Probl`emes de Math´ematiques
Homographies du plan complexe
´Enonc´e
Homographies du plan complexe
Notations
– On note bC = C ∪ {∞} l’ensemble obtenu en ajoutant a C un point a l’infini.
Pour tout z de C∗, on pose par convention z/0 = ∞.
– Pour tout quadruplet v = (a, b, c, d) de C4, on note δ(v) = ad − bc.
On note E = {v = (a, b, c, d) ∈ C4, δ(v) 6= 0}.
A tout ´el´ement v de E on associe l’application hv de bC dans lui-mˆeme d´efinie par :
∀z ∈ C \ {−d/c}, hv(z) =
az + b
cz + d
,
hv(−d/c) = ∞, hv(∞) = a/c.
Remarque : la convention z/0 = ∞ permet d’inclure le cas c = 0 dans la d´efinition de hv.
Plus pr´ecis´ement, si c = 0 (donc a 6= 0 et d 6= 0) : ∀z ∈ C, hv(z) =
, et hv(∞) = ∞.
az + b
d
– On note H = {hv, v ∈ E}. Les ´el´ements de H sont appel´ees homographies de bC.
– Pour tout (a, b) de C∗ × C, on note sa,b = ha,b,0,1. On note S = {sa,b, a ∈ C∗, b ∈ C}.
L’application sa,b est donc d´efinie par sa,b(z) = az + b si z ∈ C et sa,b(∞) = ∞.
Les ´el´ements de S sont appel´es similitudes directes de bC.
– On considere le plan euclidien orient´e, muni d’un repere orthonorm´e direct.
On identifie tout point M de ce plan avec son affixe z de C.
Cette identification permet de parler des cercles et des droites de C.
– Une droite de bC est la r´eunion b∆ = ∆ ∪ {∞}, o`u ∆ est une droite de C.
On dit qu’une partie de bC est un cercle de bC si c’est un cercle de C ou une droite de bC.
Les droites de bC sont donc les cercles de bC qui contiennent le point `a l’infini.
Remarque : on considere dans ce probleme que les cercles ont un rayon strictement positif.
– On note bC l’ensemble dont les ´el´ements sont les cercles de bC.
I. Le groupe des homographies
1. Soient u un ´el´ement de E. V´erifier que hλu = hu pour tout λ de C∗.
On admettra que la r´eciproque est vraie. Ainsi hu = hv ⇔ ∃ λ ∈ C∗, v = λu.
Identifier l’application hu quand u = (1, 0, 0, 1). [ S ]
2. Soient u = (a, b, c, d) et v = (a0, b0, c0, d0) deux ´el´ements de E.
V´erifier que u ⊗ v = (aa0 + bc0, ab0 + bd0, ca0 + dc0, cb0 + dd0) est un ´el´ement de E.
Montrer que hu ◦ hv = hu⊗v (on pourra se limiter au cas g´en´eral). [ S ]
3. Montrer que toute homographie hv est une bijection de bC sur lui-mˆeme.
v = hv0 avec v0 = (d, −b, −c, a). [ S ]
On v´erifiera plus pr´ecis´ement que h−1
4. Montrer que H est un groupe (non commutatif) pour la loi de composition. [ S ]
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II. L’homographie z 7→ 1/z et les cercles de bC
On va montrer que l’homographie z 7→ 1/z est une involution de l’ensemble des cercles de bC.
1.
(a) Soit ∆ une droite de C ne passant pas par 0.
Soit ω la projection orthogonale de 0 sur ∆.
Soit z dans C. Montrer que z est sur ∆ si et seulement si Re ((z − ω) ω) = 0. [ S ]
(b) Soit C un cercle de C, et soient u, v deux points diam´etralement oppos´es de C.
Soit z dans C. Montrer que : z ∈ C ⇔ Re ((z − u) (z − v)) = 0. [ S ]
2. On note ϕ = h(0,1,1,0). V´erifier que l’application ϕ est une involution de bC.
En utilisant les r´esultats de la question II.1, montrer successivement que l’image par ϕ :
(a) D’une droite ∆ de bC passant par 0 est une droite de bC passant par 0.
Comment ces deux droites se d´eduisent-elles l’une de l’autre ? [ S ]
(b) D’un cercle C de C passant par 0 est une droite de bC ne passant pas par 0.
Indication : si ω est le point de C diam´etralement oppos´e de 0, et si on pose ω0 = ϕ(ω), on
montrera que ϕ(C) est la droite orthogonale en ω0 au segment [ 0, ω0 ]. [ S ]
(c) D’une droite de bC ne passant pas par 0 est un cercle de C passant par 0. [ S ]
(d) D’un cercle de C ne passant par par 0 est un cercle de C ne passant pas par 0.
Indication : soit u, v deux points diam´etralement oppos´es de C et align´es avec 0. Montrer
que ϕ(C) est le cercle de diam`etre [ ϕ(u), ϕ(v) ] [ S ]
3. On note envore ϕ l’application d´efinie sur P(bC) par X 7→ ϕ(X) = {ϕ(z), z ∈ X}.
D´eduire de ce qui pr´ec`ede que ϕ r´ealise une involution de l’ensemble bC. [ S ]
III. Homographies et cercles de bC
On va g´en´eraliser le r´esultat de la partie pr´ec´edente, et montrer que toute homographie de bC r´ealise
une bijection de l’ensemble des cercles de bC sur lui-mˆeme.
