Résolution des systèmes linéaires

Ce document présente les notions fondamentales pour la résolution des systèmes linéaires, destinées aux étudiants en mathématiques appliquées ou en sciences de l’ingénieur. Il couvre la formulation matricielle des systèmes, la méthode d’élimination de Gauss, les conditions d’existence et d’unicité des solutions, ainsi que le traitement des cas particuliers selon le nombre d’équations et d’inconnues.

Définitions

Un système de m équations à n inconnues x1, x2, ..., xn s’écrit sous forme matricielle :

AX = B

où :

• A est une matrice de taille m×n,
• X est le vecteur colonne des inconnues (x1, x2, ..., xn),
• B est le vecteur colonne du second membre, de taille m.

Le vecteur X est appelé solution du système.

Exemple : Le système suivant de 4 équations à 3 inconnues :

2x2 + 4x3 = 6
2x1 - x1 + x3 = 7
4x1 + x2 - 5x3 = 8
-x1 + 2x2 + 6x3 = 1

peut s’écrire sous forme matricielle :

A = [
  [0, 2, 4],
  [2, -1, 1],
  [4, 1, -5],
  [-1, 2, 6]
]

X = [
  x1,
  x2,
  x3
]

B = [
  6,
  7,
  8,
  1
]

La matrice A a 4 lignes et 3 colonnes, le vecteur B a 4 composantes, et la solution X a 3 composantes.

Résolution par la méthode de Gauss

La méthode d’élimination de Gauss permet de résoudre tout système linéaire, quel que soit m et n. Elle consiste à transformer le système initial en un système triangulaire supérieur par combinaisons linéaires successives, sans changer l’ordre des équations. Le système triangulaire supérieur est ensuite résolu par substitution en partant de la dernière équation.

Un système est dit triangulaire supérieur si la matrice associée est triangulaire supérieure, c’est-à-dire que tous les coefficients sous la diagonale principale sont nuls.

Exemple : Résolution du système :

(eq1) 2x1 + x2 + 4x3 = 9
(eq2) x1 + x3 = 3
(eq3) 6x1 + 4x2 + 2x3 = 6

Étape 1 : Éliminer x1 dans (eq2) et (eq3) en combinant avec (eq1), qui sert de ligne pivot.

• Remplacer (eq2) par (eq2) - 1/2 (eq1) :

x1 + x3 - (1/2)(2x1 + x2 + 4x3) = 3 - (1/2)*9
=> 0x1 + ( -1/2 )x2 + ( -1 )x3 = -3/2

• Remplacer (eq3) par (eq3) - 3 (eq1) :

6x1 + 4x2 + 2x3 - 3(2x1 + x2 + 4x3) = 6 - 3*9
=> 0x1 + (1)x2 + (-10)x3 = -21

Le système devient :

(eq1) 2x1 + x2 + 4x3 = 9
(eq20) -1/2 x2 - x3 = -3/2
(eq30) x2 - 10x3 = -21

Étape 2 : Éliminer x2 dans (eq30) en combinant avec (eq20). La ligne pivot est (eq20).

• Remplacer (eq30) par (eq30) + 2 (eq20) :

x2 - 10x3 + 2(-1/2 x2 - x3) = -21 + 2(-3/2)
=> x2 - 10x3 - x2 - 2x3 = -21 - 3
=> -12x3 = -24

Le système triangulaire supérieur est :

(eq1) 2x1 + x2 + 4x3 = 9
(eq20) -1/2 x2 - x3 = -3/2
(eq3") -12x3 = -24

Résolution par remontée :

• (eq3") : x3 = (-24)/(-12) = 2
• (eq20) : -1/2 x2 - 2 = -3/2 ⇒ -1/2 x2 = 1/2 ⇒ x2 = -1
• (eq1) : 2x1 + (-1) + 4*2 = 9 ⇒ 2x1 + (-1) + 8 = 9 ⇒ 2x1 + 7 = 9 ⇒ 2x1 = 2 ⇒ x1 = 1

La solution unique est :

X = [
  1,
  -1,
  2
]

Nombre de solutions

Un système linéaire peut avoir zéro, une ou une infinité de solutions.

