ESCPI-CNAM
Février 2005
Résolution des systèmes linéaires
1 Définitions
Un système de m équations à n inconnues x1, x2, ...xn s’écrit sous forme ma-
tricielle : AX = B où A est une matrice comportant m lignes et n colonnes,
X est le vecteur colonne dont les composantes sont les xi et B , le second
membre, est aussi un vecteur colonne avec n composantes.
Le vecteur X est appelé solution du système.
Exemple 1 : Le système suivant de 4 équations à 3 inconnues
2x2 + 4x3 = 6
2x1
−
x1 + x3 = 7
4x1 + x2
5x3 = 8
−
x1 + 2x2 + 6x3 = 1
2
1
4
1
2
−
0
1
2
4
1
5
−
6
x1
x2
x3
6
7
8
1
s’écrit:
La matrice a 4 lignes et 3 colonnes, le second membre a 4 composantes et le
vecteur solution a 3 composantes qui sont les 3 inconnues du système.
Dans ce cas, m
= n.
=
2 Résolution par la méthode de Gauss
Quelles que soient les valeurs m et n du système, on peut déterminer ses
solutions par la méthode d’élimination de Gauss.
Le principe en est le suivant : par des combinaisons linéaires successives, on
transforme le système initial, que l’on prend tel quel sans changer l’ordre
des équations, en un système triangulaire supérieur, système ensuite résolu
en commençant par la dernière des équations transformées.
On rappelle qu’un système est dit triangulaire supérieur si la matrice asso-
ciée est triangulaire supérieure.
Mise en œuvre de la méthode sur le système suivant :
2x1 + x2 + 4x3 = 9
x1 + x3 = 3
6x1 + 4x2 + 2x3 = 6
(eq1)
(eq2)
(eq3)
Dans la première étape de la méthode, on élimine l’inconnue x1 dans
les équations (eq2) et (eq3) en les combinant chacune à (eq1), celle-ci,
•
1
6
servant de ligne pivot, reste inchangée. Cela n’est possible que parce
que x1 apparaît dans (eq1). Si ce n’est pas le cas, il faut permuter
(eq1) avec la première des équations suivantes qui contient x1.
1
La méthode de Gauss remplace l’équation (eq2) par (eq2)
2 (eq1) ,
(eq1), qui éliminerait aussi x1 mais ce qui
mais pas (eq2) par 2(eq2)
n’est plus Gauss.
De même, (eq3) est remplacée par (eq3)
−
étape, on obtient le système équivalent :
6
2 (eq1). Après cette première
−
−
2x1 + x2 + 4x3 = 9
1
2 x2
x3 =
−
10x3 =
x2
−
−
3
2
21
−
−
(eq1)
(eq20)
(eq30)
Dans la deuxième étape, c’est la deuxième ligne qui joue le rôle de
est présent (sinon on permute (eq20) avec (eq30))
ligne pivot si x2
et, pour éliminer x2 dans la troisième ligne, on remplace celle-ci par
(eq20) soit (eq30) + 2(eq20). On obtient alors le système
(eq30)
1
1
−
2
−
équivalent, triangulaire supérieur, suivant :
2x1 + x2 + 4x3 = 9
1
x3 =
2 x2
−
12x3 =
−
−
3
2
24
−
−
(eq1)
(eq20)
(eq3”)
On résout le système par "remontée" en commençant par la dernière
équation.
(eq3”) donne x3 = 2 ,
1
2 x2 =
(eq20) donne
(eq1) donne 2x1 = 9
1
−
2 = 2 d’où x1 = 1 et la
∗
2 soit x2 =
4
4x3 = 9 + 1
−
−
−
−
−
•
•
solution unique X =
Par la suite, les systèmes seront résolus par cette méthode. Pour n
équations, il y aura n
2 + x3 = 1
3
x2
1
1
−
2
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1 étapes.
.
−
3 Nombre de solutions
Résultat fondamental :
Un système possède zero, une ou une infinité de solutions.
3.1 Cas où il y a autant d’équations que d’inconnues : m = n
et la matrice A est carrée.
3.1.1 Systèmes homogènes
Un système est dit homogène si le second membre est nul, soit AX = 0 où
0 représente le vecteur colonne dont toutes les composantes sont nulles.
2
L’ensemble des X tels que AX = 0 constitue le noyau de l’application
associée à A. Le noyau contient toujours le vecteur nul, mais il peut contenir
en plus des vecteurs non nuls ( et aussi leurs combinaisons linéaires ).
Ce type de système a donc au moins une solution, la solution nulle.
•
•
Si A est inversible ( le déterminant de A est différent de 0 ), le
système a la solution unique : X = 0, vecteur nul.
Le noyau est réduit à
0
{
}
10 = 0.
Formellement, X = A−
et rang(A) = n.
Si A n’est pas inversible ( le déterminant de A est égal à 0 ), le
système a une infinité de solutions (en plus de la solution nulle).
Dans ce cas, le noyau n’est pas réduit à
vaut k, alors rang(A) = n
et si la dimension du noyau
0
}
{
k.
−
Exemple 2 : Le système
1 2 3
4 5 6
7 8 0
x1
x2
x3
0
0
0
=
a la solution unique X =
rang de la matrice est 3.
Exemple 3 : Le système
. Le déterminant de la matrice vaut 27, le
0
0
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
x3
2x3
x3
−
a une infinité de solutions X =
x1
x2
x3
=
. = x3
0
0
0
1
2
−
1
auxiliaire qui peut prendre une valeur arbitraire.
