Problèmes de Mathématiques

Ce document présente un ensemble de problèmes et d'exercices sur les homographies du plan complexe, destinés à tester des compétences en analyse complexe, géométrie et algèbre. Les exercices portent sur la définition, les propriétés algébriques et géométriques des homographies, leur action sur les cercles et droites du plan complexe étendu, la conservation des angles, des orthogonalités, ainsi que sur les points fixes, la conjugaison et les puissances d'homographies.

I. Le groupe des homographies

On demande de vérifier que l'application hu associée à un quadruplet u = (a, b, c, d) ∈ E est inchangée par multiplication de u par un scalaire λ ∈ C∗, d'identifier hu pour u = (1, 0, 0, 1), puis de montrer la stabilité de E par la loi ⊗ et la correspondance entre la composition des homographies et cette loi. Enfin, on doit montrer que toute homographie est bijective et que H est un groupe non commutatif.

1. Vérification que hλu = hu pour tout λ ∈ C∗.
   Soit u = (a, b, c, d) ∈ E et v = λu = (λa, λb, λc, λd) avec λ ∈ C∗. Alors δ(v) = (λa)(λd) − (λb)(λc) = λ²(ad − bc) = λ²δ(u) ≠ 0, donc v ∈ E.
   Pour tout z ∈ bC \ {−d/c}, on a :
   hv(z) = (λaz + λb)/(λcz + λd) = (az + b)/(cz + d) = hu(z).
   De plus, hv(∞) = a/c = hu(∞) et hv(−d/c) = ∞ = hu(−d/c).
   Ainsi, hλu = hu.
   Pour u = (1, 0, 0, 1), hu(z) = (1·z + 0)/(0·z + 1) = z pour tout z ∈ C, et hu(∞) = 1/0 = ∞.
   Donc hu est l'application identité de bC.
   Réponse : hu est inchangée par multiplication par λ ∈ C∗ et hu pour u = (1,0,0,1) est l'identité.
2. Stabilité de E par la loi ⊗ et composition des homographies.
   Soient u = (a, b, c, d) et v = (a0, b0, c0, d0) dans E.
   Définissons w = u ⊗ v = (aa0 + bc0, ab0 + bd0, ca0 + dc0, cb0 + dd0).
   Calcul de δ(w) :
   δ(w) = (aa0 + bc0)(cb0 + dd0) − (ab0 + bd0)(ca0 + dc0) = (ad − bc)(a0d0 − b0c0) = δ(u)δ(v) ≠ 0.
   Donc w ∈ E.
   Montrons hu ◦ hv = hw :
   Pour z ∈ bC \ {−d0/c0}, hv(z) = (a0z + b0)/(c0z + d0).
   Alors hu(hv(z)) = (a·hv(z) + b)/(c·hv(z) + d) = ((a(a0z + b0)/(c0z + d0) + b) / (c(a0z + b0)/(c0z + d0) + d))
   = ((aa0 + bc0)z + (ab0 + bd0)) / ((ca0 + dc0)z + (cb0 + dd0)) = hw(z).
   Réponse : E est stable par ⊗ et la composition hu ◦ hv = hw.
3. Bijectivité de hv et expression de l'inverse.
   Soit v = (a, b, c, d) ∈ E et v0 = (d, −b, −c, a).
   On calcule δ(v0) = da − (−b)(−c) = ad − bc = δ(v) ≠ 0 donc v0 ∈ E.
   On a vu que hv ◦ hv0 = h(v ⊗ v0).
   Calcul de v ⊗ v0 :
   (aa0 + bc0, ab0 + bd0, ca0 + dc0, cb0 + dd0) = (ad − bc, 0, 0, da − cb) = (δ(v), 0, 0, δ(v)).
   Donc hv ◦ hv0 = h(δ(v), 0, 0, δ(v)) = h(1, 0, 0, 1) = Id.
   De même hv0 ◦ hv = Id.
   Ainsi hv est bijective et son inverse est hv0.
   Réponse : hv est bijection de bC et h−1v = hv0 avec v0 = (d, −b, −c, a).
4. H est un groupe non commutatif.
   H est non vide (contient l'identité).
   Stable par composition et inversion d'après les questions précédentes.
   Exemple de non-commutativité :
   u = (1, 1, 1, 0) ⇒ hu(z) = z + 1
   v = (2, 0, 1, 0) ⇒ hv(z) = 2z
   Alors hv ◦ hu(z) = 2(z + 1) = 2z + 2
   hu ◦ hv(z) = 2z + 1
   Donc hu ◦ hv ≠ hv ◦ hu.
   Réponse : H est un groupe non commutatif.

