Processus Stochastiques & Applications Financières

Chapitre 3

Espérance et Espérance Conditionnelle

OUESLATI Amor

18 février 2014

Table des matières

Indépendance

1.1

1.2

1.3

Indépendance d’évènements .

Indépendance des tribus .

Indépendance de variables aléatoires

2 Espérance

3 Propriétés

4 Espérance conditionnelle

4.1 Probabilité Conditionnelle .

4.2 Espérance Conditionnelle .

4.2.1 Conditionnement par rapport à un évènement B ∈ F .

4.2.2 Conditionnement par rapport à une v.a. Y

4.2.3 Conditionnement par rapport à une tribu G .

4.2.4

Propriétés de l’Espérance Conditionnelle .

5 Convergences de Suites de Variables Aléatoires

DRAFT

Version

P (A ∩ B) = P (A) × P (B)

Indépendance

1.1

Indépendance d’évènements

Notation Si A est indépendant de B, on note A⊥B

Conséquence

Preliminary

P (Ac|B) = P (B|(A ∩ B))

= P (B) − P (A ∩ B)

= P (B) − P (A)P (B)

= (1 − P (A))P (B)

= P (Ac)P (B)

Déﬁnition 1.1. Soit (Ω, F, P ) , un espace probabilisé. Deux évènements A et B sont dits indépendants ssi :

P (A|Bc) = P (A)P (Bc)

P (Ac|Bc) = P (Ac)P (Bc)

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–

Déﬁnition 1.2. Les n évènements A1, ..., An ∈ F sont indépendants ssi,

P (A∗

1 ∩ ... ∩ A∗

n) = Πn

i=1P (A∗

i ) avec A∗

i = Ai ou Ac

Remarque 1.1. L’indépendance des n évènements telle que déﬁnie dans la déﬁnition [1.2] est plus forte que l’indépendance

deux à deux (Ai⊥Aj; ∀i 6= j).

1.2 Indépendance des tribus

Déﬁnition 1.3. Une famille (F1,..., Fn) de sous-tribus de F est indépendante ssi :

∀ (Ai)n

i=1 ∈ Fi; P (∩n

i=1Ai) = Πn

i=1P (Ai)

Proposition 1.1. (σ(Ai))n

i=1, est une famille de sous-tribus indépendantes ssi les évènements (Ai)n

i=1 sont indépendants.

1.3

Indépendance de variables aléatoires

Déﬁnition 1.4. Soient deux v.a. X et Y construites sur (Ω, F, P ), Card(Ω) < ∞.

Soient PX = {A1, ..., Am} et PY = {B1, ..., Bn}, deux partitions ﬁnies, engendrant respectivement les tribus σ(X) et

σ(Y ).

Les v.a. X et Y sont dites indépendantes ssi : ∀A ∈ PX et ∀B ∈ PY :

Intuitivement, X et Y sont indépendantes lorsque l’information concernant l’une des deux variables n’en fournit pas un apport

informationnel sur l’autre.

Déﬁnition 1.5. Une famille (X1, ...., Xn) de v.a. (Fi−mesurables) est indépendante si la famille des tribus (σ(X1), ..., σ(Xn))

est indépendante.

Déﬁnition 1.6. (X1, ..., Xn) est une famille de v.a. indépendantes ssi les évènements {X1 ≤ x1} , ...., {Xn ≤ xn} sont

indépendants ∀x1, ..., xn ∈ R.

Proposition 1.2. Soient c ∈ R et X, Y deux v.a.. Si X⊥Y , alors

P (A ∩ B) = P (A) × P (B)

DRAFT

Version

V ar(cX + Y ) = c2V ar(X) + V ar(Y )

fX,Y (x, y) = fX (x) × fY (y), ∀x; y ∈ R

fX,Y (x, y)dxdy, ∀B ∈ B(R2)

E(X.Y ) = E(X).E(Y )

P ((X, Y ) ∈ B) =

Z Z

La première égalité dit que si deux v.a. sont indépendantes, alors elles sont dé-corrélées ; la réciproque n’est pas vraie.

