Processus Stochastiques & Applications Financières

– Un évènement est un sous-ensemble de Ω = {ω1, ..., ωn}.

– Lorsque nous créons un évènement A ⊆ Ω, nous avons, pour chacun des ωi, deux choix possibles : soit ωi ∈ A où

Exemple 2.1. Si n = 3, alors :

F = {∅, {ω1} , {ω2} , {ω3} , {ω1, ω2} , {ω1, ω3} , {ω2, ω3} , Ω}

Remarque 2.1.

– Généralement, nous n’avons pas besoin de connaitre les probabilités associées à chacun des évène-

ments de Ω.

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2

– Cela est particulièrement fréquent lorsque Card(Ω) est grand ou infini.

Exemple 2.2. Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Supposons qu’on s’intéresse uniquement à la variable aléatoire X définie par :

ω

X (ω)

1

0

2

0

3

1

4

1

5

2

6

2

Alors, les évènements qui caractérisent la distribution de X sont :

{X = 0} = {1, 2}

{X = 1} = {3, 4}

{X = 2} = {5, 6} .

Par conséquent, pour déterminer la distribution de X, nous avons besoin seulement que des probabilités associées aux évè-

nements {1, 2}, {3, 4} et {5, 6}.

Ainsi, la connaissance de la probabilité de l’évènement {1} ne nous apporte aucune information supplémentaire sur la

distribution de la variable aléatoire X.

– Les propriétés d’une mesure de probabilité font en sorte que si on connait la probabilité d’un évènement A, alors on

connait aussi celle associée à son complément Ac car P (Ac) = 1 − P (A).

– On est aussi capable de déterminer la probabilité associée à l’union d’un certain nombre d’évènements caractérisant la

distribution de X à cause des propriétés de la mesure de probabilité.

Définition 2.1. Une tribu (ou σ−algèbre) F est une famille de sous-ensemble d’évènements de Ω, tel que :

1. Ω ∈ F .

2. A ∈ F =⇒ Ac ∈ F.

3. Si (Ai)∞

i=1 ∈ F =⇒ ∪∞

Dans le cas où Card(Ω) < ∞, (Ai)n

i=1Ai ∈ F .

i=1 ∈ F =⇒ ∪n

DRAFT

Version

F = P(Ω) = {∅, {1} , {2} , ..., Ω}

i=1Ai ∈ F

{∅, Ω}

.

Remarque 2.2. En particulier :

A, B ∈ F =⇒

(cid:26) A ∪ B ∈ F

A ∩ B ∈ F

Exemple 2.3. La tribu complète, c’est la plus grande tribu :

Exemple 2.4 (Suite). La tribu triviale :

Intuitivement, la tribu est l’ensemble des évènements auxquels on s’intéresse toujours.

Exemple 2.5 (Suite). La plus petite tribu contenant l’évènement A est :

{∅, A, Ac, Ω} .

Exemple 2.6 (Suite). Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La plus petite tribu contenant les évènements {1, 2}, {3, 4} et {5, 6} est :

F = {∅, {1, 2} , {3, 4} , {5, 6} , {1, 2, 3, 4} , {1, 2, 5, 6} , {3, 4, 5, 6} , Ω}

Exemple 2.7 (Suite). Soit Ω = [0, 1] et I1, ..., In une famille d’intervalles formant une partition de Ω. La famille des sous-

ensembles définie par :

Preliminary

G = {∅, I1, I2, ..., I1 ∪ I2, ..., I1 ∪ I2 ∪ I3, ..., Ω}

est une tribu sur Ω.

Définition 2.2. Soit A = {Ai; i ∈ I} une famille de sous-ensembles de Ω.

– Alors la tribu engendrée par A est la plus petite tribu sur Ω qui contient tous les sous-ensembles Ai; i ∈ I.

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Définition 2.4. Une tribu F est dite engendrée par la partition finie P si elle est la plus petite tribu contenant les éléments de

P . On la dénote aussi par σ(P ).

– Elle est notée σ(A) ou A.

– Les éléments de A sont appelés les atomes de A.

N.B. : l’ensemble I n’est pas forcément dénombrable.

Exemple 2.8.

– Soit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

– La plus petite tribu engendrée par l’évènement

est donnée par :

A = {{1, 2} , {3, 4} , {5, 6}}

σ(A) = {∅, {1, 2} , {3, 4} , {5, 6} , {1, 2, 3, 4} ,

{1, 2, 5, 6} , {3, 4, 5, 6} , Ω}

Définition 2.3. Une famille P = {A1, ..., An} d’évènements de Ω est appelée une partition finie de Ω si :

1. ∀i ∈ {1, ..., n}, Ai 6= ∅

2. ∀i ∈ {1, ..., n} tels que : i 6= j, Ai ∩ Aj = ∅

3. ∪n

i≥1Ai = Ω.

On note par P (Ω), l’ensemble de toutes les parties de Ω.

Exemple 2.9. Soit Ω = {1, ..., 6}.