II. L’homographie z ↦ 1/z et les cercles de bC

On étudie l'involution ϕ : z ↦ 1/z sur l'ensemble des cercles et droites de bC.

1. (a) Caractérisation d'une droite ∆ ne passant pas par 0.
   Soit ∆ une droite de C ne passant pas par 0, ω la projection orthogonale de 0 sur ∆.
   Montrons que z ∈ ∆ ⇔ Re((z − ω)·ω) = 0.
   En effet, z ∈ ∆ signifie que le vecteur z − ω est orthogonal à ω, donc le produit scalaire réel Re((z−ω)·ω) = 0.
   Réponse : z est sur ∆ si et seulement si Re((z − ω)ω) = 0.
2. (b) Caractérisation d'un cercle C par deux points diamétralement opposés u, v.
   Soit C un cercle de C, u, v deux points diamétralement opposés.
   Montrons que z ∈ C ⇔ Re((z − u)(z − v)) = 0.
   En développant, on obtient l'équation classique d'un cercle :
   |z|² − Re((u + v)z) + Re(uv) = 0.
   Cette équation correspond bien à un cercle de centre (u + v)/2 et de rayon |v − u|/2.
   Réponse : z appartient à C si et seulement si Re((z − u)(z − v)) = 0.
3. 2. Vérification que ϕ est une involution et étude de son action sur cercles et droites.
   Définition : ϕ = h(0,1,1,0), donc ϕ(z) = 1/z pour z ≠ 0, ϕ(0) = ∞, ϕ(∞) = 0.
   On a ϕ ◦ ϕ = Id, donc ϕ est une involution.
   (a) Image d'une droite bD passant par 0 :
   Si bD = {∞} ∪ D avec D = {λω, λ ∈ R}, alors ϕ(bD) = {0, ∞} ∪ {1/(λ ω)}.
   Comme 1/(λ ω) = (1/λ)(1/ω), la droite image est {∞} ∪ {µ ω, µ ∈ R}, une droite passant par 0.
   (b) Image d'un cercle C passant par 0 :
   Soit ω le point diamétralement opposé à 0 sur C.
   On montre que ϕ(C) est la droite orthogonale en ω0 = ϕ(ω) au segment [0, ω0].
   (c) Image d'une droite ne passant pas par 0 :
   Son image est un cercle passant par 0.
   (d) Image d'un cercle ne passant pas par 0 :
   Son image est un cercle ne passant pas par 0.
   Réponse : ϕ réalise une involution de bC qui échange cercles et droites selon qu'ils passent ou non par 0.
4. 3. ϕ induit une involution de l'ensemble des cercles de bC.
   Puisque ϕ est involutive et envoie cercles sur cercles (ou droites), elle réalise une bijection involutive de bC sur lui-même.
   Réponse : ϕ est une involution de l'ensemble bC.

III. Homographies et cercles de bC

On généralise l'action de ϕ aux homographies en général et on étudie leur action sur les cercles et droites de bC.