Proposition 1.3. Si X⊥Y et X, Y sont deux v.a. continues possédant une densité conjointe fX,Y , c’est à dire,

alors,

2 Espérance

Preliminary

E[X] =

ω∈Ω

X (ω) PX (ω)

1R(x)dPX (x)

Déﬁnition 2.1. Soit X une v.a. construite sur (Ω, F, P ) tel que Card(Ω) < ∞. L’espérance de X, notée E[X] est :

xdPX =

xf (x)dx

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Si la v.a. X prend n valeurs différentes, disons x1 < ... < xn alors,

E[X] =

i=1

xi.P {ω ∈ Ω : X(ω) = xi}

xi.fX (xi)

où fX est la fonction de masse ou la d.d.p de X.

Terminologie

– Si E(X) = 0, alors on dit que X est une v.a. centrée.

– Si E(|X|) < ∞, alors on dit que X est une v.a. intégrable.

– Si E(X 2) < ∞ alors on dit que X est une v.a. de carré intégrable.

– On dit que X est une v.a. bornée s’il existe une cste k > 0 telle que |X(ω)| ≤ k, ∀ω ∈ Ω

– Si X bornée alors E(X 2) < ∞ =⇒ E(|X|) < ∞.

Proposition 2.1. Soient X une v.a. et g : R −→ R une fonction Borélienne telle que : E(|g(X)|) < ∞. Alors :

– Si X est une v.a. discrète (à valeurs dans D dénombrable), alors

Soient X et Y , deux v.a. construites sur l’espace probabilisé (Ω, F, P ), Card(Ω) < ∞. Si a, b ∈ R,

– Si X est une v.a. continue (avec densité fX ), alors

Ceci s’applique en particulier si g(x) = x.

E(g(X)) =

g(x).P ({X = x})

x∈D

E(g(X)) =

g(x).fX (x)dx

DRAFT

Version

∀ω ∈ Ω, X(ω) ≤ Y (ω) alors E[X] ≤ E[Y ]

E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ]

E[X.Y ] 6= E[X].E[Y ]

E[X.Y ] = E[X].E[Y ]

3 Propriétés

1. Linéarité :

2. Monotonie :

3. De façon générale,

4. Si X et Y sont indépendantes alors,

Preliminary

– L’espérance d’une v.a.est un nombre réel.

Ce n’est pas une quantité aléatoire.

– L’espérance d’une v.a. dépend de la mesure de probabilité utilisée.

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient X, Y deux v.a. de carré intégrable. Alors,

– XY est intégrable

– (E(|XY |))2 ≤ E(X 2)E(Y 2)

(En posant Y ≡ 1, on trouve que (E(|X|))2 ≤ E(X 2))

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Inégalité triangulaire

Soient X, Y deux v.a. intégrables.

Alors :

E(|X + Y |) ≤ E(|X|) + E(|Y |)

Inégalité de Jensen

Soient X une v.a. et ϕ : R −→ R une fonction Borélienne et convexe telle que : E(|ϕ(X)|) < ∞.

Alors,

En particulier,

ϕ(E(X)) ≤ E(ϕ(X))

|E(X)| ≤ E(|X|).

Inégalité de Chebychev (ou Markov)

Soient X une v.a. et ϕ : R −→ R+ telle que :

– ϕ est Borélienne et croissante sur R+

– ϕ(a) > 0, ∀a > 0

– et E(ϕ(X)) < ∞.

– Alors,

Déﬁnition 3.1. Soit X une v.a. construite sur (Ω, F, P ), Card(Ω) < ∞.

Le ki`eme moment de X, notée E (cid:2)X k(cid:3) est l’espérance de la variable X k :

, ∀a > 0

P ({X ≥ a}) ≤

E (cid:2)X k(cid:3) =

E (ϕ (X))

ϕ (a)

DRAFT

Version

(X (ω) − E(X))2 P (ω)

(xi − E(X))2 fX (xi)

X k (ω) P (ω)

i fX (xi)

V ar[X] =

w∈Ω

i=1

où x1 < ... < xn sont les valeurs prises par X et fX est sa fonction de masse.