– Si A1 = {{1}}, alors :

– Si A2 = {1, 3, 5}, alors :

– Soit Ω = [0, 1]. Si A = {I1, ..., In}, alors :

Exercice 2.1. Si A = {{1, 3, 5} , {1, 2, 3}}.

σ(A1) = {∅, {1} , {2, ..., 6} , Ω}

DRAFT

Version

σ(A2) = {∅, {1, 3, 5} , {2, 4, 6} , Ω}

Déterminer σ(A) =?.

σ(A) = G

A = {]a; b[: 0 ≤ a < b ≤ 1}

= {intervalles ouverts dans R}

Définition 2.5. Soit Ω = R.

– La tribu borélienne sur R est la tribu engendrée par la famille des sous-ensembles

Preliminary

– Elle est notée par B(R).

– Elle contient un très grand nombre de sous-ensembles.

Remarque 2.3.

– Pour Ω un ensemble fini, on choisit souvent F = P(Ω).

– Pour Ω ⊂ R ou Ω ⊂ Rn, on choisit souvent F = B(Ω)

Définition 2.6. Une sous-tribu de F est une tribu G telle que si A ∈ G alors A ∈ F . On note G ⊂ F.

Définition 2.7. Le couple (Ω, F), formé d’un ensemble fondamental et d’une tribu est appelé Espace Probabilisable.

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3 Variable aléatoire

Définition 3.1. Une variable aléatoire X, construite sur l’espace probabilisable (Ω, F), est une fonction à valeurs réelles ayant

comme domaine l’ensemble fondamental Ω telle que :

X : Ω → A ⊆ R

∀x ∈ A, {ω ∈ Ω|X(ω) ≤ x} ∈ F

(1)

Attention ! Il ne faut pas confondre les concepts d”ensemble fondamental’ et de ’variable aléatoire’

Remarque 3.1. Contrairement à ce qu’on pense, l’appellation "variable aléatoire" n’est pas :

– une variable, mais c’est une application de Ω −→ A

– aléatoire, mais c’est un élément déterminé de (Ω, F)

Exemple 3.1. Si l’expérience aléatoire consiste à choisir une carte au hasard parmi un jeu de 52 cartes,

– Alors, l’évènement "tirer un roi de coeur" n’est pas une variable aléatoire car, entre autres, "roi de coeur" n’est pas un

nombre réel.

– Cependant, si l’on associe 10 points au fait de tirer une figure et la "valeur" de la carte autrement, alors cette relation est

une variable aléatoire.

Exemple 3.2. Soient X, Y, Z et W des variables aléatoires :

Remarque 3.2. Si Card(Ω) < ∞, alors la condition [1] est équivalente à :

0

0

0

5

10

10

5

5

5

5

0

10

∀x ∈ A, {ω ∈ Ω|X(ω) = x} ∈ F

ω X(ω)

0

1

0

2

5

3

5

4

10

5

10

6

Y (ω) Z(ω) W (ω)

0

5

5

5

5

10

DRAFT

Version

les évènements qui caractérisent sa distribution sont des éléments de F

Il s’en suit alors que :

X : Ω → A est une variable aléatoire sur l’espace probabilisable (Ω, F) si et seulement si :

Remarque 3.3.

1. X est aussi dite une fonction (ou v.a.) F−mesurable

2. Si F = P(Ω), alors X est toujours F −mesurable.

3. Si Ω = R et F = B(R), alors X est dite une fonction Borélienne.

Si F et G sont deux tribus de Ω alors :

– Il est possible que X soit une variable aléatoire sur l’espace probabilisable (Ω, F)

– Mais qu’elle n’en soit pas une sur l’espace (Ω, G).

– Pour bien exprimer que la tribu F contient les évènements caractérisant la distribution de X, on dit que X est

Exemple 3.3. Soient Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et F = {∅, {1, 3, 5} , {2, 4, 6} , Ω}

F−mesurable.

– La fonction

Preliminary

ω 7→

X : Ω → R

(cid:26) 1

0

si le résultat est pair

sinon

est une variable aléatoire sur (Ω, F).

En effet,

{ω ∈ Ω|X (ω) = x} =

( {1, 3, 5} ∈ F si x = 0

{2, 4, 6} ∈ F si x = 1

∅ ∈ F

sinon

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5

– Tandis que la fonction

Y : Ω → R

ω 7→

(cid:26) 1

0

si le résultat est inférieur à 4

sinon

n’est est pas une variable aléatoire sur (Ω, F).

En effet,

{w ∈ Ω|Y (w) = y} =

( {4, 5, 6} /∈ F si y = 0

{1, 2, 3} /∈ F si y = 1

∅ ∈ F

sinon

– On dit que X est F −mesurable tandis que Y ne l’est pas.

– Par contre X et Y sont G− mesurables où :

G = σ {{2} , {5} , {1, 3} , {4, 6}}







=

{2} , {5} , {1, 3} , {4, 6} , {2, 5} , {1, 2, 3} ,

{1, 3, 5} , {2, 4, 6} , {4, 5, 6} , {1, 2, 3, 5} ,

{1, 3, 4, 6} , {2, 4, 5, 6} , {1, 3, 4, 5, 6} ,

{1, 2, 3, 4, 6} , Ω







Théorème 3.1. Soient,

– (Ω, F), Card(Ω) < ∞, un espace probabilisable

– et P = {A1, ..., An} , la partition finie de Ω engendrant F.

