Problèmes de Mathématiques

Homographies du plan complexe

Énoncé

Homographies du plan complexe

Notations

– On note bC = C ∪ {∞} l’ensemble obtenu en ajoutant a C un point a l’infini.

Pour tout z de C∗, on pose par convention z/0 = ∞.

– Pour tout quadruplet v = (a, b, c, d) de C4, on note δ(v) = ad − bc.

On note E = {v = (a, b, c, d) ∈ C4, δ(v) 6= 0}.

A tout élément v de E on associe l’application hv de bC dans lui-même définie par :

∀z ∈ C \ {−d/c}, hv(z) =

az + b

cz + d

hv(−d/c) = ∞, hv(∞) = a/c.

Remarque : la convention z/0 = ∞ permet d’inclure le cas c = 0 dans la définition de hv.

Plus précisément, si c = 0 (donc a 6= 0 et d 6= 0) : ∀z ∈ C, hv(z) =

, et hv(∞) = ∞.

az + b

– On note H = {hv, v ∈ E}. Les éléments de H sont appelées homographies de bC.

– Pour tout (a, b) de C∗ × C, on note sa,b = ha,b,0,1. On note S = {sa,b, a ∈ C∗, b ∈ C}.

L’application sa,b est donc définie par sa,b(z) = az + b si z ∈ C et sa,b(∞) = ∞.

Les éléments de S sont appelés similitudes directes de bC.

– On considere le plan euclidien orienté, muni d’un repere orthonormé direct.

On identifie tout point M de ce plan avec son affixe z de C.

Cette identification permet de parler des cercles et des droites de C.

– Une droite de bC est la réunion b∆ = ∆ ∪ {∞}, où ∆ est une droite de C.

On dit qu’une partie de bC est un cercle de bC si c’est un cercle de C ou une droite de bC.

Les droites de bC sont donc les cercles de bC qui contiennent le point à l’infini.

Remarque : on considere dans ce probleme que les cercles ont un rayon strictement positif.

– On note bC l’ensemble dont les éléments sont les cercles de bC.

I. Le groupe des homographies

1. Soient u un élément de E. Vérifier que hλu = hu pour tout λ de C∗.

On admettra que la réciproque est vraie. Ainsi hu = hv ⇔ ∃ λ ∈ C∗, v = λu.

Identifier l’application hu quand u = (1, 0, 0, 1). [ S ]

2. Soient u = (a, b, c, d) et v = (a0, b0, c0, d0) deux éléments de E.

Vérifier que u ⊗ v = (aa0 + bc0, ab0 + bd0, ca0 + dc0, cb0 + dd0) est un élément de E.

Montrer que hu ◦ hv = hu⊗v (on pourra se limiter au cas général). [ S ]

3. Montrer que toute homographie hv est une bijection de bC sur lui-même.

v = hv0 avec v0 = (d, −b, −c, a). [ S ]

On vérifiera plus précisément que h−1

4. Montrer que H est un groupe (non commutatif) pour la loi de composition. [ S ]

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Homographies du plan complexe

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II. L’homographie z 7→ 1/z et les cercles de bC

On va montrer que l’homographie z 7→ 1/z est une involution de l’ensemble des cercles de bC.

(a) Soit ∆ une droite de C ne passant pas par 0.

Soit ω la projection orthogonale de 0 sur ∆.

Soit z dans C. Montrer que z est sur ∆ si et seulement si Re ((z − ω) ω) = 0. [ S ]

(b) Soit C un cercle de C, et soient u, v deux points diamétralement opposés de C.

Soit z dans C. Montrer que : z ∈ C ⇔ Re ((z − u) (z − v)) = 0. [ S ]

2. On note ϕ = h(0,1,1,0). Vérifier que l’application ϕ est une involution de bC.

En utilisant les résultats de la question II.1, montrer successivement que l’image par ϕ :

(a) D’une droite ∆ de bC passant par 0 est une droite de bC passant par 0.

Comment ces deux droites se déduisent-elles l’une de l’autre ? [ S ]

(b) D’un cercle C de C passant par 0 est une droite de bC ne passant pas par 0.

Indication : si ω est le point de C diamétralement opposé de 0, et si on pose ω0 = ϕ(ω), on

montrera que ϕ(C) est la droite orthogonale en ω0 au segment [ 0, ω0 ]. [ S ]

(d) D’un cercle de C ne passant par par 0 est un cercle de C ne passant pas par 0.

Indication : soit u, v deux points diamétralement opposés de C et alignés avec 0. Montrer

que ϕ(C) est le cercle de diamètre [ ϕ(u), ϕ(v) ] [ S ]

3. On note envore ϕ l’application définie sur P(bC) par X 7→ ϕ(X) = {ϕ(z), z ∈ X}.

Déduire de ce qui précède que ϕ réalise une involution de l’ensemble bC. [ S ]

III. Homographies et cercles de bC

On va généraliser le résultat de la partie précédente, et montrer que toute homographie de bC réalise

une bijection de l’ensemble des cercles de bC sur lui-même.