1. 1. Montrer que S est un sous-groupe de H.
   Rappel : S = {sa,b = h(a,b,0,1), a ∈ C∗, b ∈ C} avec sa,b(z) = az + b et sa,b(∞) = ∞.
   Soient sa,b et sc,d dans S, alors leur composition est sa,b ◦ sc,d = s(ac, ad + b).
   De plus, l'inverse de sa,b est s(1/a, −b/a).
   Donc S est stable par composition et inversion, c'est un sous-groupe de H.
   Réponse : S est un sous-groupe de H.
2. 2. Montrer que s ∈ S réalise une bijection de bC sur lui-même.
   Comme s(∞) = ∞, il suffit d'étudier la restriction à C.
   Si a = 1, s est une translation, bijection de C.
   Si a ≠ 1, s est une similitude directe (homothétie + rotation) avec un unique point fixe ω = b/(1−a).
   Toute similitude directe est bijection de C, et donc de bC.
   De plus, s envoie cercles sur cercles et droites sur droites.
   Réponse : s réalise une bijection de bC sur lui-même, séparément sur les cercles et les droites.
3. 3. Toute homographie h = hu est soit une similitude directe (si c=0), soit la composée de ϕ et de deux similitudes directes.
   Si c = 0, alors h = sa0,b0 avec a0 = a/d et b0 = b/d.
   Si c ≠ 0, on écrit h = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d avec a0 = −δ(u)/c et b0 = a/c.
   On vérifie que cette composition coïncide avec h.
   Réponse : Toute homographie est soit une similitude directe, soit la composée de ϕ et de deux similitudes directes.
4. 4. Toute homographie réalise une bijection de bC sur lui-même et décrit l'image des cercles et droites selon qu'ils passent ou non par ω = −d/c.
   Si c ≠ 0, alors h = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d.
   - Les droites passant par ω sont envoyées sur des droites passant par a/c.
   - Les droites ne passant pas par ω sont envoyées sur des cercles passant par a/c.
   - Les cercles passant par ω sont envoyés sur des droites ne passant pas par a/c.
   - Les cercles ne passant pas par ω sont envoyés sur des cercles ne passant pas par a/c.
   Réponse : L'image par h d'un cercle ou d'une droite dépend de son passage par ω, selon la description ci-dessus.

IV. Homographies et conservation des angles

On étudie la conservation des angles par une homographie h = h(a,b,c,d) sur des arcs paramétrés de classe C1 sans points stationnaires.

1. 1. Montrer que les arcs Γ1(t) = h(z1(t)) et Γ2(t) = h(z2(t)) sont de classe C1 et sans points stationnaires.
   La composition d'une fonction C1 par une fonction holomorphe non constante est C1.
   La dérivée de Γ1 est donnée par la règle de dérivation des fractions rationnelles :
   Z1'(t) = ((a z1'(t))(c z1(t) + d) − (c z1'(t))(a z1(t) + b)) / (c z1(t) + d)^2 = δ(u) z1'(t) / (c z1(t) + d)^2.
   Comme δ(u) ≠ 0 et z1'(t) ≠ 0 (pas de point stationnaire), Z1'(t) ≠ 0.
   Même raisonnement pour Γ2.
   Réponse : Les arcs Γ1 et Γ2 sont de classe C1 et sans points stationnaires.
2. 2. Conservation de l'angle entre deux arcs en un point commun.
   Soient A = z1(t1) = z2(t2) et B = Γ1(t1) = Γ2(t2).
   Les tangentes T1, T2 en A aux arcs γ1, γ2 sont images par la différentielle de h en A des vecteurs z1'(t1), z2'(t2).
   L'angle entre T1 et T2 est donné par l'argument du quotient des dérivées.
   La dérivée de h est une fonction holomorphe non nulle, donc elle multiplie les vecteurs tangentiels par un facteur complexe non nul.
   Ainsi, l'angle entre les images est égal à l'angle entre les originaux.
   Réponse : Une homographie conserve les angles entre arcs paramétrés.
3. 3. Conservation de l'orthogonalité des cercles.
   Deux cercles sont orthogonaux si leurs tangentes en un point d'intersection sont orthogonales.
   Une droite est orthogonale à un cercle si elle contient un diamètre du cercle.
   Comme les homographies conservent les angles, elles conservent l'orthogonalité.
   Réponse : Toute homographie transforme deux cercles orthogonaux en deux cercles orthogonaux.