Les prochains résultats nous permettront de déterminer la plus petite tribu qui permet à une ou plusieurs variables aléatoires

d’être mesurables.

La fonction X : Ω → R est une variable aléatoire sur cet espace (X est F−mesurable) si et seulement si X est constante

sur les atomes de F.

Corollaire 3.1.

1. Toute variable aléatoire sur un espace probabilisable muni de la tribu triviale est constante.

2. Si F = P(Ω) alors toute fonction à valeurs réelles sur Ω (X : Ω → R) est F−mesurable.

La plus petite tribu F qui fait en sorte que X soit une variable aléatoire sur l’espace probabilisable (Ω, F), est appelée la

– Si Card(Ω) < ∞ alors X ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs, soient x1, ..., xm ; ∀i ∈

Définition 3.2. Soit X : Ω → R.

tribu engendrée par X et notée σ(X).

Remarque 3.4.

{1, ..., m}

– Posons Ai = {ω ∈ Ω|X(ω) = xi}.

– Alors, P = {A1, ..., Am} est une partition finie de Ω et σ {X} = σ {P }.

Théorème 3.2. Supposons que Card(Ω) < ∞.

Si X : Ω → R et Y : Ω → R sont F −mesurables alors :

DRAFT

Version

∀a, b ∈ R, aX + bY

Preliminary

∪

axi+byj <z

∪

axi+byj <z

=

=

∀z ∈ R, {ω ∈ Ω|aX(ω) + bY (ω) < z}

{ω ∈ Ω|X(ω) = xi et Y (ω) = yj}

{ω ∈ Ω|X(ω) = xi}

}

{z

|

∈F

∩ {ω ∈ Ω|Y (ω) = yj}

}

{z

∈F

|

∈ F

Comme Card(Ω) < ∞, les variables aléatoires X et Y ne peuvent prendre qu’un nombre fini de valeurs, disons x1 <

... < xm et y1 < ... < yn respectivement.

est aussi F−mesurable

Preuve.

Remarque 3.5. Ce théorème indique que toute combinaison linéaire de variables aléatoires construites sur le même espace

probabilisable est une variable aléatoire de cet espace.

Proposition 3.1. Si g : R −→ R est Borélienne et X : Ω −→ R est une v.a., alors g(X) est une v.a.

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4 Mesure de Probabilité

Définition 4.1 (Mesure de Probabilité). Soit l’espace probabilisable (Ω, F). La fonction P : F → [0, 1] est une mesure de

probabilité sur (Ω, F) si :

1. P (Ω) = 1, P (∅) = 0.

2. ∀A ∈ F , 0 ≤ P (A) ≤ 1.

3. ∀A1, A2, ... ∈ F tels que Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j, alors P (∪i≥1Ai) =

X

i≥1

P (Ai) .

En particulier :

– A, B ∈ F et A ∩ B = ∅ alors :

P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

– De plus :

– Si (Ai)∞

i=1 ⊂ F ;Ai ⊂ Ai+1 et ∪∞

i=1Ai = A ; alors :

lim

n−→∞

P (Ai) = P (A)

– Si (Ai)∞

i=1 ⊂ F ;Ai ⊃ Ai+1 et ∩∞

Exemple 4.1 (dé). On considère le lancer d’un dé.

– La mesure de probabilité P représente la situation où le dé est bien balancé

– Tandis que la mesure de probabilité Q modélise un cas où le dé est pipé.

ω

lim

n−→1

P (Ai) = P (A)

i=1Ai = A ; alors :

DRAFT

P (ω) Q(ω)

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

Version

1

12

1

12

4

12

1

12

1

12

4

12

2

1

5

4

3

6

Preliminary

FX

:

R → [0, 1]

x → P [X < x]

∀x ∈ R, FX (x) = P {ω ∈ Ω|X(ω) < x}

Définition 4.2 (Espace Probabilisé). Le triplet (Ω, F, P ) composé d’un ensemble fondamental, d’une tribu sur Ω et d’une

mesure de probabilité construite sur (Ω, F) est appelé Espace Probabilisé.

5 Distribution ou loi

Définition 5.1 (Distribution ou Loi). La distribution ou la loi d’une variable aléatoire X est caractérisée par sa fonction de

répartition : probabilité que la v.a. X soit inférieure à x.

Par conséquent, si P est la mesure de probabilité qui prévaut sur Ω alors :

Théorème 5.1. Dans le cas où Card(Ω) < ∞, la distribution d’une variable aléatoire est aussi caractérisée par sa fonction

de masse :probabilité que la v.a. X égale à x,c’est-à-dire que :

:

fX

R → [0, 1]

x → P [X = x]

∀x ∈ R, fX (x) = P {ω ∈ Ω|X(ω) = x}

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