L’ensemble de ces solutions constitue un espace vectoriel de dimension 1
où x3 est l’inconnue
engendré par le vecteur
1
2
−
1
Le déterminant de la matrice vaut 0, le rang de la matrice est 2.
Exemple 4 : Le système
.
3
6
2
4
1
2
5 10 15
x1
x2
x3
0
0
0
=
3
2x2
3x3
2
−
1
0
3
−
0
1
−
a une infinité de solutions X =
−
x2
x3
x2 et x3 sont les inconnues auxiliaires qui peuvent prendre une valeur arbi-
traire.
L’ensemble de ces solutions constitue un espace vectoriel de dimension 2
= x2
+x3
où
engendré par les vecteurs
2
−
1
0
: x1 + 2x2 + 3x3 = 0.
Le déterminant de la matrice vaut 0, le rang de la matrice est 1.
3
−
0
1
et
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.C0est aussi le plan d’équation
3.1.2 Système non homogène : AX = B, B
= 0.
•
•
Si A est inversible , le système a la solution unique : X = A−
(écriture formelle). On a X
= 0.
1B
Si A est non inversible, pour qu’il y ait au moins une solution, il
faut que le rang de A soit le même que le rang de la matrice AB,
matrice formée par A à laquelle B est accolé.
Si X0 est une solution particulière du système non homogène AX = B (donc
X0, X ∗ est
on a AX0 = B), alors A(X
X0) = 0 et si l’on note X ∗ = X
−
−
solution de l’équation homogène.
La solution du système non homogène est donc : X = X ∗ + X0, somme de
la solution générale du système homogène et d’une solution particulière du
système non homogène.
Si A est inversible, X ∗ est nul et, sinon, X ∗ est un vecteur non nul.
Exemple 5 : Le système
1 2 3
4 5 6
7 8 9
x1
x2
x3
=
1
4
2
n’a pas de solution. Avec la méthode de Gauss, on aboutit à l’équation
0
5. Le système est impossible.
x3 =
∗
−
On peut vérifier que le rang de la matrice
celui de A est 2.
Exemple 6 : Le système
1 2 3 1
4 5 6 4
7 8 9 2
est 3 alors que
1 2 3
4 5 6
7 8 9
x1
x2
x3
4
2
4
6
=
6
6
On retrouve la solution générale de l’exemple 3 plus une solution particulière.
a une infinité de solutions : X =
2
3 + x3
−
4
2x3
3 −
x3
=
On vérifie que le rang de la matrice
à celui de A.
1 2 3 2
4 5 6 4
7 8 9 6
2
3
−
4
3
0
+ x3
.
1
2
−
1
est égal à 2, donc égal
3.2 Cas où le nombre d’équations est différent du nombre
d’inconnues : m
= n et la matrice A n’est pas carrée.
3.2.1 m > n : il y a plus d’équations que d’inconnues.
Le système est dit sur-déterminé. En général, le système n’aura pas de
solutions. Pour le vérifier, soit on met en œuvre la méthode de Gauss,
ce qui précisera les impossibilités, soit on détermine le rang de AB et on
compare à celui de A.
3.2.2 m < n : il y a moins d’équations que d’inconnues.
Le système est dit sous-déterminé. Il y aura une infinité de solutions que
l’on pourra expliciter en fonctions d’inconnues arbitraires à choisir.
Conclusion Quelles que soient les dimensions d’un système AX = B,
•
•
•
Im(A) (image de l’application associée à la matrice A),
si B /
∈
le système a 0 solution.
Im(A), et si le noyau est réduit à
si B
le système a une solution unique.
∈
,
0
}
{
Im(A), et si le noyau n’est pas réduit à
si B
le système a une infinité de solutions.
∈
,
0
}
{
Exercice 1 Déterminer les solutions de tous les exemples ci-dessus par la
méthode de Gauss.
Exercice 2 Appliquer la méthode de Gauss pour déterminer toutes les valeurs
possibles de a, b, c telles que le système
1 2 3
4 5 6
7 8 9
x1
x2
x3
=
a
b
c
ait au moins une solution. Donner des exemples de seconds membres possi-
bles et impossibles.
5
6
Exercice 3 Déterminer les solutions de tous les systèmes ci-dessous par la
Publicité
méthode de Gauss :
2 2 1
1 1 1
3 4 1
x1
x2
x3
(a)
3
2
6
=
(b)
x1
−
x1
−
2x1
2x2 + x3 = 0
x3 + x5 = 0
2x4 + x5 = 0
−
−
x + 2y + z
t = 2
y
−
z + 2t = 3
−
−
x + 3y + z + t = 4
2x + 5y + z
2t = 6
−
−
x
−
−
2x + y + 3z = 0
x + y
5z =
3
−
x + 2y + 7z = 1
−
−
x
2y
−
−
4z = 3
(c)
(d)
u
v
w
=
1
2
1
5
1
−
3
2
−
7
1
1
3
8
−
(f )
−
−
−
−
Exercice 4 Soit le système
1 0
2 1
3 2
4 3
1
1
1
−
1
−
a
b
c
d
=
(e)
2
4
6
8
1
6
2
4
4
7
8
11
4y = 1
2z = 2
3x = 3
3z
4x
2y
−
−
−
λ
−
1. Ecrire la matrice du système. que remarquez-vous ? Calculer son
déterminant.
2. Pour quelle valeur de λ a-t-on au moins une solution ?
Exercice 5 Soit le système
λx + y + z = 1
x + λy + z = λ
x + y + λz = λ2
Pour quelles valeurs de λ a-t-on 0, 1 ou une infinité de solutions. Dans
les cas où existent des solutions, les calculer explicitement.
6