V. Homographies et conservation de l’orthogonalité

On démontre algébriquement que les homographies conservent les cercles et leur orthogonalité, en commençant par ϕ : z ↦ 1/z.

1. 1. Caractérisation d'un cercle ou d'une droite par une équation quadratique.
   Γ ⊂ C est un cercle ou une droite si et seulement s'il existe (α, β, γ) ∈ R × C × R avec αγ < |β|² tels que :
   z ∈ Γ ⇔ α|z|² + βz + β̄ z̄ + γ = 0.
   Si α ≠ 0, c'est un cercle ; si α = 0, c'est une droite.
   Réponse : Cette équation caractérise cercles et droites.
2. 2. ϕ transforme les cercles de bC en cercles de bC.
   En substituant z par 1/z dans l'équation, on obtient une équation de même forme pour ϕ(Γ).
   Donc ϕ envoie cercles sur cercles.
   Réponse : ϕ conserve l'ensemble des cercles de bC.
3. 3. Condition d'orthogonalité de deux cercles C1 et C2.
   Soient C1 de centre ω1 et rayon r1, C2 de centre ω2 et rayon r2.
   C1 et C2 sont orthogonaux ⇔ |ω2 − ω1|² = r1² + r2².
   Réponse : Cette relation caractérise l'orthogonalité.
4. 4. Condition d'orthogonalité entre deux cercles ou droites définies par (α, β, γ) et (α0, β0, γ0).
   Γ : α|z|² + βz + β̄ z̄ + γ = 0
   Γ0 : α0|z|² + β0z + β̄0 z̄ + γ0 = 0
   Avec αγ < |β|² et α0γ0 < |β0|².
   Γ et Γ0 sont orthogonaux ⇔ αγ0 + α0γ = ββ0 + β̄β̄0.
   On traite séparément les cas cercles, droites, et mixte.
   Réponse : Cette égalité caractérise l'orthogonalité.
5. 5. ϕ conserve l'orthogonalité des cercles de bC.
   En utilisant la forme quadratique et la condition précédente, on montre que l'image par ϕ conserve cette relation.
   Par composition avec similitudes directes (III.3), toute homographie conserve l'orthogonalité.
   Réponse : Toute homographie conserve l'orthogonalité des cercles de bC.

VI. Homographies, disques et demi-plans

On étudie comment les homographies transforment l'intérieur et l'extérieur d'un cercle, ou les demi-plans délimités par une droite.

1. 1. Définition des ensembles Γ+ et Γ− associés à Γ.
   Soit Γ défini par Q(z) = α|z|² + βz + β̄ z̄ + γ = 0 avec α ≥ 0.
   On définit :
   Γ+ = {z ∈ C | Q(z) > 0}, Γ− = {z ∈ C | Q(z) < 0}.
   Si Γ est un cercle, Γ+ et Γ− désignent l'intérieur et l'extérieur.
   Si Γ est une droite, Γ+ et Γ− sont les deux demi-plans délimités par Γ.
   Réponse : Γ+ et Γ− correspondent à l'intérieur/extérieur ou demi-plans selon le cas.
2. 2. Image par ϕ : z ↦ 1/z.
   On note eΓ = ϕ(Γ) le cercle ou la droite image.
   L'équation eQ(z) = 0 de eΓ s'obtient en remplaçant z par 1/z dans Q.
   On montre que ϕ échange les parties du plan séparées par Γ avec celles séparées par eΓ.
   Réponse : ϕ envoie Γ+ sur eΓ+ et Γ− sur eΓ−.
3. 3. Généralisation à une homographie quelconque.
   Toute homographie étant composée de similitudes et de ϕ, elle conserve la séparation du plan en deux parties par un cercle ou une droite.
   Réponse : Toute homographie envoie l'intérieur (ou demi-plan) d'un cercle (ou droite) sur l'intérieur (ou demi-plan) de son image.