1. Montrer que S est un sous-groupe de H. [ S ]
2. Soit s un ´el´ement de S, consid´er´e aussi comme application de P(bC) dans lui-mˆeme.
Montrer que s r´ealise une bijection de l’ensemble bC. [ S ]
3. Montrer que tout ´el´ement h = hu (avec u = (a, b, c, d)) de H est :
– Ou bien une similitude directe (si c = 0),
– Ou bien (si c 6= 0) la compos´ee de ϕ et de deux similitudes directes.
Indication : montrer que h = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d, avec a0 = −δ(u)/c et b0 = a/c. [ S ]
4. En d´eduire que toute homographie h r´ealise une bijection de bC sur lui-mˆeme.
Si h = h(a,b,c,d) est une homographie qui n’est pas une similitude (donc si c 6= 0), d´ecrire
rapidement l’image d’une droite de bC ou d’un cercle de C selon que cette droite ou ce cercle
passe ou ne passe pas par le point ω = −d/c. [ S ]
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IV. Homographies et conservation des angles
NB : `a ce stade de l’ann´ee en MPSI, cette partie est hors-barˆeme.
Dans cette partie, on se donne une homographie h = h(a,b,c,d).
Soit
(cid:26) γ1 : t ∈ I1 7→ z1(t)
γ2 : t ∈ I2 7→ z2(t)
deux arcs param´etr´es de C de classe C1, sans points stationnaires.
On suppose que leurs supports ne contiennent pas −d/c.
On peut donc en composant par h d´efinir les arcs param´etr´es
(cid:26) t 7→ Γ1(t) = h(z1(t))
t 7→ Γ2(t) = h(z2(t))
1. Montrer que les arcs Γ1 et Γ2 sont de classe C1 et sans points stationnaires. [ S ]
2. Soit A = z1(t1) = z2(t2) un point commun aux deux arcs param´etr´es γ1 et γ2.
Soit B = Z1(t1) = Z2(t2) le point commun correspondant sur les arcs Γ1 et Γ2.
Soit T1 et T2 les droites tangentes en A aux arcs γ1 et γ2.
Soit T1 et T2 les droites tangentes en B aux arcs Γ1 et Γ2.
Montrer que l’angle de droites \(T1, T2) est ´egal `a l’angle de droites \(T1, T2).
On exprimera cette propri´et´e en ´ecrivant qu’une homographie conserve les angles. [ S ]
3. On rappelle que deux cercles de C sont dits orthogonaux s’ils sont s´ecants et si les deux tangentes
en l’un des points d’intersection sont orthogonales. On dira qu’une droite de bC est orthogonale
a un cercle de C si elle contient un diametre de ce cercle.
On peut donc parler de l’orthogonalit´e ´eventuelle de deux cercles de bC.
Avec ces d´efinitions, d´eduire de ce qui pr´ec`ede que toute homographie transforme deux cercles
orthogonaux de bC en deux cercles orthogonaux de bC. [ S ]
V. Homographies et conservation de l’orthogonalit´e
On va montrer `a nouveau que les homographies transforment les cercles de bC en des cercles de bC, et
qu’elles conservent leur orthogonalit´e.
Contrairement `a la m´ethode utilis´ee dans la partie IV, et qui utilisait des techniques de g´eom´etrie
diff´erentielle, on utilise ici une m´ethode purement alg´ebrique.
On commence par le cas particulier de l’homographie z 7→ 1/z, avant de g´en´eraliser.
1. Montrer qu’une partie Γ de C est un cercle ou une droite si et seulement si :
∃ (α, β, γ) ∈ R × C × R, avec αγ < |β|2 tels que : z ∈ Γ ⇔ α |z|2 + βz + βz + γ = 0.
On montrera qu’on obtient un cercle si α 6= 0 et une droite si α = 0. [ S ]
2. Retrouver le r´esultat II.2 disant que ϕ tranforme les cercles de bC en des cercles de bC. [ S ]
3. On se donne le cercle C1 de centre ω1 de rayon r1, et le cercle C2 de centre ω2 de rayon r2.
Montrer que C1 et C2 sont orthogonaux si et seulement si |ω2 − ω1|2 = r2
1 + r2
2. [ S ]
4. On se donne deux droites ou cercles Γ et Γ0 de C d´efinis par les ´equations respectives :
(
(E) : α |z|2 + βz + βz + γ = 0
(E0) : α0 |z|2 + β0z + β0z + γ0 = 0
, avec
(cid:26) (α, β, γ) ∈ R × C × R
(α0, β0, γ0) ∈ R × C × R
(
et
αγ < |β|2
α0γ0 < |β0|2
Montrer que Γ et Γ0 sont orthogonaux si et seulement si αγ0 + α0γ = ββ0 + ββ0.
(traiter le cas de deux cercles, puis de deux droites, puis d’une droite et d’un cercle.) [ S ]
5. En d´eduire que l’homographie z 7→ 1/z conserve l’orthogonalit´e des cercles de bC.
G´en´eraliser ensuite `a une homographie quelconque (utiliser III.3) [ S ]
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VI. Homographies, disques et demi-plans
On reprend ici les notations et les r´esultats de la cinqui`eme partie.