Cas où m = n (matrice carrée)

Systèmes homogènes (AX = 0)

Le système est homogène si le second membre est nul.

• Le vecteur nul X = 0 est toujours une solution.
• Si A est inversible (determinant ≠ 0), la solution unique est X = 0.
• Si A n’est pas inversible (determinant = 0), il existe une infinité de solutions non nulles formant un espace vectoriel appelé noyau de A.

Exemple :

A = [
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6],
  [7, 8, 0]
]

AX = 0

Le déterminant de A est non nul (27), donc la solution unique est X = 0.

Exemple :

A = [
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6],
  [7, 8, 9]
]

AX = 0

Le déterminant est nul, le rang de A est 2, donc le noyau est de dimension 1 et il existe une infinité de solutions :

X = x3 * [
  1,
  2,
  -1
]

Systèmes non homogènes (AX = B, B ≠ 0)

• Si A est inversible, il existe une solution unique : X = A⁻¹B.
• Si A n’est pas inversible, une solution existe si et seulement si le rang de A est égal au rang de la matrice augmentée (A|B).
• Si une solution particulière X0 existe, la solution générale s’écrit :

X = X* + X0

où X* est une solution du système homogène associé (AX* = 0).

Exemple : Le système

A = [
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6],
  [7, 8, 9]
]

B = [
  1,
  4,
  2
]

n’a pas de solution car le rang de (A|B) est supérieur au rang de A.

Exemple : Le système

A = [
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6],
  [7, 8, 9]
]

B = [
  2,
  4,
  6
]

a une infinité de solutions, la solution générale étant la somme d’une solution particulière et des solutions du système homogène associé.

Cas où m ≠ n (matrice non carrée)

m > n (plus d’équations que d’inconnues)

Le système est surdéterminé. En général, il n’a pas de solution. On vérifie l’existence d’une solution en comparant les rangs de A et de la matrice augmentée (A|B).

m < n (moins d’équations que d’inconnues)

Le système est sous-déterminé. Il admet une infinité de solutions, exprimables en fonction d’inconnues arbitraires.

Glossaire des termes clés

• Système linéaire : Ensemble d’équations linéaires à résoudre simultanément.
• Matrice A : Matrice des coefficients du système.
• Vecteur X : Vecteur colonne des inconnues.
• Vecteur B : Vecteur colonne du second membre.
• Solution : Vecteur X vérifiant AX = B.
• Matrice augmentée (A|B) : Matrice obtenue en ajoutant B comme colonne supplémentaire à A.
• Rang d’une matrice : Nombre maximal de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes.
• Déterminant : Scalaire associé à une matrice carrée, non nul si la matrice est inversible.
• Méthode de Gauss : Procédé d’élimination pour transformer un système en forme triangulaire supérieure.
• Système triangulaire supérieur : Système dont la matrice associée a des coefficients nuls sous la diagonale principale.
• Système homogène : Système dont le second membre est nul (AX = 0).
• Noyau : Ensemble des solutions du système homogène, formant un espace vectoriel.
• Image : Ensemble des vecteurs B pour lesquels le système AX = B admet une solution.
• Système surdéterminé : Système avec plus d’équations que d’inconnues (m > n).
• Système sous-déterminé : Système avec moins d’équations que d’inconnues (m < n).

Points clés à retenir

• Tout système linéaire s’écrit sous la forme AX = B, avec A matrice, X inconnues, B second membre.
• La méthode de Gauss permet de résoudre tout système en le ramenant à un système triangulaire supérieur.
• Un système peut avoir zéro, une ou une infinité de solutions selon la relation entre les rangs de A et (A|B) et la nature de A (inversible ou non).
• Les systèmes homogènes ont toujours au moins la solution nulle ; leur noyau détermine l’ensemble des solutions.
• Pour un système non homogène, la solution générale est la somme d’une solution particulière et des solutions du système homogène associé.
• Le nombre d’équations par rapport au nombre d’inconnues influence la nature des solutions : surdéterminé (souvent pas de solution), sous-déterminé (infinité de solutions).