Déﬁnition 3.2. Soit X une v.a. construite sur (Ω, F, P ), Card(Ω) < ∞.

La variance de X, notéeV ar[X] est l’espérance de la v.a. (X − E[X])2 :

où x1 < ... < xn sont les valeurs prises par X et fX est sa fonction de masse.

– La variance est une mesure de la dispersion des valeurs x1, ..., xn prises par X autour de l’espérance E[X].

– Plus la variance est grande, plus les valeurs sont dispersées.

– Tout comme l’espérance et les moments, la variance est un nombre réel.

– De plus, quelque soit la variable aléatoire, la variance n’est jamais négative.

– L’écart-type, fort utilisé en statistique, est la racine carrée de la variance.

i=1

Preliminary

Exercice 3.1. Montrez que si a, b ∈ R,

1. V ar[X] ≥ 0

2. V ar[X] = E (cid:2)X 2(cid:3) − E[X]2

3. ∀a ∈ R, V ar[aX + b] = a2V ar[X]

4. Si X et Y sont indépendantes alors V ar[X + Y ] = V ar[X] + V ar[Y ]

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(1)

Déﬁnition 3.3. Soient X et Y , deux v.a. construites sur (Ω, F, P ), Card(Ω) < ∞.

La covariance de X et Y , notée Cov[X, Y ] est l’espérance de la v.a. (X − E[X]) (Y − E[Y ]) :

Cov[X, Y ] =

ω∈Ω

(X(ω) − E[X]) (Y (ω) − E[Y ]) .P (ω)

1. Si la covariance est positive

– ce sont les ω rendant le terme (X(ω) − E[X]) (Y (ω) − E[Y ]) P (ω) positif qui dominent

– =⇒ les v.a. X et Y ont tendance à être soit supérieures, soit inférieures à leur espérance pour les mêmes états du

monde ω.

2. Si la covariance est négative

– ce sont les ω rendant le terme (X(ω) − E[X]) (Y (ω) − E[Y ]) P (ω) négatif qui dominent

– =⇒ l’une des v.a. X et Y est supérieure à son espérance, l’autre a tendance à être inférieure à son espérance.

Exercice 3.2. Montrez que :

1. Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ]

2. Si X et Y sont indépendantes alors Cov[X, Y ] = 0

3. ∀a, b ∈ R, Cov[aX1 + bX2; Y ] = aCov[X1; Y ] + bCovP [X2; Y ]

4. V ar[X + Y ] = V ar[X] + V ar[Y ] + 2Cov[X, Y ]

Remarque 3.1. Outre la variance, deux autres moments centrés sont beaucoup plus utilisés dans la modélisation : les coefﬁ-

cients d’asymétrie et d’aplatissement.

Soit (Ω, F, P ), un espace probabilisé tel que Card(Ω) < ∞. ∀A ∈ F tel que P (A) > 0,il est possible de déﬁnir une nouvelle

mesure de probabilité, nommée ”probabilité conditionnelle étant donné A”.

Déﬁnition 4.1. Soit FA ≡ {Fs ∩ A : Fs ∈ F} une collection d’évènements.

En fait, pour chaque évènement Fs ⊂ F , nous enlevons les éléments qui n’appartiennent pas à l’évènement A.

4 Espérance conditionnelle

4.1 Probabilité Conditionnelle

DRAFT

Version

FA = {∅, {1, 3} , {2} , {1, 2, 3}}

P ∗ : FA −→ [0, 1]

B −→

P (B ∩ A)

P (A)

Exemple 4.1. Soient Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; F = {∅, {1, 3, 5} , {2, 4, 6} , Ω}

– A = {1, 2, 3} : le résultat du jet d’un dé est inférieur à 4

– Alors,

Théorème 4.1. FA est une tribu sur A.

Déﬁnition 4.2. Sur l’espace probabilisable (A, FA), on déﬁnit la fonction :

Preliminary

Théorème 4.2. P ∗ est une mesure de probabilité sur (A, FA).