On sait donc qu’une homographie conserve l’ensemble des cercles de bC. On va voir ici comment les
homographies tranforment l’int´erieur ou l’ext´erieur d’un cercle de C, ou les deux demi-plans d´elimit´es
par une droite de C.
Comme dans la partie V, on commence par examiner le cas de l’homographie z 7→ 1/z, avant de
g´en´eraliser `a une homographie quelconque.
Soit Γ une droite ou une cercle de C.
On note Q(z) = 0 une ´equation de Γ, avec Q(z) = α |z|2 + βz + βz + γ et
Rappel : Γ est un cercle si α 6= 0 et une droite sinon.
(cid:26) (α, β, γ) ∈ R×C×R
αγ < |β|2
Quitte `a consid´erer −Q plutˆot que Q, on suppose α ≥ 0.
1. Avec les notations pr´ec´edentes, on d´efinit les ensembles
(cid:26) Γ+ = {z ∈ C, Q(z) > 0}
Γ− = {z ∈ C, Q(z) < 0}
Montrer que chacun de ces deux ensembles d´esigne :
– Ou bien l’int´erieur ou bien l’ext´erieur de Γ, si Γ est un cercle de C.
– Chacun des deux demi-plans de C d´efinis par Γ, si Γ est une droite de C. [ S ]
2. On pose ϕ : z 7→ 1/z. On sait que eΓ = ϕ(Γ) est un cercle ou une droite.
Ecrire une ´equation eQ(z) = 0 de eΓ, facilement d´eduite de l’´equation Q(z) = 0.
En d´eduire que ϕ envoie respectivement les deux parties du plan s´epar´ees par Γ sur celles qui
sont s´epar´ees par eΓ. [ S ]
3. G´en´eraliser le r´esultat de la question pr´ec´edente `a une homographie quelconque.
On pourra, si le temps le permet, donner quelques pr´ecisions suppl´ementaires. [ S ]
VII. Points fixes d’une homographie, birapport
– Soit f une application quelconque de bC dans lui-mˆeme.
On dit qu’un ´el´ement z de bC (´eventuellement z = ∞) est un point fixe de f si f (z) = z.
– Soient z1, z2, z3 trois ´el´ements distincts de C. Soit z un ´el´ement de bC.
(z3 − z1)(z − z2)
(z3 − z2)(z − z1)
On pose [ z1, z2, z3, z ] =
si z ∈ C \ {z1}, et
( [ z1, z2, z3, z1 ] = ∞
[ z1, z2, z3, ∞ ] =
z3 − z1
z3 − z2
Il est clair que l’application z 7→ [z1, z2, z3, z] est une homographie de bC.
1.
(a) En revenant aux d´efinitions donn´ee en d´ebut d’´enonc´e, v´erifier que les homographies qui
ne poss`edent que ∞ comme point fixe sont les similitudes. [ S ]
(b) Montrer que toute homographie distincte de l’identit´e poss`ede un ou deux points fixes
(´eventuellement confondus). [ S ]
2. Soit f une homographie distincte de l’identit´e. Montrer l’´equivalence suivante :
f est involutive ⇔ ∃ (u, v) ∈ bC2 (avec u 6= v) tels que f (u) = v et f (v) = u. [ S ]
3. Dans C, soient z1, z2, z3 (distincts deux a deux) et ω1, ω2, ω3 (distincts deux a deux.)
Montrer qu’il existe une homographie h unique telle que h(zk) = ωk pour 1 ≤ k ≤ 3.
Indication : consid´erer les homographies h : z 7→ [z1, z2, z3, z] et k : z 7→ [ω1, ω2, ω3, z].
On s’int´eressera aux images de z1, z2, z3 (resp. ω1, ω2, ω3) par h (resp. k.) [ S ]
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4. Soient z1, z2, z3, z4 quatre ´el´ements distincts de C (avec ´eventuellement z4 = ∞.)
La quantit´e [z1, z2, z3, z4] est appel´ee birapport de z1, z2, z3, z4 (dans cet ordre.)
Montrer que z1, z2, z3, z4 sont sur un mˆeme cercle de bC ⇔ [z1, z2, z3, z4] est un r´eel.
Indication : consid´erer l’homographie h : z 7→ [z1, z2, z3, z]. [ S ]
5. Soient z1, z2, z3, z4 quatre ´el´ements distincts de C (avec ´eventuellement z4 = ∞.)
Soit f une homographie de bC. On suppose que f (z1), f (z2), f (z3) sont distincts de ∞.
Montrer que [f (z1), f (z2), f (z3), f (z4)] = [z1, z2, z3, z4].
On exprime cette propri´et´e en disant qu’une homographie conserve le birapport.
Indication : Montrer que f = h−1 ◦ g, avec
(cid:26) g : z 7→ [z1, z2, z3, z]
h : z 7→ [f (z1), f (z2), f (z3), z]
[ S ]
6. R´eciproquement, on se donne une application f injective de bC dans lui-mˆeme.
On suppose que f conserve le birapport. Montrer que f est une homographie.
Indication :
– Se donner z1, z2, z3 distincts dans C, avec f (z1), f (z2), f (z3) distincts de ∞.
– Montrer que f = h−1 ◦ g, avec g : z 7→ [z1, z2, z3, z] et h : z 7→ [f (z1), f (z2), f (z3), z]. [ S ]
VIII. Conjugaison des homographies
On note Aut(H) le groupe des automorphismes de H pour la loi de composition.