VII. Points fixes d’une homographie, birapport

On étudie les points fixes des homographies, la notion de birapport, et leurs propriétés.

1. 1. (a) Homographies avec ∞ comme seul point fixe sont les similitudes.
   Une homographie fixant uniquement ∞ est de la forme sa,b : z ↦ az + b.
   Ce sont les similitudes directes.
   (b) Toute homographie distincte de l'identité possède un ou deux points fixes (éventuellement confondus).
   Réponse : Les points fixes sont au nombre de un ou deux.
2. 2. Caractérisation des homographies involutives.
   f est involutive ⇔ ∃ u ≠ v dans bC tels que f(u) = v et f(v) = u.
   Réponse : Une homographie involutive échange deux points distincts.
3. 3. Existence et unicité d'une homographie h telle que h(zk) = ωk pour k=1,2,3.
   On construit h à partir des homographies birapports associées.
   Réponse : Il existe une unique homographie h vérifiant ces conditions.
4. 4. Caractérisation du birapport et alignement sur un cercle.
   Le birapport [z1,z2,z3,z4] est réel si et seulement si z1,z2,z3,z4 sont sur un même cercle de bC.
   Réponse : Le birapport réel caractérise l'appartenance à un même cercle.
5. 5. Conservation du birapport par une homographie f.
   Pour f homographie, on a :
   [f(z1), f(z2), f(z3), f(z4)] = [z1, z2, z3, z4].
   Réponse : Les homographies conservent le birapport.
6. 6. Réciproquement, une application injective conservant le birapport est une homographie.
   On construit f comme composition d'homographies birapports.
   Réponse : Conservation du birapport caractérise les homographies.

VIII. Conjugaison des homographies

On étudie la conjugaison dans le groupe H des homographies, ses propriétés et classes d'équivalence.

1. 1. Étude du morphisme Φ : H → Aut(H), Φ(h) = Φh avec Φh(f) = h ◦ f ◦ h−1.
   (a) Φ est un morphisme de groupes.
   (b) La seule homographie commutant avec t : z ↦ z + 1 et toutes les sa est l'identité.
   (c) Φ est injectif.
   Réponse : Φ est un morphisme injectif.
2. 2. Propriétés de la relation de conjugaison ∼ sur H.
   (a) ∼ est une relation d'équivalence.
   La classe d'équivalence de l'identité est {Id}.
   Si f ∼ g, alors f^n ∼ g^n pour tout n ∈ N.
   (b) Deux homographies conjuguées ont le même nombre de points fixes.
   (c) Les translations distinctes de Id sont conjuguées deux à deux.
   (d) Pour λ, µ ∈ C \ {0,1}, σλ et σµ sont conjuguées ⇔ µ = λ ou µ = 1/λ.
   Réponse : La conjugaison conserve le nombre de points fixes et classe les homographies en classes bien définies.
3. 3. Classes d'équivalence et représentants simples.
   (a) Si f a deux points fixes distincts α, β, alors f est conjuguée à σλ : z ↦ λz avec λ ∈ C \ {0,1}.
   (b) Si f est une similitude directe non translation, f est conjuguée à σλ.
   (c) Si f a un point fixe double α, alors f est conjuguée à une translation non identité.
   (d) Conclusion :
   - Si f a un point fixe double, elle est conjuguée à z ↦ z + 1.
   - Sinon, elle est conjuguée à σλ avec 0 < |λ| ≤ 1, λ unique sous condition sur la partie réelle.
   Réponse : Les classes de conjugaison sont paramétrées par λ ou la translation.