1. Montrer que S est un sous-groupe de H. [ S ]

2. Soit s un élément de S, considéré aussi comme application de P(bC) dans lui-même.

Montrer que s réalise une bijection de l’ensemble bC. [ S ]

3. Montrer que tout élément h = hu (avec u = (a, b, c, d)) de H est :

– Ou bien une similitude directe (si c = 0),

– Ou bien (si c 6= 0) la composée de ϕ et de deux similitudes directes.

Indication : montrer que h = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d, avec a0 = −δ(u)/c et b0 = a/c. [ S ]

4. En déduire que toute homographie h réalise une bijection de bC sur lui-même.

Si h = h(a,b,c,d) est une homographie qui n’est pas une similitude (donc si c 6= 0), décrire

rapidement l’image d’une droite de bC ou d’un cercle de C selon que cette droite ou ce cercle

passe ou ne passe pas par le point ω = −d/c. [ S ]

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Homographies du plan complexe

Énoncé

IV. Homographies et conservation des angles

NB : à ce stade de l’année en MPSI, cette partie est hors-barême.

Dans cette partie, on se donne une homographie h = h(a,b,c,d).

Soit

(cid:26) γ1 : t ∈ I1 7→ z1(t)

γ2 : t ∈ I2 7→ z2(t)

deux arcs paramétrés de C de classe C1, sans points stationnaires.

On suppose que leurs supports ne contiennent pas −d/c.

On peut donc en composant par h définir les arcs paramétrés

(cid:26) t 7→ Γ1(t) = h(z1(t))

t 7→ Γ2(t) = h(z2(t))

1. Montrer que les arcs Γ1 et Γ2 sont de classe C1 et sans points stationnaires. [ S ]

2. Soit A = z1(t1) = z2(t2) un point commun aux deux arcs paramétrés γ1 et γ2.

Soit B = Z1(t1) = Z2(t2) le point commun correspondant sur les arcs Γ1 et Γ2.

Soit T1 et T2 les droites tangentes en A aux arcs γ1 et γ2.

Soit T1 et T2 les droites tangentes en B aux arcs Γ1 et Γ2.

Montrer que l’angle de droites \(T1, T2) est égal à l’angle de droites \(T1, T2).

On exprimera cette propriété en écrivant qu’une homographie conserve les angles. [ S ]

3. On rappelle que deux cercles de C sont dits orthogonaux s’ils sont sécants et si les deux tangentes

en l’un des points d’intersection sont orthogonales. On dira qu’une droite de bC est orthogonale

a un cercle de C si elle contient un diametre de ce cercle.

On peut donc parler de l’orthogonalité éventuelle de deux cercles de bC.

Avec ces définitions, déduire de ce qui précède que toute homographie transforme deux cercles

orthogonaux de bC en deux cercles orthogonaux de bC. [ S ]

V. Homographies et conservation de l’orthogonalité

On va montrer à nouveau que les homographies transforment les cercles de bC en des cercles de bC, et

qu’elles conservent leur orthogonalité.

Contrairement à la méthode utilisée dans la partie IV, et qui utilisait des techniques de géométrie

différentielle, on utilise ici une méthode purement algébrique.

On commence par le cas particulier de l’homographie z 7→ 1/z, avant de généraliser.

1. Montrer qu’une partie Γ de C est un cercle ou une droite si et seulement si :

∃ (α, β, γ) ∈ R × C × R, avec αγ < |β|2 tels que : z ∈ Γ ⇔ α |z|2 + βz + βz + γ = 0.

On montrera qu’on obtient un cercle si α 6= 0 et une droite si α = 0. [ S ]

2. Retrouver le résultat II.2 disant que ϕ tranforme les cercles de bC en des cercles de bC. [ S ]

3. On se donne le cercle C1 de centre ω1 de rayon r1, et le cercle C2 de centre ω2 de rayon r2.

Montrer que C1 et C2 sont orthogonaux si et seulement si |ω2 − ω1|2 = r2

1 + r2

2. [ S ]

4. On se donne deux droites ou cercles Γ et Γ0 de C définis par les équations respectives :

(

(E) : α |z|2 + βz + βz + γ = 0

(E0) : α0 |z|2 + β0z + β0z + γ0 = 0

, avec

(cid:26) (α, β, γ) ∈ R × C × R

(α0, β0, γ0) ∈ R × C × R

(

αγ < |β|2

α0γ0 < |β0|2

Montrer que Γ et Γ0 sont orthogonaux si et seulement si αγ0 + α0γ = ββ0 + ββ0.

(traiter le cas de deux cercles, puis de deux droites, puis d’une droite et d’un cercle.) [ S ]

5. En déduire que l’homographie z 7→ 1/z conserve l’orthogonalité des cercles de bC.

Généraliser ensuite à une homographie quelconque (utiliser III.3) [ S ]

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Homographies du plan complexe

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VI. Homographies, disques et demi-plans

On reprend ici les notations et les résultats de la cinquième partie.

On sait donc qu’une homographie conserve l’ensemble des cercles de bC. On va voir ici comment les

homographies tranforment l’intérieur ou l’extérieur d’un cercle de C, ou les deux demi-plans délimités

par une droite de C.