Pour tout homographie h, on note Φh l’application de H dans H d´efinie par Φh(f ) = h ◦ f ◦ h−1.
On dit que deux homographies f et g sont conjugu´ees s’il existe h dans H telle que g = Φh(f ).
On exprimera cette notation en ´ecrivant f ∼ g.
1. Dans cette question, on ´etudie l’application Φ d´efinie sur H par Φ(h) = Φh.
(a) Montrer que Φ est un morphisme de H dans le groupe Aut(H). [ S ]
(b) On consid`ere les ´el´ements t : z 7→ z + 1 et sa : z 7→ 2a − z de H (avec a ∈ C).
Montrer que la seule homographie qui commute avec t et les sa est l’identit´e. [ S ]
(c) En d´eduire que le morphisme Φ est injectif. [ S ]
2. Dans cette question, on aborde l’´etude de la relation conjugaison d´efinie sur H par f ∼ g.
(a) Montrer que la conjugaison est une relation d’´equivalence sur H.
Quelle est la classe d’´equivalence de l’application identit´e ?
V´erifier que si f ∼ g alors f n ∼ gn pour tout n de N. [ S ]
(b) Montrer que deux homographies conjugu´ees ont exactement le mˆeme nombre de points fixes
dans bC (un point fixe double n’´etant compt´e qu’une fois.) [ S ]
(c) Montrer que les translations distinctes de Id sont conjugu´ees deux `a deux. [ S ]
(d) Pour tout λ de C \ {0, 1}, on note σλ la similitude z 7→ λz.
Montrer que σλ et σµ sont conjugu´ees si et seulement si µ = λ ou µ = 1
λ . [ S ]
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3. Dans cette question, on va d´eterminer les diff´erentes classes d’´equivalence de H pour la relation
de conjugaison, ainsi qu’un repr´esentant simple de chaque classe.
(a) Soit f une homographie ayant deux points fixes distincts α, β dans C.
On note h l’homographie d´efinie par z 7→ z−α
ne calculera pas) tel que f = h−1 ◦ σλ ◦ h. [ S ]
z−β . Montrer qu’il existe λ dans C \ {0, 1} (qu’on
(b) Soit f une similitude directe. On suppose que f n’est pas une translation.
Soit α l’unique point fixe de f dans C, et soit h l’application z 7→ z − α.
Montrer qu’il existe λ dans C \ {0, 1} tel que f = h−1 ◦ σλ ◦ h. [ S ]
(c) Soit f une homographie ayant deux points fixes confondus en α ∈ C.
On note h l’homographie d´efinie par h(z) = 1
Montrer qu’il existe une translation t (distincte de Id) telle que f = h−1 ◦ t ◦ h. [ S ]
z−α .
(d) D´eduire de ce qui pr´ec`ede le r´esultat suivant :
– Si f n’a qu’un point double dans bC, elle est conjugu´ee `a la translation z 7→ z + 1.
– Sinon il existe λ avec 0 < |λ| ≤ 1 tel que f soit conjugu´ee `a σλ : z 7→ λz.
On v´erifiera que si 0 < |λ| < 1, le coefficient λ est unique, alors que si |λ| = 1, il est unique
`a condition de supposer Re (λ) ≥ 0. [ S ]
IX. Puissances d’homographies
On va utiliser les r´esultats de la partie VIII (entre autres) pour ´etudier les puissances d’une homo-
graphie. Dans un premier temps, on va v´erifier que les homographies dont une puissance est Id sont
conjugu´ees a des rotations particulieres. On ´etudie ensuite la suite d´efinie par les images it´er´ees d’un
point de bC par une homographie donn´ee. On terminera cette partie en se demandant s’il existe une
homographie permutant circulairement n points donn´es de bC.
1. Dans cette question, on va obtenir des r´esultats sur les homographies dont une certaine puissance
est l’application identit´e.
(a) Soit f une homographie de bC et n un entier naturel non nul.
Montrer que f n = Id si et seulement si f est conjugu´ee `a σλ, avec λn = 1. [ S ]
(b) Soit f : z 7→ az+b
cz+d une homographie (f 6= Id).
On note f = hu, avec u = (a, b, c, d).
En utilisant uniquement la partie I, montrer que : f 2 = Id ⇔ d = −a. [ S ]
(c) Soient α, β deux ´el´ements distincts de bC. En utilisant (3a), (3b) et (4) indiquer l’unique
homographie involutive de bC ayant pour points fixes α et β (on traitera d’abord le cas o`u
α, β sont dans C, puis on supposera β = ∞.) [ S ]
(d) Comme pr´ec´edemment, soient α, β deux ´el´ements distincts de bC.
Trouver les deux seules homographies f qui sont distinctes de Id, qui v´erifient f 3 = 1 et
qui admettent α, β comme points fixes. [ S ]
(e) Donner les trois homographies f 6= Id telles que f 4 = Id, f (1) = 1, f (−1) = −1.
Si f1, f2, f3 sont les solutions, v´erifier que {Id, f1, f2, f3} est un groupe cyclique. [ S ]
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2. On va ´etudier s’il existe des homographies permutant circulairement 2, 3 ou 4 points.
(a) Soient u, v deux points distincts de bC.
D´eterminer la forme g´en´erale des homographies f telles que f (u) = v et f (v) = u.
Indication : utiliser les r´esultats questions VII.2 et IX.1.b.