IX. Puissances d’homographies

On analyse les homographies dont une puissance est l'identité, et l'itération d'une homographie sur un point.

1. 1. Homographies f telles que f^n = Id.
   (a) f^n = Id ⇔ f est conjuguée à σλ avec λ^n = 1.
   (b) Pour f = hu, f^2 = Id ⇔ d = −a.
   (c) Homographie involutive avec points fixes α, β distincts : f = h−1 ◦ σ−1 ◦ h.
   (d) Pour f^3 = Id et points fixes α, β, les deux seules homographies sont conjuguées à σλ avec λ^3 = 1, λ ≠ 1.
   (e) Pour f^4 = Id, f(1) = 1, f(−1) = −1, il existe trois solutions formant un groupe cyclique.
   Réponse : Les homographies périodiques sont conjuguées à des rotations d'ordre n.
2. 2. Homographies permutant circulairement 2, 3 ou 4 points.
   (a) Forme générale des homographies échangeant deux points u, v.
   (b) Existence et unicité d'une homographie f telle que f(u) = v, f(v) = w, f(w) = u, avec f^3 = Id.
   Cette homographie laisse invariant le cercle passant par u, v, w.
   Exemple : f(0) = 1, f(1) = i, f(i) = 0.
   (c) Pour quatre points t, u, v, w, existence unique de f avec f(t) = u, f(u) = v, f(v) = w, f(w) = t, vérifiant f^4 = Id.
   Existence ⇔ birapport [t, v, u, w] = −1.
   Réponse : Homographies cycliques existent sous conditions sur le birapport.
3. 3. Étude de la suite zn+1 = f(zn).
   (a) Si f a un seul point fixe α, alors zn → α.
   (b) Si f a deux points fixes distincts α, β et z0 ∉ {α, β}, alors la suite converge vers α ou β, ou diverge vers ∞.
   Réponse : Le comportement asymptotique dépend des points fixes de f.

X. Homographies envoyant un disque donné sur un disque donné

On considère les homographies réelles et leur action sur le demi-plan supérieur P, la droite étendue bR et le disque unité D.

1. 1. Sous-groupes R et R+.
   (a) R+ est un sous-groupe de R, lui-même sous-groupe de H.
   (b) R est l'ensemble des homographies laissant bR globalement invariant.
   (c) R+ est l'ensemble des homographies laissant P globalement invariant.
   Réponse : R+ et R sont des sous-groupes caractérisés par leurs invariants géométriques.
2. 2. Homographie H : z ↦ (z − i)/(z + i).
   (a) H envoie P sur D.
   (b) Les homographies f telles que f(D) = D sont de la forme f(z) = u (z − γ)/(1 − γ z) avec |u| = 1 et |γ| < 1.
   (c) Pour un disque Dω,r, on détermine les homographies envoyant Dω,r sur Dω0,r0.
   Réponse : H réalise une bijection entre P et D, et les homographies préservant D ont une forme précise.

Méthode

Ce sujet récompense la rigueur dans l'utilisation des définitions et des propriétés algébriques des homographies, notamment la manipulation des quadruplets (a,b,c,d) et le calcul des déterminants δ. Il est essentiel de suivre les notations et conventions données, notamment pour les points à l'infini et la définition des applications sur bC.

La maîtrise des propriétés géométriques des cercles et droites dans le plan complexe étendu, ainsi que la compréhension des transformations associées aux homographies, est cruciale. Les démonstrations algébriques doivent être précises, notamment pour la conservation des cercles, des angles et de l'orthogonalité.

Les erreurs fréquentes à éviter incluent la confusion entre les cas c=0 et c≠0, l'oubli de vérifier la bijectivité, ou la mauvaise gestion des points à l'infini. Enfin, la compréhension de la conjugaison et des classes d'équivalence dans le groupe des homographies est fondamentale pour l'étude des points fixes et des puissances d'homographies.