1 sur S2 est de la forme : F
0
{ T
} ) ( = 120 0
. Le mouvement de S2 par rapport à un repère d’étude R étant
0 0
A
quelconque, le torseur cinématique de 2/R n’a aucune forme particulière :
{ ( VR
2/
} )
= í
O
w x
v w y w z
v x
y v z
.
La puissance développée par cette force dans le mouvement de 2/R vaut donc :
( ®= PRvFv 12/0 0.
)
F
0
0 0
O
O
w = w w
x
yy
z
v
x
v
z
.
x
La puissance développée par une force est de la forme :
Fv
( N.ms
)-1
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Emmanuel FARGES
EduKlub S.A.
Ó
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