On pourra supposer d’abord que u, v sont dans C, puis que v = ∞. [ S ]
(b) Soient u, v, w trois points distincts de bC. Montrer qu’il existe une unique homographie f
telle que f (u) = v, f (v) = w, f (w) = u et que cette application v´erifie f 3 = Id.
Montrer que f laisse globalement invariant le cercle de bC passant par u, v, v.
D´eterminer l’unique homographie f telle que f (0) = 1, f (1) = i, f (i) = 0. [ S ]
(c) On se donne quatre points distincts t, u, v, w dans bC.
On cherche s’il existe f dans H telle que f (t) = u, f (u) = v, f (v) = w, f (w) = t.
Montrer que si f existe, alors elle est unique et elle v´erifie f 4 = Id.
Montrer que f existe si seulement si [t, v, u, w] = −1 (utiliser VII.6) [ S ]
3. Dans cette question on se donne une homographie f 6= Id et un ´el´ement z0 de bC.
On d´efinit une suite de bC en posant zn+1 = f (zn) pour tout n de N.
(a) On suppose que f ne poss`ede qu’un seul point fixe α. Montrer que lim
n→∞
zn = α. [ S ]
(b) On suppose que f a deux points fixes distincts α et β, et que z0 /∈ {α, β}.
Montrer qu’on est dans l’une des trois situations suivantes :
– Pour tout choix de z0, la suite (zn) converge vers α.
– Pour tout choix de z0, la suite (zn) converge vers β.
– Pour tout choix de z0, la suite (zn) diverge.
Remarque : dans bC, on dit que la suite (zn) converge vers ∞ si
lim
n→∞
|zn| = +∞. [ S ]
X. Homographies envoyant un disque donn´e sur un disque donn´e
– On note P = {z ∈ C, Im (z) > 0}, bR = R ∪ {∞},
et D = {z ∈ C, |z| < 1}.
– On note R l’ensemble des homographies h : z 7→
az + b
cz + d
, avec (a, b, c, d) ∈ R4 (et ad − bc 6= 0.)
On d´esigne par R+ celles de ces homographies qui v´erifient ad − bc > 0.
1.
2.
(a) Montrer que R+ est un sous-groupe de R, lui-mˆeme un sous-groupe de H. [ S ]
(b) Montrer R est l’ensemble des homographies laissant bR globalement invariant. [ S ]
(c) Montrer R+ est l’ensemble des homographies laissant P globalement invariant. [ S ]
z − i
z + i
(a) Montrer que l’homographie H : z 7→
v´erifie H(P) = D. [ S ]
(b) En d´eduire que les homographies f telles que f (D) = D sont les homographies qui sont
donn´ees par f : z 7→ u
avec |u| = 1 et |γ| < 1. [ S ]
z − γ
1 − γz
(c) Notons Dω,r le disque ouvert de centre ω ∈ C et de rayon r > 0.
D´eterminer les homographies h qui envoient Dω,r sur Dω0,r0. [ S ]
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Probl`emes de Math´ematiques
Homographies du plan complexe
Corrig´e
Corrig´e du probl`eme
I. Le groupe des homographies.
1. On se donne u = (a, b, c, d) dans E et v = (a0, b0, c0, d0) = λu, avec λ dans C∗.
Ainsi a0 = λa, b0 = λb, c0 = λc, d0 = λd, et δ(v) = λ2δ(u) 6= 0 donc v ∈ E.
Tout d’abord hv(∞) = a0/c0 = a/c = hu(∞).
Ensuite −d0/c0 = −d/c donc hv(−d/c) = ∞ = hu(−d/c).
Enfin, pour tout z de C \ {−d/c} : hv(z) =
a0z + b0
c0z + d0 =
Les deux applications hu et hv sont donc identiques.
λaz + λb
λcz + λd
=
az + b
cz + d
= hu(z).
Si u = (1, 0, 0, 1) alors hu(z) =
1z + 0
0z + 1
L’application hu = h(1,0,0,1) est donc l’application identit´e de bC. [ Q ]
= z pour tout z de C, et hu(∞) = ∞.
2. On pose w = u ⊗ v = (a00, b00, c00, d00) = (aa0 + bc0, ab0 + bd0, ca0 + dc0, cb0 + dd0).
On constate que :
δ(w) = a00d00 − b00c00 = (aa0 + bc0)(cb0 + dd0) − (ab0 + bd0)(ca0 + dc0)
= aa0dd0 + bc0cb0 − ab0dc0 − bd0ca0 = (ad − bc)(a0d0 − b0c0) = δ(u)δ(v) 6= 0
Autrement dit, w = u ⊗ v est encore un ´el´ement de E.
On va maintenant montrer que hu ◦ hv = hw.
Cas g´en´eral : hu ◦ hv(z) =
a
c
a0z + b0
c0z + d0 + b
a0z + b0
c0z + d0 + d
=
(aa0 + bc0)z + (ab0 + bd0)
(ca0 + dc0)z + (cb0 + dd0)
=
a00z + b00
c00z + d00 = hw(z).
On admet que ¸ca reste vrai dans les cas o`u intervient ∞ (ni difficile ni passionnant.) [ Q ]
3. Soit v = (a, b, c, d) dans E, et v0 = (a0, b0, c0, d0) = (d, −b, −c, a).
On voit que v0 est dans E car δ(v0) = a0d0 − b0c0 = δ(v) 6= 0.
