Réseaux Mobiles - Théorie du Trafic

Ce document traite de la théorie du trafic dans les réseaux mobiles, un sujet essentiel pour les étudiants en télécommunications et réseaux mobiles. Il présente les notions fondamentales d’intensité de trafic, les modèles Erlang B et Erlang C, ainsi que des exemples pratiques pour dimensionner et analyser les systèmes cellulaires.

Intensité de Trafic

Les réseaux mobiles doivent gérer un grand nombre d’utilisateurs avec un spectre radio limité. La théorie du trafic permet d’optimiser l’utilisation des canaux en attribuant temporairement un canal à chaque appel, puis en le libérant à la fin de celui-ci. Cette théorie a été développée par le mathématicien danois A.K. Erlang.

Définition du trafic : 1 Erlang correspond à un canal occupé en continu pendant une heure. Par exemple, un canal occupé 30 minutes dans une heure transporte 0,5 Erlang.

Grade of Service (GoS) : C’est la probabilité qu’un appel soit bloqué ou retardé au-delà d’un certain seuil pendant les périodes de pointe. Par exemple, un système AMPS est conçu pour un GoS de 2 % de blocage, ce qui signifie que 2 appels sur 100 sont bloqués.

L’intensité de trafic A est donnée par la formule :

A = (λ × H) / T

• λ : nombre moyen de demandes d’appel par unité de temps (par exemple par heure)
• H : durée moyenne d’un appel (en secondes)
• T : temps d’observation (souvent 3600 secondes pour une heure)

Pour un seul utilisateur, on note Au et λu. Pour n utilisateurs, A = n × Au et λ = n × λu. Si on dispose de m canaux, l’intensité de trafic par canal est A/m.

Exemples d’intensité de trafic

Exemple 1 : Un abonné génère 2 appels par heure, chaque appel durant 120 secondes. Quelle est l’intensité du trafic ?

A = (2 × 120) / 3600 = 0,0667 Erlangs

Exemple 2 : Sur une période de 90 minutes, 10 appels ont été enregistrés avec les durées suivantes (en secondes) : 60, 74, 80, 90, 92, 70, 96, 48, 64, 126. Calculer l’intensité du trafic.

• Nombre d’appels par heure : 10 / 1.5 = 6,667 appels/heure
• Durée moyenne d’appel : (60+74+80+90+92+70+96+48+64+126) / 10 = 80 s
• Intensité : A = (6,667 × 80) / 3600 = 0,148 Erlangs

Exemple 3 : Considérons un réseau sans fil avec :

• Population : 200 000 habitants
• Abonnés : 25 % soit 50 000
• Durée moyenne d’appel mobile-fixe ou fixe-mobile : H = 100 s, λ = 3 appels/heure
• Durée moyenne d’appel mobile-mobile : H = 80 s, λ = 4 appels/heure
• Distribution du trafic : mobile-fixe 50 %, fixe-mobile 40 %, mobile-mobile 10 %

Calcul du trafic total :

• Trafic mobile-fixe ou fixe-mobile : A1 = (3 × 100) / 3600 = 0,0833 Erlangs
• Trafic mobile-mobile : A2 = (4 × 80) / 3600 = 0,0889 Erlangs
• Trafic total : 45 000 × 0,0833 + 5 000 × 0,0889 = 4194,5 Erlangs
• Nombre de MSC nécessaires (capacité 1800 Erlangs chacun) : 4194,5 / 1800 ≈ 3 MSC

Trafic et Appels Bloqués

Deux types de systèmes à ressources partagées existent :

• Blocked Calls Cleared System (appels perdus) : Pas de file d’attente. Si aucun canal n’est disponible, l’appel est bloqué et l’utilisateur doit réessayer plus tard. Ce système est modélisé par Erlang B.
• Blocked Calls Delayed System (appels retardés) : Une file d’attente est utilisée pour les appels bloqués. Si aucun canal n’est disponible, l’appel est retardé jusqu’à ce qu’un canal se libère. Ce système est modélisé par Erlang C.

Modèle Erlang B

Le modèle Erlang B s’applique à un système avec :

• Un nombre infini d’utilisateurs
• Un nombre fini de canaux disponibles m
• Les utilisateurs, y compris ceux bloqués, peuvent demander un canal à tout moment

La probabilité de blocage (Grade of Service) est donnée par :

GoS = Pr(Appel bloqué) = (A^m / m!) / Σ (A^i / i!) pour i=0 à m

• A : intensité de trafic en Erlangs
• m : nombre de canaux disponibles

Exemple 1 : Calcul d’utilisateurs supportés

Pour une probabilité de blocage de 0,5 % et un trafic par utilisateur Au = 0,1 Erlang :

• (a) m = 5 canaux : A ≈ 1 Erlang, donc n = A / Au ≈ 10 utilisateurs
• (b) m = 10 canaux : A ≈ 4 Erlangs, donc n = A / Au ≈ 40 utilisateurs

Exemple 2 : Réseau cellulaire

Données :

• Durée moyenne d’appel H = 2 minutes
• Nombre total de canaux m = 395
• Probabilité de blocage maximale Pb = 1 %
• Facteur de réutilisation de fréquence N = 7

Questions :