Déﬁnition 4.3. Soit (Ω, F, P ), un espace probabilisé tel que Card(Ω) < ∞.

Pour tout évènement A ∈ F tel que P (A) > 0, la probabilité conditionnelle étant donné A, notée par P ((cid:7)|A), est déﬁnie

par :

∀B ∈ FA, P (B|A) =

P (B ∩ A)

P (A)

est une mesure de probabilité sur l’espace probabilisable (A, FA).

Exemple 4.2. Soit Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}.

– Le processus stochastique X = {Xt : t ∈ {0, 1, 2, 3}} représente l’évolution du prix d’un actif ﬁnancier.

– Soit une mesure de probabilité P sur l’espace probabilisable (Ω, F)

– avec F = σ {{ω1, ω2} , {ω3} , {ω4}}.

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ω1

ω2

ω3

ω4

X0(ω) X1(ω) X2(ω) X3(ω)

0.5

P (ω)

Question Sachant que le prix vaut un Dinar en t = 2, est-ce que les probabilités correspondants aux prix possibles du titre en

t = 3 sont modiﬁées ?

Réponse Oui.

Soit : A = {ω ∈ Ω : X2(ω) = 1} = {ω1, ω2, ω3}

Comme : P (A) = P {ω1, ω2, ω3} = P {ω1, ω2} + P {ω3} =

Alors :

–

(cid:16)n

X3 =

| {X2 = 1}

(cid:17)

P ({ω1, ω2} ∩ {ω1, ω2, ω3})

P {ω1, ω2, ω3}

o(cid:17)

= P

X3 =

(cid:16)n

P ({X3 = 1} | {X2 = 1}) =

P ({ω1, ω2})

P (A)

DRAFT

Version

P ({ω4} ∩ {ω1, ω2, ω3})

P {ω1, ω2, ω3}

P ({ω3} ∩ {ω1, ω2, ω3})

P {ω1, ω2, ω3}

P ({ω3})

P (A)

P ({X3 = 2} | {X2 = 1}) =

= P ({X3 = 1})

= 0

P (∅)

P (A)

= P ({X3 = 2})

Preliminary

On a déterminé F = σ {{ω1, ω2} , {ω3} , {ω4}}.

Alors,

FA = σ {{ω1, ω2} ∩ A, {ω3} ∩ A, {ω4} ∩ A}

= σ {{ω1, ω2} , {ω3} , ∅}

= {A, {ω1, ω2} , {ω3} , ∅}

Par conséquent, l’espace probabilisable sur lequel est construite : P ((cid:7)| {X2 = 1}) est,

(Ω0 = {ω1, ω2, ω3} , σ {{ω1, ω2} , {ω3}})

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Déﬁnition 4.4. La fonction indicatrice est déﬁnie par,

: Ω −→ {0, 1}

1A =

(cid:26) 1

si ω ∈ A

si ω /∈ A

Exemple 4.3. Supposons qu’on a :

(cid:26) 70

130

– 200 hommes (H)

– 100 femmes (F)

– On a alors,

(cid:26) 50

f : F umeurs

fn : N on F umeurs

f : F umeurs

fn : N on F umeurs

P (f |H) = 0.35

P (f |F ) = 0.50

– En fait, on veut englober le tous dans une seule entité.

– La meilleure façon de le faire est de mettre cette probabilité conditionnelle comme une v.a. au lieu d’un nombre.

Déﬁnition 4.5. Soit G la tribu engendrée par une partition ﬁnie de Ω, B1, B2, ...Bn. Alors, la probabilité conditionnelle de A

sachant G est donnée par :

Ainsi, on va s’interresser à la probabilité conditionnelle d’un évènement par rapport à une tribu.

– Sur l’ensemble H, sa valeur est 0.35 et sur l’ensemble F , sa valeur est 0.50.

– On a besoin de donner à cette v.a. un nom,

Alors soit une tribu G = {∅, H, F, Ω} et dénotons cette v.a. par P (f |G).