D’apres ce qui pr´ecede, on a hv ◦ hv0 = hw, avec w = v ⊗ v0.
Or v ⊗ v0 = (aa0 + bc0, ab0 + bd0, ca0 + dc0, cb0 + dd0) = (ad − bc, 0, 0, −cb + da) = (δ(v), 0, 0, δ(v)).
On en d´eduit que hv ◦ hv0 = h(δ(v),0,0,δ(v)) = h(1,0,0,1) = Id.
L’application ψ : (x, y, z, t) 7→ (t, −y, −z, x) est une involution de C4 et
En inversant les rˆoles de v et v0 on a donc hv ◦ hv0 = Id.
Il en d´ecoule que hv est une bijection de bC, et que h−1
v = hv0. [ Q ]
(cid:26) v0 = ψ(v)
v = ψ(v0)
4. En fait H est un sous-groupe du groupe (B(bC), ◦) des bijections de bC.
D’apres ce qui pr´ecede H est en effet une partie (non vide) de B(bC), stable pour la loi de
composition et pour le passage `a l’inverse. On remarque d’ailleurs que h(1,0,0,1) = Id.
Pour montrer que le groupe H n’est pas commutatif, il suffit d’exhiber un exemple.
Si u = (1, 1, 1, 0), alors hu(z) = z + 1 pour tout z de C.
Si v = (2, 0, 1, 0), alors hv(z) = 2z pour tout z de C.
Pour tout z de C :
(cid:26) hv ◦ hu(z) = 2(z + 1)
hu ◦ hv(z) = 2z + 1
donc hu ◦ hv 6= hv ◦ hu. [ Q ]
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II. L’homographie z 7→ 1/z et les cercles de bC.
1.
(a) L’´el´ement z = ω est sur ∆ et il v´erifie bien Re ((z − ω) ω) = 0.
Consid´erons donc un ´el´ement z quelconque de C, mais distinct de ω.
On a Re ((z − ω) ω) = 0 ⇔ arg((z − ω) ω) = π
Cela signifie que l’angle d0ωz est droit, c’est-`a-dire que z est sur ∆. [ Q ]
2 (π) ⇔ arg(z − ω) = arg ω + π
2 (π).
(b) Les ´el´ements z = u et z = v sont sur C et ils v´erifient bien Re ((z − u) (z − v)) = 0.
Consid´erons donc un ´el´ement z quelconque de C, mais distinct de u et v.
On a Re ((z − u) (z − v)) = 0 ⇔ arg(z − u) = arg(z − v) + π
2 (π).
Cela signifie que l’angle duzv est droit, c’est-`a-dire que z est sur C.
Si on souhaite ne pas utiliser cette caract´erisation pourtant classique des cercles, voici
Publicité
comment on peut s’y prendre, avec z quelconque dans C :
Re ((z − u) (z − v)) = 0 ⇔ (z − u) (z − v) + (z − u) (z − v) = 0
⇔ |z|2 − Re ((u + v)z) + Re (uv) = 0
− Re (uv) = (cid:12)
⇔ (cid:12)
(cid:12)
u+v
2
On obtient bien le cercle C, qui a pour centre u+v
2
(cid:12)z − u+v
2
v−u
2
= (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
2
2
2
⇔ (cid:12)
(cid:12) = (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)z − u+v
(cid:12)
2
et pour rayon (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
v−u
(cid:12)
2
v−u
2
(cid:12)
(cid:12). [ Q ]
2. On a ϕ(z) = 1/z pour tout z de C∗, puis ϕ(0) = ∞ et ϕ(∞) = 0.
On remarque que ϕ ◦ ϕ = Id. L’application ϕ est donc une involution de bC.
Pour toute partie X de bC, on a donc z ∈ ϕ(X) ⇔ z ∈ ϕ−1(X) ⇔ ϕ(z) ∈ X.
(a) Soit bD une droite de bC passant par l’origine.
Il existe ω dans C∗ tel que bD = {∞} ∪ D, avec D = {λω, λ ∈ R}.
On a ϕ(∞) = 0 et ϕ(0) = ∞, donc ϕ( bD) = {0, ∞} ∪ {ϕ(λ ω), λ ∈ R∗}.
Mais quand λ parcourt R∗, ϕ(λ w) =
1
λ ω
=
ω
λ |ω|2 parcourt {µ ω, µ ∈ R∗}.
On en d´eduit ϕ( bD) = ∆ = {∞} ∪ ∆, avec ∆ = {µ ω, µ ∈ R}.
ϕ( bD) est donc la droite de bC passant par 0 sym´etrique de bD par rapport `a Ox. [ Q ]
(b) Soit ω (´el´ement de C∗) le point diam´etralement oppos´e `a 0 sur le cercle C.
Soit C0 le cercle C priv´e de l’origine. On a ϕ(C) = {∞} ∪ ϕ(C0), et ϕ(C0) ⊂ C∗.
