Processus Stochastiques & Applications Financières

Ce document présente les notions fondamentales des processus stochastiques et leurs applications en finance. Il s’adresse principalement aux étudiants en mathématiques appliquées, en probabilités et en finance quantitative souhaitant comprendre les bases des espaces probabilisés, des variables aléatoires, des tribus, des mesures de probabilité et des distributions associées.

Définition et exemples d’expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une opération dont le résultat ne peut être prédit avec certitude avant sa réalisation.

Exemples :

• Jeter un dé
• Jeter une pièce de monnaie
• Prendre une carte dans un jeu de 32 cartes

Selon le contexte, l’ensemble des résultats possibles, appelé espace fondamental ou univers des possibles, peut être fini, infini dénombrable ou non dénombrable.

Espace fondamental (Ω) et événements

L’espace fondamental Ω est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire, noté Ω = {w_i : i ∈ I}.

Exemples :

• Lancer un dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Lancer deux dés : Ω = {(i, j) | 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6}
• Durée de vie d’une ampoule : Ω = ℝ⁺
• Nombre de pannes d’une machine : Ω = ℕ

Un événement est un sous-ensemble de Ω, c’est-à-dire une propriété vérifiable une fois l’expérience réalisée.

Types d’événements :

• Événement certain : Ω
• Événement impossible : ∅
• Événement élémentaire : {w} avec un seul élément
• Union d’événements : A ∪ B
• Intersection d’événements : A ∩ B
• Complémentaire d’un événement : A^c
• Événements disjoints : A ∩ B = ∅

Exemple : lancer deux dés, avec les événements suivants :

• A : la somme des chiffres est égale à 3 → A = {(1, 2), (2, 1)}
• B : la somme des chiffres est égale à 7 → B = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}
• C : les deux dés montrent le même nombre → C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

Tribu (σ-algèbre)

Une tribu F sur Ω est une famille de sous-ensembles d’événements vérifiant :

1. Ω ∈ F
2. Si A ∈ F alors son complémentaire A^c ∈ F
3. Si (A_i)_i≥1 est une suite d’éléments de F, alors l’union ∪_i≥1 A_i ∈ F

Pour un ensemble fini Ω, la tribu complète est la puissance de Ω : F = P(Ω).

Exemple :

• Si Ω = {1, 2, 3}, alors la tribu complète est F = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, Ω}
• La tribu triviale est F = {∅, Ω}

La plus petite tribu contenant un événement A est {∅, A, A^c, Ω}.

La tribu engendrée par une partition finie P = {A₁, ..., A_n} de Ω est la plus petite tribu contenant tous les éléments de P, notée σ(P).

Exemple :

• Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et A = {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} une partition de Ω.
• La tribu engendrée σ(A) est :

{∅, {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, Ω}

Pour Ω = ℝ, la tribu borélienne B(ℝ) est la tribu engendrée par la famille des intervalles ouverts de ℝ.

Un couple (Ω, F) où F est une tribu sur Ω est appelé espace probabilisable.

Variable aléatoire

Une variable aléatoire X sur un espace probabilisable (Ω, F) est une fonction :

X : Ω → A ⊆ ℝ

telle que pour tout x ∈ A, l’ensemble {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} appartient à F.

Remarques :

• Une variable aléatoire n’est pas une variable au sens classique, mais une fonction mesurable.
• Elle est déterminée par l’espace probabilisable (Ω, F).

Exemple :

• Choisir une carte dans un jeu de 52 cartes : l’événement "tirer un roi de cœur" n’est pas une variable aléatoire car ce n’est pas un nombre réel.
• Attribuer une valeur numérique aux cartes (par exemple 10 points pour une figure) permet de définir une variable aléatoire.

Si Card(Ω) < ∞, la condition de mesurabilité est équivalente à :

∀x ∈ A, {ω ∈ Ω | X(ω) = x} ∈ F

Exemple :

• Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et F = {∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω}.
• La fonction X définie par :

X(ω) = 1 si ω pair, 0 sinon

est une variable aléatoire car les ensembles {ω | X(ω) = 0} = {1, 3, 5} et {ω | X(ω) = 1} = {2, 4, 6} appartiennent à F.

En revanche, la fonction Y définie par :

Y(ω) = 1 si ω < 4, 0 sinon

n’est pas une variable aléatoire sur (Ω, F) car les ensembles {4, 5, 6} et {1, 2, 3} ne sont pas dans F.