Alors,

(0.35)1H + (0.50)1F

Quelle est la déﬁnition précise ?

P (f |G) = (0.35)1H + (0.50)1F

DRAFT

Version

P (A ∩ Bi)

P (Bi)

P (A|G) =

P (A|Bi)

Autrement dit, sur l’ensemble Bi, la probabilité conditionnelle est égale à P (A|Bi).

Exemple 4.4. Soit Ω : les résultats possibles d’un jet 3 fois d’une pièce de monnaie.

– Soit F3 dénotant tous les sous-ensembles de Ω.

– Soit F1 est déterminé en connaissant le résultat du premier jet. Alors,

F1 = {∅, Ω, {HHH, HHT, HT H, HT T }, {T HH, T HT, T T H, T T T }}

– F2 est déterminée en connaissant le résultat des deux premiers jets. Alors,

F2 = {∅, Ω, {HHH, HHT }, {HT H, HT T }, {T HH, T HT }, {T T H, T T T },

∪ possibles de certains de ces ensembles}

Preliminary

Soit A = {HHH}.

On veut calculer P (A|F1), P (A|F2) ?

P (A|F1) =?

Soient C1 = {HHH, HHT, HT H, HT T } et C2 = {T HH, T HT, T T H, T T T }.

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– Sur C1 :

– Sur C2 :

– Alors,

P (A ∩ C1)/P (C1) = P (HHH)/P (C1)

P (A ∩ C2)/P (C2) = P (∅)/P (C2)

= 0.

– =⇒ C’est la probabilité d’avoir trois faces étant donnée que le premier jet est face, est

et 0 sinon.

P (A|F1) = (0.25)1C1 .

P (A|F2) =?

Soient D1 = {HHH, HHT },D2 = {HT H, HT T },D3 = {T HH, T HT },D4 = {T T H, T T T }.

–

P (A|D1) = P (HHH)/P (D1)

DRAFT

Version

P (A|Di) = 0 pour i = 2, 3, 4.

P (A|F2) = (0.50)1D1 .

Preliminary

E[X, B] = E[X.1B]

ω∈B

X(ω)P ({ω})

E[1B] = 1.P (1B = 1) + 0.P (1B = 0)

= P (B)

–

– Alors,

Soit,

et donc,

– =⇒ C’est la probabilité d’avoir trois faces étant donné que les deux premiers jets est

si les deux premiers jets sont

faces et 0 sinon.

4.2 Espérance Conditionnelle

Qu’est ce qu’on peut dire de l’espérance conditionnelle ?

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4.2.1 Conditionnement par rapport à un évènement B ∈ F

Soit A ∈ F : P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

, si P (B) 6= 0.

Alors, si X une v.a. intégrable (i.e. E(|X|) < ∞) si P (B) 6= 0 :

E(X|B) =

ou =

Exemple 4.5. On lance un dé uniforme.

Alors, Ω = {1, 2, ..., 6} . On a,

E(X.1B)

P (B)

E(X, B)

P (B)

x.dPx

ω∈B

X(ω)P ({ω})

P (B)

Dans ce cas, nous avons,

P ({2} | {2, 4, 6}) =

1/6

3/6

P ({2} | {1, 3, 5}) = 0

x∈{2,4,6}

= 4

= (2 + 4 + 6) /3

x.P ({x} | {2, 4, 6})

E (X| {2, 4, 6}) =

E (X| {1, 3, 5}) =

DRAFT

Version

E(X|Y ) = ϕ(Y ), où ϕ(y) = E(X|Y = y), y ∈ D.

x.P ({x} | {1, 3, 5})

= (1 + 3 + 5) /3

= 3

x∈{1,3,5}

4.2.2 Conditionnement par rapport à une v.a. Y

Soit A ∈ F : P (A|Y ) = ϕ(Y ), où ϕ(y) = P (A|Y = y), y ∈ D.

Soit X une v.a. intégrable :

=⇒ sont des v.a.