Pour tout z de C∗ :
z ∈ ϕ(C0) ⇔ ϕ(z) ∈ C0 ⇔ Re
(cid:16)(cid:16) 1
z
− ω
(cid:17)
= 0 ⇔ Re
(cid:17)
(cid:16) 1 − zω
|z|2
= 0
(cid:17) 1
z
(cid:16)(cid:16)
⇔ Re
(cid:17)
(cid:16) 1 − zω
|ω|2
= 0 ⇔ Re
z −
(cid:17)
1
ω
(cid:17) 1
ω
= 0 ⇔ Re ((z − ω0) ω0) = 0
D’apr`es II.1.a, c’est la droite ∆ de C, orthogonale en ω0 = ϕ(ω) au segment [ 0, ω0 ].
Ainsi ϕ(C) = b∆ = {∞} ∪ ∆ est une droite de bC ne passant pas par 0. [ Q ]
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(c) Soit ∆ une droite de C ne passant par par 0, et soit b∆ = {∞} ∪ ∆.
Soit ω0 la projection de l’origine sur ∆. Soit ω = ϕ(ω0), donc ω0 = ϕ(ω).
Soit C le cercle passant par 0 et de diam`etre [ 0, ω ].
On sait depuis la question pr´ec´edente que ϕ(C) = b∆ = {∞} ∪ ∆.
Mais puisque ϕ est involutive, on a ϕ( b∆) = ϕ−1( b∆) = C.
Ainsi l’image de b∆ est le cercle C, qui passe par l’origine. [ Q ]
(d) Soit C un cercle ne passant pas par O. On a bien sˆur ϕ(C) ⊂ C∗.
Soient u et v deux points diam´etralement oppos´es et align´es avec 0.
Si le cercle C n’est pas centr´e en 0, il n’y a qu’un diametre possible, sinon tout diametre
convient. D’autre part, il existe λ dans R∗ tel que v = λu.
On a : z ∈ C ⇔ Re ((z − u)(z − v)) = 0 ⇔ Re ((z − u)(z − λu)) = 0.
On trouve donc successivement :
z ∈ ϕ(C) ⇔ ϕ(z) ∈ C ⇔ Re
(cid:17)(cid:17)
− λu)
= 0
− u
(cid:16)(cid:16) 1
z
(cid:17)(cid:16) 1
λu
− z
(cid:17)(cid:16) 1
z
(cid:17)(cid:17)
− z
= 0 ⇔ Re
(cid:16)(cid:16)
z −
(cid:17)(cid:16)
z −
1
u
(cid:17)(cid:17)
1
v
= 0
⇔ Re
(cid:16) λ |u|2
|z|2
(cid:16) 1
u
Ainsi ϕ(C) est le cercle C0 de diam`etre [ u0, v0 ] avec u0 = ϕ(u) et v0 = ϕ(v).
Puisque C ne contient par ∞, le cercle C0 = ϕ(C) ne passe pas par 0. [ Q ]
3. Soit C un cercle quelconque de bC (donc ´eventuellement une droite de bC).
On sait que ϕ(C) est un cercle C0 de bC (par exemple une droite...)
Ainsi ϕ est une application de bC dans lui-mˆeme.
Cette application est involutive car pour toute partie X de bC, on a ϕ(ϕ(X)) = X.
Ainsi ϕ r´ealise une bijection (involutive) de bC sur lui-mˆeme. [ Q ]
III. Homographies et cercles de bC.
1. Tout d’abord S est une partie (non vide) de H.
Cela r´esulte de la d´efinition sa,b = h(a,b,0,1) et du fait que δ(a, b, 0, 1) = a 6= 0.
On se donne (a, b) et (c, d) dans C∗ × C. Posons u = (a, b, 0, 1) et v = (c, d, 0, 1).
On sait depuis I.2 que sa,b ◦ sc,d = sw avec w = u ⊗ v = (ac, ad + b, 0, 1).
On en d´eduit que sa,b ◦ sc,d = se,f avec e = ac 6= 0 et f = ad + b.
Il en d´ecoule que S est une partie stable du groupe H.
On sait depuis que I.3 que s−1
a,b = hu0, avec u0 = (1, −b, 0, a).
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Mais u0 = au00 avec u00 = (1/a, −b/a, 0, 1), et s−1
a,b = hu0 = hu00 (cf I.1)
Ainsi s−1
a,b est encore un ´el´ement de S, qui est donc stable par passage `a l’inverse.
L’ensemble S est donc un sous-groupe de H (caract´erisation des sous-groupes.)
Remarque : l’application sa,b est d´efinie par sa,b(z) = az + b sur C et par sa,b(∞) = ∞. On aurait
pu utiliser ces expressions pour montrer que S est un sous-groupe de H. [ Q ]
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2. Soit s = sa,b un ´el´ement de S, avec (a, b) dans C∗ × C.
Comme s(∞) = ∞, il suffit de consid´erer la restriction de s : z 7→ az + b de s `a C.
– Si a = 1, l’application s est la translation z 7→ z + b. Il est alors ´evident que tout cercle (resp.
toute droite) de C est d’une mani`ere l’unique l’image par s d’un cercle (resp. d’une droite) de
C.
– Si a 6= 1, alors s poss`ede un unique point fixe ω donn´e par ω =
L’application s est alors la compos´ee :
(cid:5) De l’homoth´etie h de centre ω et de rapport |a|.
b
1 − a
.
(cid:5) De la rotation r de centre ω et d’angle arg(a) (2π).
Il est non moins ´evident que chaque cercle (resp. droite) de C est d’une fa¸con unique l’image
d’un cercle (resp. d’une droite) aussi bien par h que par r.
Par composition, il en est donc de mˆeme pour l’application s.
