Processus Stochastiques & Applications Financières

Ce document couvre les notions fondamentales d'espérance et d'espérance conditionnelle dans le cadre des processus stochastiques, avec des applications financières. Il s'adresse aux étudiants en mathématiques appliquées, probabilités et finance, souhaitant comprendre les bases théoriques et les propriétés des variables aléatoires, ainsi que les outils essentiels pour modéliser l'incertitude.

Indépendance

Indépendance d’évènements

Deux évènements A et B sont dits indépendants si et seulement si :

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

On note cette indépendance par A ⊥ B.

Cette définition implique également :

• P(Ac | B) = P(Ac) × P(B)
• P(A | Bc) = P(A) × P(Bc)
• P(Ac | Bc) = P(Ac) × P(Bc)

Indépendance de plusieurs évènements

Une famille d’évènements A1, ..., An est indépendante si pour tout choix d’éléments ou de leurs complémentaires A*i = Ai ou Ac_i, on a :

P(A*1 ∩ ... ∩ A*n) = Πi=1^n P(A*i)

Cette indépendance est plus forte que l’indépendance deux à deux.

Indépendance des tribus

Une famille de sous-tribus (F1, ..., Fn) est indépendante si pour tout choix d’évènements Ai ∈ Fi, on a :

P(∩i=1^n Ai) = Πi=1^n P(Ai)

En particulier, la famille des tribus engendrées par des évènements indépendants est indépendante.

Indépendance de variables aléatoires

Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si les tribus qu’elles engendrent sont indépendantes, c’est-à-dire :

Pour toute partition finie PX = {A1, ..., Am} et PY = {B1, ..., Bn} engendrant σ(X) et σ(Y),

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) pour tout A ∈ PX et B ∈ PY.

Intuitivement, l’information sur X n’apporte rien sur Y et vice versa.

Si X et Y sont indépendantes, alors :

• Var(cX + Y) = c² Var(X) + Var(Y)
• fX,Y(x,y) = fX(x) × fY(y) pour toutes valeurs x, y
• E(XY) = E(X) × E(Y)

Remarque : l’indépendance implique la non-corrélation, mais la réciproque est fausse.

Espérance

Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini. L’espérance de X, notée E[X], est définie par :

E[X] = Σ xi P(X = xi) si X est discrète, ou

E[X] = ∫ x fX(x) dx si X est continue avec densité fX.

Terminologie :

• Si E(X) = 0, X est dite centrée.
• Si E(|X|) < ∞, X est intégrable.
• Si E(X²) < ∞, X est de carré intégrable.
• X est bornée s’il existe k > 0 tel que |X(ω)| ≤ k pour tout ω.

Propriétés de l’espérance

• Linéarité : E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y] pour a, b ∈ ℝ.
• Monotonie : Si X(ω) ≤ Y(ω) pour tout ω, alors E[X] ≤ E[Y].
• Indépendance : Si X et Y sont indépendantes, alors E[XY] = E[X] E[Y].
• En général, E[XY] ≠ E[X] E[Y] si X et Y ne sont pas indépendantes.

Inégalités importantes

• Inégalité de Cauchy-Schwarz : Pour X, Y de carré intégrable :

(E(|XY|))² ≤ E(X²) × E(Y²)

• Inégalité triangulaire : Pour X, Y intégrables :

E(|X + Y|) ≤ E(|X|) + E(|Y|)

• Inégalité de Jensen : Pour X et fonction convexe ϕ telle que E(|ϕ(X)|) < ∞ :

ϕ(E(X)) ≤ E(ϕ(X))

• Inégalité de Chebychev (Markov) : Pour X et fonction croissante ϕ ≥ 0, avec E(ϕ(X)) < ∞ :

P(X ≥ a) ≤ E(ϕ(X)) / ϕ(a), ∀ a > 0

Moments et variance

Le k-ième moment de X est E[X^k]. La variance de X, notée Var[X], est :

Var[X] = E[(X - E[X])²] = E[X²] - (E[X])² ≥ 0

Propriétés :

• Var[aX + b] = a² Var[X] pour a, b ∈ ℝ.
• Si X et Y sont indépendantes, alors Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y].

Covariance

La covariance de X et Y est définie par :

Cov[X, Y] = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] - E[X] E[Y]

Interprétation :

• Covariance positive : X et Y tendent à être simultanément au-dessus ou en dessous de leur moyenne.
• Covariance négative : quand X est au-dessus de sa moyenne, Y tend à être en dessous, et inversement.

Si X et Y sont indépendantes, alors Cov[X, Y] = 0, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.

Espérance conditionnelle

Probabilité conditionnelle

Soit un évènement A ∈ F avec P(A) > 0. La probabilité conditionnelle de B sachant A est :

P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)

Cette définition induit une nouvelle mesure de probabilité sur l’espace (A, F_A) où :

F_A = {Fs ∩ A : Fs ∈ F}

Exemple : lancer un dé et considérer l’évènement A = "résultat < 4".

Espérance conditionnelle par rapport à un évènement

Pour une variable aléatoire intégrable X et un évènement B avec P(B) > 0, l’espérance conditionnelle est :

E[X|B] = E[X 1_B] / P(B) = Σ_{ω∈B} X(ω) P({ω}) / P(B)

Exemple : lancer un dé uniforme, avec B = {2, 4, 6} (résultat pair). Alors :

E[X|B] = (2 + 4 + 6) / 3 = 4

Espérance conditionnelle par rapport à une variable aléatoire

Soit Y une variable aléatoire. L’espérance conditionnelle de X sachant Y est une variable aléatoire :

E[X|Y] = ϕ(Y) où ϕ(y) = E[X|Y = y].