4.2.3 Conditionnement par rapport à une tribu G

Preliminary

E[X|G](ω) =

i=1

1Bi (ω)

P (Bi)

w∗∈Bi

X (ω∗) P (ω∗)

1Bi

P (Bi)

.E[X, Bi]

Déﬁnition 4.6. La v.a. X est construite sur (Ω, F, P ), Card(Ω) < ∞. Soit G ⊆ F, une tribu engendrée par la partition ﬁnie

P = {B1, ..., Bn} satisfaisant, ∀i ∈ {1, ..., n}, P (Bi) > 0.

L’espérance conditionnelle de X étant donnée G, notée E[X|G] est :

C’est une déﬁnition évidente, et est en accord avec E[1A|G] = P (A|G).

Exemple 4.6. Reprenons l’exemple [4.2] sur l’évolution du prix.

Nous avions déterminé que F1 = σ {{ω1, ω2} , {ω3, ω4}}.

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Alors

Ainsi,

– Si ω ∈ {ω1, ω2} alors,

– Si ω ∈ {ω3, ω4} alors,

ω1

ω2

ω3

ω4

X3(ω)

0.5

P (ω)

1/8

2/8

E[X3|F1](ω)

1Bi (ω)

P (Bi)

w∗∈Ai

X3 (ω∗) P (ω∗)

i=1

1B1 (ω)

P (B1)

1B1 (ω)

w∗∈A1

(cid:16) 1

X3 (ω∗) P (ω∗) +

1B2 (ω)

P (B2)

X3 (ω∗) P (ω∗)

(cid:17)

(cid:16)

1B2 (ω)

w∗∈A2

1 ×

+ 2 ×

(cid:17)

1B1 (ω) +

1B2 (ω)

1B1 (ω) +

1B2 (ω) =

E[X3|F1](ω) =

DRAFT

Version

1Bi (ω)

P (Bi)

X (ω∗) P (ω∗)

E[X|G](ω) =

1B2 (ω) =

1B1 (ω) +

w∗∈Bi

Preliminary

i=1

1Bi (ω)

X (ω∗)

P (ω∗ ∩ Bi)

P (Bi)

1Bi (ω)

w∗∈Bi

1Bi (ω) EP [(cid:7)|Bi] [X]

X (ω∗) P (ω∗|Bi)

Interprétation

– Au temps t = 1, nous serons en mesure de déterminer si :

– ω ∈ {ω1, ω2} alors la valeur espérée de la v.a. X3 est

– ω ∈ {ω3, ω4} alors la valeur espérée de X3 est

– L’espérance conditionnelle s’exprime à l’aide des probabilités conditionnelles étant donné chacun des éléments de la

partition qui engendre la tribu puisque :

Remarque 4.1 (importante).

– Contrairement à l’espérance, l’espérance conditionnelle n’est pas un nombre réel mais

une variable aléatoire.

– En fait, comme elle est constante sur les atomes qui engendrent G, c’est une v.a. G−mesurable.

Exemple 4.7. Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, avec la partition D = {{2, 4, 6} , {1, 3, 5}} (pair et impair)

P ({2} |D) = P ({2} | {2, 4, 6}) 1{2,4,6}

+ P ({2} | {1, 3, 5}) 1{1,3,5}

P ({1, 3} |D) =

1{2,4,6}

1{1,3,5}

– Si le résultat est pair, autrement dit, si l’évènement {2, 4, 6} s’est réalisé alors la probabilité d’avoir 2 est

– Et inversement, si le résultat est impair, c’est à dire l’évènement {1, 3, 5} s’est réalisé, alors P ({2} | {1, 3, 5}) = 0

Alors,

E (X|D) = E (X| {2, 4, 6}) 1{2,4,6} + E (X| {1, 3, 5}) 1{1,3,5}

(2 + 4 + 6) 1{2,4,6} +

(1 + 3 + 5) 1{1,3,5}

= 4.1{2,4,6} + 3.1{1,3,5}

4.2.4 Propriétés de l’Espérance Conditionnelle

Proposition 4.1. E[X|G] est G−measurable, c’est à dire, si Y = E[X|G], alors {Y ≥ a} est un ensemble dans G pour

chaque réel a.