Ainsi, dans tous les cas, la similitude directe s r´ealise une bijection de l’ensemble bC sur lui-mˆeme.
Plus pr´ecis´ement, et contrairement `a ce qui se passe pour l’application ϕ, l’application s r´ealise
s´epar´ement une bijection de l’ensemble des droites de bC et une bijection de l’ensemble des cercles
de C. [ Q ]
3. Soit h = hu un ´el´ement de H, avec u = (a, b, c, d).
– Si c = 0, alors d 6= 0 (car δ(u) = ad − bc 6= 0) et u = dv avec v = (a/d, b/d, 0, 1).
Dans ce cas h est la similitude directe sa0,b0 avec a0 = a/d 6= 0 et b0 = b/d.
– Si c 6= 0, alors pour tout z de C \ {−d/c} :
a
c
az + b
cz + d
h(z) =
=
=
1
c
ad − bc
c
a(cz + d) + bc − ad
cz + d
δ(u)
c
= −
Posons a0 = −
6= 0 et b0 =
ad − bc
c
1
cz + d
−
a
c
.
On voit que : ∀ z ∈ C \ {−d/c}, h(z) = a0ϕ(cz + d) + b0 = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(z).
On a bien sˆur sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(−d/c) = sa0,b0 ◦ ϕ(0) = sa0,b0(∞) = ∞ = h(−d/c).
Enfin sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(∞) = sa0,b0 ◦ ϕ(∞) = sa0,b0(0) = b0 = a/c = h(∞).
Il en d´ecoule l’´egalit´e h = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d (entre applications de bC dans bC.)
Tout h de H est donc dans S ou est la compos´ee de ϕ et de deux similitudes. [ Q ]
4. On sait depuis la question pr´ec´edente que toute homographie est une similitude ou se d´ecompose
en le produit de ϕ et de deux similitudes.
On sait aussi que ϕ et les ´el´ements de S r´ealisent des bijections de bC.
Il en d´ecoule par composition que toute homographie h r´ealise une bijection de bC.
Soit h = h(a,b,c,d) dans H \ S. Avec les notations pr´ec´edentes, h = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d.
– Soit ∆ une droite de bC passant par ω = −d/c. Alors :
(cid:5) sc,d(∆) est une droite de bC passant par 0 (car sc,d(ω) = 0.)
(cid:5) ϕ ◦ sc,d(∆) est une droite de bC passant par 0.
(cid:5) h(∆) = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(∆) est une droite de bC passant par sa0,b0(0) = b0 = a/c.
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– Soit ∆ une droite de bC ne passant pas par ω = −d/c. Alors :
(cid:5) sc,d(∆) est une droite de bC ne passant pas par 0.
(cid:5) ϕ ◦ sc,d(∆) est un cercle C passant par 0.
(cid:5) h(∆) = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(∆) est un cercle de C passant par b0 = a/c.
– Soit C un cercle de C passant par ω = −d/c. Alors :
(cid:5) sc,d(C) est un cercle de C passant par 0.
(cid:5) ϕ ◦ sc,d(C) est une droite de bC ne passant pas par 0.
(cid:5) h(C) = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(C) est une droite de bC ne passant pas par a/c.
– Soit C un cercle de C ne passant pas par ω = −d/c. Alors :
(cid:5) sc,d(C) est un cercle de C ne passant pas par 0.
(cid:5) ϕ ◦ sc,d(C) est un cercle de C ne passant pas par 0.
(cid:5) h(C) = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(C) est un cercle de C ne passant pas par a/c.
On peut donc conclure de fa¸con plus concise :
Si c 6= 0, l’image par l’homographie h : z 7→
– Des droites de bC passant par − d
– Des droites de bC ne passant pas par − d
– Des cercles de C passant par − d
az + b
cz + d
:
c sont les droites de bC passant par a
c .
c sont les cercles de C passant par a
c .
c sont les droites de bC ne passant pas par a
c .
– Des cercles de C ne passant pas par − d
c sont les cercles de C ne passant pas par a
c .
On peut mˆeme ˆetre un tout petit plus concis :
– Les images des cercles de bC passant par − d
– Les images des cercles de bC ne passant pas par − d
c sont les droites de bC.
c sont les cercles de C. [ Q ]
IV. Homographies et conservation des angles.
1. L’arc Γ1 est d´efini par Z1(t) =
az1(t) + b
cz1(t) + d
, pour tout t de l’intervalle I1.
Par hypoth`ese, l’application t 7→ z1(t) est de classe C1 sur I1.
On en d´eduit (par composition d’op´erations ´el´ementaires sur des fonctions d’une variable r´eelle
et `a valeurs complexes) que t 7→ Z1(t) est de classe C1 sur I1.
Plus pr´ecis´ement :
Pour tout t de I1 : Z0
1(t) =
az0
1(t)(cz1(t) + d) − cz0
1(t)(az1(t) + b)
(cz1(t) + d)2
=
(ad − bc)z0
1(t)
(cz1(t) + d)2 .
On sait que z1(t) ne s’annule pas sur I1 car l’arc γ1 est sans point stationnaire.
Puisque δ(a, b, c, d) = ad − bc 6= 0, l’arc Γ1 est donc ´egalement sans point stationnaire.
Il en est bien sˆur exactement de mˆeme pour l’arc Γ2. [ Q ]
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