Espérance conditionnelle par rapport à une tribu

Soit une tribu G ⊆ F engendrée par une partition finie P = {B1, ..., Bn} avec P(Bi) > 0. L’espérance conditionnelle de X sachant G est :

E[X|G](ω) = Σ_{i=1}^n (1_{Bi}(ω) / P(Bi)) Σ_{ω* ∈ Bi} X(ω*) P({ω*}) = Σ_{i=1}^n 1_{Bi}(ω) E[X|Bi]

Cette espérance conditionnelle est une variable aléatoire G-mesurable, constante sur chaque élément de la partition.

Exemple d’espérance conditionnelle

Considérons l’évolution du prix d’un actif financier X = {X_t} sur Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4} avec probabilités données. La tribu F1 = σ({ω1, ω2}, {ω3, ω4}) partitionne Ω en deux parties. Alors :

Pour ω ∈ {ω1, ω2},

E[X3|F1](ω) = (1 / P({ω1, ω2})) Σ_{ω* ∈ {ω1, ω2}} X3(ω*) P({ω*})

Pour ω ∈ {ω3, ω4},

E[X3|F1](ω) = (1 / P({ω3, ω4})) Σ_{ω* ∈ {ω3, ω4}} X3(ω*) P({ω*})

Propriétés de l’espérance conditionnelle

• Mesurabilité : E[X|G] est G-mesurable.
• Intégration : Pour tout C ∈ G, E[E[X|G] 1_C] = E[X 1_C].
• Monotonie : Si X1 ≥ X2, alors E[X1|G] ≥ E[X2|G].
• Linéarité : E[aX1 + bX2|G] = a E[X1|G] + b E[X2|G].
• Si X est G-mesurable : E[X|G] = X.
• Espérance totale : E[E[X|G]] = E[X].
• Indépendance : Si X est indépendante de G, alors E[X|G] = E[X].
• Itération : Si G1 ⊆ G2, alors E[E[X|G2]|G1] = E[X|G1].
• Multiplication par une variable G-mesurable : Pour Z G-mesurable, E[X Z|G] = Z E[X|G].
• Meilleur prédicteur : Parmi toutes les variables G-mesurables, Y = E[X|G] minimise l’erreur quadratique :

E[(X - Z)²] = E[(X - Y)²] + E[(Y - Z)²]

avec égalité si et seulement si Z = Y.

Convergences de suites de variables aléatoires

Soient (Xn)_{n≥1} une suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire sur (Ω, F, P). Plusieurs modes de convergence sont définis :

• Convergence en probabilité : Pour tout ε > 0,

lim_{n→∞} P(|Xn - X| > ε) = 0

• Convergence presque sûre :

P({ω : lim_{n→∞} Xn(ω) = X(ω)}) = 1

• Convergence en moyenne (L1) :

lim_{n→∞} E(|Xn - X|) = 0

• Convergence quadratique (L2) :

lim_{n→∞} E(|Xn - X|²) = 0

Convergence en loi

La suite (Xn) converge en loi vers X si pour tout point de continuité t de la fonction de répartition de X :

lim_{n→∞} F_{Xn}(t) = F_X(t)

Théorème central limite (TCL)

Soit (Xn)_{n≥1} une suite i.i.d. avec E(X1) = µ et Var(X1) = σ² > 0. Soit Sn = X1 + ... + Xn. Alors :

(Sn - nµ) / (σ√n) ⇒ Z où Z suit une loi normale centrée réduite N(0,1).

Glossaire des termes clés

• Variable aléatoire (v.a.) : Fonction mesurable définie sur un espace probabilisé.
• Indépendance : Deux évènements ou variables aléatoires sont indépendants si la connaissance de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.
• Espérance (E[X]) : Moyenne pondérée des valeurs possibles d’une variable aléatoire.
• Variance (Var[X]) : Mesure de la dispersion des valeurs autour de l’espérance.
• Covariance (Cov[X,Y]) : Mesure de la dépendance linéaire entre deux variables aléatoires.
• Espérance conditionnelle : Espérance d’une variable aléatoire sachant une information partielle (évènement, variable, tribu).
• Tribu (σ-algèbre) : Collection d’évènements sur laquelle est définie une mesure de probabilité.
• Mesurabilité : Propriété d’une variable aléatoire d’être compatible avec une tribu.
• Convergence : Différents modes par lesquels une suite de variables aléatoires approche une limite.
• Théorème central limite : Résultat fondamental assurant la convergence en loi vers une loi normale.

Points clés à retenir

• L’indépendance est une notion forte qui implique la factorisation des probabilités d’intersection.
• L’espérance est une moyenne pondérée, linéaire et monotone, mais ne commute pas toujours avec le produit.
• L’espérance conditionnelle est une variable aléatoire G-mesurable, représentant la meilleure prédiction de X connaissant G.
• Les propriétés de l’espérance conditionnelle permettent de simplifier les calculs et d’interpréter les informations partielles.
• La variance et la covariance sont des outils essentiels pour mesurer la dispersion et la dépendance.
• Différents modes de convergence permettent d’étudier le comportement asymptotique des suites de variables aléatoires.
• Le théorème central limite justifie l’apparition fréquente de la loi normale en probabilités et statistiques.