Si G est une tribu plus fine que F, alors Y peut être G-mesurable.

Théorème sur la mesurabilité des variables aléatoires

Soit (Ω, F) un espace probabilisable avec Card(Ω) < ∞ et P = {A₁, ..., A_n} la partition finie engendrant F.

Une fonction X : Ω → ℝ est une variable aléatoire (X est F-mesurable) si et seulement si X est constante sur chaque atome A_i de F.

Corollaires :

• Toute variable aléatoire sur un espace muni de la tribu triviale est constante.
• Si F = P(Ω), toute fonction X : Ω → ℝ est F-mesurable.

La plus petite tribu rendant X mesurable est appelée la tribu engendrée par X, notée σ(X), qui correspond à la tribu engendrée par la partition des ensembles {ω | X(ω) = x_i}.

Combinaisons linéaires et fonctions de variables aléatoires

Si X et Y sont deux variables aléatoires F-mesurables sur un espace probabilisable fini, alors toute combinaison linéaire aX + bY (a, b ∈ ℝ) est aussi une variable aléatoire F-mesurable.

De plus, si g : ℝ → ℝ est une fonction borélienne et X une variable aléatoire, alors g(X) est aussi une variable aléatoire.

Mesure de probabilité

Soit (Ω, F) un espace probabilisable. Une mesure de probabilité P est une fonction :

P : F → [0, 1]

vérifiant :

1. P(Ω) = 1 et P(∅) = 0
2. Pour tout A ∈ F, 0 ≤ P(A) ≤ 1
3. Pour toute suite d’événements disjoints (A_i)_i≥1 dans F, on a :

P(∪i≥1 Ai) = Σi≥1 P(Ai)

En particulier, pour deux événements disjoints A et B :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Propriétés de continuité :

• Si (A_i)_i≥1 est une suite croissante d’événements, alors :

limn→∞ P(An) = P(∪i≥1 Ai)

• Si (A_i)_i≥1 est une suite décroissante d’événements, alors :

limn→∞ P(An) = P(∩i≥1 Ai)

Exemple : lancer un dé

Considérons deux mesures de probabilité sur Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} :

ω	1	2	3	4	5	6
P(ω)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6
Q(ω)	1/12	1/12	4/12	1/12	1/12	4/12

P modélise un dé équilibré, Q un dé pipé.

Distribution ou loi d’une variable aléatoire

La distribution ou loi d’une variable aléatoire X est caractérisée par sa fonction de répartition :

FX(x) = P({ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x})

Dans le cas où Card(Ω) < ∞, la distribution est aussi caractérisée par la fonction de masse :

fX(x) = P({ω ∈ Ω | X(ω) = x})

Glossaire des termes clés

• Expérience aléatoire : opération dont le résultat est incertain avant réalisation.
• Espace fondamental (Ω) : ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement : sous-ensemble de Ω, représentant une propriété vérifiable.
• Tribu (σ-algèbre) : famille de sous-ensembles de Ω stable par complémentaire et union dénombrable, contenant Ω.
• Variable aléatoire : fonction mesurable de Ω vers ℝ, associant un nombre réel à chaque résultat.
• Mesure de probabilité : fonction définie sur une tribu, assignant une probabilité entre 0 et 1 à chaque événement.
• Distribution (loi) : fonction caractérisant la probabilité que la variable aléatoire prenne certaines valeurs.
• Tribu engendrée par une partition : plus petite tribu contenant tous les éléments de la partition.
• Fonction borélienne : fonction mesurable par rapport à la tribu borélienne sur ℝ.

Points clés à retenir

• Un espace probabilisable est constitué d’un ensemble fondamental Ω et d’une tribu F d’événements.
• Une variable aléatoire est une fonction mesurable de Ω vers ℝ, définie par la tribu sur Ω.
• La tribu engendrée par une variable aléatoire est la plus petite tribu rendant cette variable mesurable.
• Les mesures de probabilité attribuent des probabilités aux événements de la tribu, avec une propriété d’additivité.
• La distribution d’une variable aléatoire est donnée par sa fonction de répartition ou sa fonction de masse si Ω est fini.
• Les combinaisons linéaires et les fonctions boréliennes de variables aléatoires sont aussi des variables aléatoires.