Exemple 4.8. Supposons que a = 3.5 et

Alors, {Y ≥ a} = B3 ∪ B4, est dans G.

Proposition 4.2. Si C ∈ G et Y = E[X|G], alors E[Y, C] = E[X, C].

Exemple 4.9. Maintenant, appliquons cette prop à l’exemple [4.8].

– Soit C = B2.

Noter que 1B2 .1B2 = 1B2 parce que le produit est 1.1 = 1 si ω ∈ B2 et 0 sinon. Et, 1B2 1Bi = 0 si i 6= 2.

Multipliant Y dans l’exemple précédent par 1B2 , on obtient ,

Y = 2.1B1 + 3.1B2 + 6.1B3 + 4.1B4

DRAFT

E[Y, C] = E[Y, B2]

= E[Y.1B2 ]

= E[3.1B2 ]

= 3.E[1B2 ]

= 3P (B2)

Version

E[Y, C] = 3P (B2)

– Mais, le nombre 3 n’est pas n’importe quel nombre, il est E[X, B2]/P (B2). Alors,

Preliminary

comme on veut.

– Soit C = B1 ∪ B4, alors on peut écrire,

P (B2)

E[X, B2]

P (B2)

= E[X, B2]

= E[X, C]

E[X, C] = E[X.1C ]

= E[X(1B2 + 1B4 )]

= E[X.1B2 ] + E[X.1B4 ]

= E[X, B2] + E[X, B4]

= E[Y, B2] + E[Y, B4]

= E [Y, C]

Remarque 4.2. Si une v.a Y est G−mesurable, alors pour tout a on a {Y = a} ∈ G qui signiﬁe que {Y = a} est l’union

d’une ou plusieurs Bi. Puisque les Bi sont disjoints, il s’en suit que Y doit être une constante sur chaque Bi.

Exemple 4.10 (reprenons notre exemple 4.8).

– Supposons que Z prends seulement les valeurs 1, 3, 4, 7.

– Soient D1 = {Z = 1}, D2 = {Z = 3}, D3 = {Z = 4}, D4 = {Z = 7}.

– Noter que l’on peut l’écrire,

Z = 1·1D1 + 3·1D2 + 4·1D3 + 7·1D4

– Pour voir cela,

si ω ∈ D2, par exemple, le membre droit devient 0 + 3.1 + 0 + 0,qui s’accorde avec Z(ω).

Maintenant si Z est G−mesurable, alors ∀a, {Z ≥ a} ∈ G .

– Soit a = 7, on obtient D4 ∈ G.

– Soit a = 4, on obtient D3 ∪ D4 ∈ G.

– Si a = 3, on obtient D2 ∪ D3 ∪ D4 ∈ G.

– Maintenant, D3 = (D3 ∪ D4) ∩ Dc

– De même D2, D1 ∈ G.

– Étant donné que les ensembles dans G sont des unions des Bi, on doit avoir Z constante sur les Bi.

– Par exemple, s’il est avéré que :

4, alors puisque G est une tribu, D3 ∈ G.

Proposition 4.3. Supposons que Z is G−mesurable et si C ∈ G, E[Z, C] = E[X, C]. Alors,

Si X1 est plus large que X2, alors la valeur prédictible de X1 doit être plus large que celle de X2.

Proposition 4.5.

alors,

Proposition 4.4. Si X1 ≥ X2, alors,

Z = E[X|G].

E[X1|G] ≥ E[X2|G].

D1 = B1, D2 = B2 ∪ B4, D3 = B3 ∪ B6 ∪ B7, D4 = B5,

Z = 1·1B1 + 3·1B2 + 4·1B3 + 3·1B4 + 7·1B5 + 4·1B6 + 4·1B7 .

DRAFT

Version

E[aX1 + bX2|G] = aE[X1|G] + bE[X2|G].

E[X|G] = X.