1. Nombre de canaux par cellule : 395 / 7 = 57 canaux
2. Intensité de trafic supportée par cellule (à Pb=0,01, m=57) : A = 38 Erlangs (d’après diagramme Erlang B)
3. Nombre d’appels par cellule : (A × 3600) / (H × 60) = (38 × 3600) / (2 × 60) = 1140 appels/heure
4. Avec sectoring 120°, canaux par secteur : 57 / 3 = 19 canaux
5. Intensité de trafic par secteur (Pb=0,01, m=19) : A = 9 Erlangs
6. Nombre d’appels par secteur : (9 × 3600) / (2 × 60) = 270 appels/heure
7. Nombre d’appels par cellule avec sectoring : 270 × 3 = 810 appels/heure
8. Effet du sectoring : diminue la capacité globale de trafic mais réduit les interférences, augmentant le SIR (Signal to Interference Ratio) pour chaque utilisateur

Exemple 3 : Conception et dimensionnement

Données :

• Bande de fréquence : 20 MHz
• Largeur de bande par canal simplex : 25 KHz
• γ = 4 (exposant de propagation)
• Chaque utilisateur fait 2 appels par jour, 2 minutes par appel
• Probabilité de blocage Pb ≤ 5%

Calculs :

1. Nombre de canaux duplex disponibles :

S = (20 × 10^6) / (2 × 25 × 10^3) = 400 canaux

2. Relation pour SIR ≥ 15 :

SIR = ((3N)^γ) / K

avec N et K à déterminer.

3. Intensité de trafic par utilisateur :

Au = (2 appels/jour × 2 min/appel) / (24 × 60) = 1/360 Erlang ≈ 0,00278 Erlang

(Le calcul dans la source indique 1/360 Erlang par utilisateur.)

Les autres questions portent sur l’intensité globale par secteur et le nombre maximal d’utilisateurs par cellule, à partir de Pb ≤ 5 %.

Modèle Erlang C

Dans le modèle Erlang C, les appels bloqués ne sont pas perdus mais retardés en file d’attente. La probabilité qu’un appel ne puisse pas accéder immédiatement au système est :

Prob[Retard > 0] = (A^m) / (A^m + m! (1 - A/m) Σ (A^k / k!)) pour k=0 à m-1

La probabilité que le retard dépasse un temps t est :

Prob[Retard > t] = Prob[Retard > 0] × exp(- (m - A) t / H)

• H : durée moyenne d’un appel en secondes
• m : nombre de canaux duplex

Exemple Erlang C

Une cellule hexagonale dans un système à N=4 a :

• Rayon R = 1,387 km
• Nombre total de canaux m = 60
• Trafic par utilisateur Au = 0,029 Erlang
• Nombre d’appels par utilisateur λ = 1 appel/heure
• Probabilité de blocage (GoS) = 5 % avec retard

Calculs :

• Surface couverte par cellule = 2,5981 × R^2 = 5 km²
• Nombre de canaux par cellule : m = 60 / 4 = 15 canaux
• À GoS = 0,05 et m=15, on lit A = 9 Erlangs sur diagramme Erlang C
• Nombre d’utilisateurs par cellule : 9 / 0,029 ≈ 310 utilisateurs
• Densité d’utilisateurs : 310 / 5 = 62 utilisateurs/km²
• Durée moyenne d’appel H = Au / λ = 0,029 heure = 0,029 × 3600 = 104,4 secondes
• Probabilité que le retard dépasse 10 secondes :

Pr[Retard > 10s] = 0,05 × exp(- (15 - 9) × 10 / 104,4) = 2,81 %

Glossaire des termes clés

• Intensité de trafic (A) : Mesure du trafic exprimée en Erlangs, égale au produit du nombre d’appels par unité de temps par la durée moyenne d’appel.
• Erlang : Unité de mesure du trafic correspondant à un canal occupé en continu pendant une heure.
• Grade of Service (GoS) : Probabilité qu’un appel soit bloqué ou retardé au-delà d’un seuil donné.
• Erlang B : Modèle de trafic pour systèmes sans file d’attente où les appels bloqués sont perdus.
• Erlang C : Modèle de trafic pour systèmes avec file d’attente où les appels bloqués sont retardés.
• Canal : Voie de communication attribuée temporairement à un appel.
• MSC (Mobile Switching Center) : Centre de commutation mobile qui gère le trafic et les ressources dans un réseau mobile.
• Sectoring : Technique de division d’une cellule en secteurs pour réduire les interférences et améliorer la capacité.
• Facteur de réutilisation de fréquence (N) : Nombre de cellules dans un cluster avant que la fréquence soit réutilisée.
• SIR (Signal to Interference Ratio) : Rapport signal sur interférence, indicateur de qualité de réception.

Points clés à retenir

• L’intensité de trafic en Erlangs quantifie l’utilisation des canaux dans un réseau mobile.
• Le modèle Erlang B s’applique aux systèmes sans file d’attente, où les appels bloqués sont perdus.
• Le modèle Erlang C considère les appels bloqués retardés en file d’attente, permettant un meilleur dimensionnement.
• Le dimensionnement des cellules et des MSC repose sur le calcul de l’intensité de trafic et la probabilité de blocage acceptable.
• Le sectoring améliore le SIR mais peut réduire la capacité globale de trafic par cellule.
• Les diagrammes Erlang B et Erlang C sont des outils essentiels pour déterminer la capacité et la qualité de service dans les réseaux mobiles.