La valeur prédictible de X1 + X2 doit être la somme des valeurs prédictibles.

Proposition 4.6. Si X is G−mesurable, alors :

de X est elle même.

Proposition 4.7.

La moyenne de la valeur prédictible de X doit être la valeur moyenne de X.

Proposition 4.8. Si X est indépendante de G, alors :

Preliminary

E[E[X|G]] = E [X] .

E[X|G] = E [X] .

Si on connait la quantité d’information G et de plus X est G−mesurable, alors on connait X et notre meilleure prédiction

Si on connait G, elle ne nous donne aucune information additionnelle sur X, alors la meilleure prédiction de la valeur de

X est simplement E [X].

Proposition 4.9. Si G1 ⊆ G2 sont des tribus alors :

E [E[X|G2]|G1] = E[X|G1]

Si on veut prédire une prédiction de X étant donnée une quantité d’information limitée, cela sera équivalent à une seule

prédiction étant donnée la quantité d’information minimale.

Proposition 4.10.

Proposition 4.11. Si X et Y sont indépendantes alors :

E[X| {∅, Ω}] = E[X]

Proposition 4.12. Si Z est G−mesurable, alors :

E[X|σ(Y )] = E[X]

E[X.Z|G] = Z.E[X|G]

– Elle stipule que les v.a. G−mesurable se comportent comme des constantes si on conditionne par rapport à une tribu G

– Elles peuvent être prises dans ou en dehors de l’espérance conditionnelle.

Proposition 4.13. Si X est une v.a., le meilleure prédicteur parmi la collection des v.a. G−mesurables est Y = E[X|G].

E[(X − Z)2] = E[(X − Y )2] + E[(Y − Z)2].

– Le membre droit est supérieur ou égal à E[(X − Y )2] parce que (Y − Z)2 ≥ 0.

– Donc, l’erreur de prédiction de X par Z est plus large que l’erreur dans la prédiction de X par Y ,

– et seraient égales si et seulement si Z = Y .

– Donc, Y est le meilleur prédicteur.

5 Convergences de Suites de Variables Aléatoires

Soient (Xi)∞

gence de la suite (Xi)∞

i=1 vers X, car X : Ω −→ R est une fonction.

i=1 une suite de v.a. et X une autre v.a., toutes déﬁnies sur (Ω, F,P ). Il y a plusieurs façons de déﬁnir la conver-

∀(cid:15) > 0;

P−→ X, Si

lim

n−→∞

P [{w ∈ Ω : |Xn (w) − X (w)| > (cid:15)}] = 0

DRAFT

Version

P [{w ∈ Ω : Xn (w) = X (w)}] = 1

E (cid:2)|Xn − X|2(cid:3) = 0

E [|Xn − X|] = 0

lim

n−→∞

lim

n−→∞

lim

n−→∞

p.s

−→ X

Probabilité

Presque sûre

En moyenne (ou convergence L1)

Quadratique (ou convergence L2)

Loi des grands nombres (LGN)

Soient (Xn)∞

alors

– Loi faible :

– Loi forte :

E (X1)

P−→

n−→∞

Preliminary

E (X1) p.s

−→

n−→∞

loi−→ X") si

Convergence en loi

Soient (Xn) une suite de v.a. (déﬁnies sur (Ω; F; P )) et (FXn ) la suite des fonctions de répartition correspondantes (FXn(t) =

P ({Xn ≤ t}), t ∈ R).

Xn converge en loi vers X ("Xn

lim

n−→∞

FXn (t) = FX (t), ∀t ∈ R point de continuité de FX .

Théorème Central Limite (TCL)

Soit (Xn)∞

n=1 une suite de v.a. i.i.d. telle que E(X1) = µ ∈ R et V ar(X1) = σ2 > 0. Soit Sn = X1 + ... + Xn. Alors :

Sn − nµ

nσ

√

=⇒

n−→∞

Z ∼ N (0, 1)

n=1 une suite de v.a. indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et Sn = X1+ ::: +Xn. Si E(|X1|) < ∞,