Comme dans la partie V, on commence par examiner le cas de l’homographie z 7→ 1/z, avant de

généraliser à une homographie quelconque.

Soit Γ une droite ou une cercle de C.

On note Q(z) = 0 une équation de Γ, avec Q(z) = α |z|2 + βz + βz + γ et

Rappel : Γ est un cercle si α 6= 0 et une droite sinon.

(cid:26) (α, β, γ) ∈ R×C×R

αγ < |β|2

Quitte à considérer −Q plutôt que Q, on suppose α ≥ 0.

1. Avec les notations précédentes, on définit les ensembles

(cid:26) Γ+ = {z ∈ C, Q(z) > 0}

Γ− = {z ∈ C, Q(z) < 0}

Montrer que chacun de ces deux ensembles désigne :

– Ou bien l’intérieur ou bien l’extérieur de Γ, si Γ est un cercle de C.

– Chacun des deux demi-plans de C définis par Γ, si Γ est une droite de C. [ S ]

2. On pose ϕ : z 7→ 1/z. On sait que eΓ = ϕ(Γ) est un cercle ou une droite.

Ecrire une équation eQ(z) = 0 de eΓ, facilement déduite de l’équation Q(z) = 0.

En déduire que ϕ envoie respectivement les deux parties du plan séparées par Γ sur celles qui

sont séparées par eΓ. [ S ]

3. Généraliser le résultat de la question précédente à une homographie quelconque.

On pourra, si le temps le permet, donner quelques précisions supplémentaires. [ S ]

VII. Points fixes d’une homographie, birapport

– Soit f une application quelconque de bC dans lui-même.

On dit qu’un élément z de bC (éventuellement z = ∞) est un point fixe de f si f (z) = z.

– Soient z1, z2, z3 trois éléments distincts de C. Soit z un élément de bC.

(z3 − z1)(z − z2)

(z3 − z2)(z − z1)

On pose [ z1, z2, z3, z ] =

si z ∈ C \ {z1}, et

( [ z1, z2, z3, z1 ] = ∞

[ z1, z2, z3, ∞ ] =

z3 − z1

z3 − z2

Il est clair que l’application z 7→ [z1, z2, z3, z] est une homographie de bC.

(a) En revenant aux définitions donnée en début d’énoncé, vérifier que les homographies qui

ne possèdent que ∞ comme point fixe sont les similitudes. [ S ]

(b) Montrer que toute homographie distincte de l’identité possède un ou deux points fixes

(éventuellement confondus). [ S ]

2. Soit f une homographie distincte de l’identité. Montrer l’équivalence suivante :

f est involutive ⇔ ∃ (u, v) ∈ bC2 (avec u 6= v) tels que f (u) = v et f (v) = u. [ S ]

3. Dans C, soient z1, z2, z3 (distincts deux a deux) et ω1, ω2, ω3 (distincts deux a deux.)

Montrer qu’il existe une homographie h unique telle que h(zk) = ωk pour 1 ≤ k ≤ 3.

Indication : considérer les homographies h : z 7→ [z1, z2, z3, z] et k : z 7→ [ω1, ω2, ω3, z].

On s’intéressera aux images de z1, z2, z3 (resp. ω1, ω2, ω3) par h (resp. k.) [ S ]

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Homographies du plan complexe

Énoncé

4. Soient z1, z2, z3, z4 quatre éléments distincts de C (avec éventuellement z4 = ∞.)

La quantité [z1, z2, z3, z4] est appelée birapport de z1, z2, z3, z4 (dans cet ordre.)

Montrer que z1, z2, z3, z4 sont sur un même cercle de bC ⇔ [z1, z2, z3, z4] est un réel.

Indication : considérer l’homographie h : z 7→ [z1, z2, z3, z]. [ S ]

5. Soient z1, z2, z3, z4 quatre éléments distincts de C (avec éventuellement z4 = ∞.)

Soit f une homographie de bC. On suppose que f (z1), f (z2), f (z3) sont distincts de ∞.

Montrer que [f (z1), f (z2), f (z3), f (z4)] = [z1, z2, z3, z4].

On exprime cette propriété en disant qu’une homographie conserve le birapport.

Indication : Montrer que f = h−1 ◦ g, avec

(cid:26) g : z 7→ [z1, z2, z3, z]

h : z 7→ [f (z1), f (z2), f (z3), z]

[ S ]

6. Réciproquement, on se donne une application f injective de bC dans lui-même.

On suppose que f conserve le birapport. Montrer que f est une homographie.

Indication :

– Se donner z1, z2, z3 distincts dans C, avec f (z1), f (z2), f (z3) distincts de ∞.

– Montrer que f = h−1 ◦ g, avec g : z 7→ [z1, z2, z3, z] et h : z 7→ [f (z1), f (z2), f (z3), z]. [ S ]

VIII. Conjugaison des homographies

On note Aut(H) le groupe des automorphismes de H pour la loi de composition.

Pour tout homographie h, on note Φh l’application de H dans H définie par Φh(f ) = h ◦ f ◦ h−1.

On dit que deux homographies f et g sont conjuguées s’il existe h dans H telle que g = Φh(f ).

On exprimera cette notation en écrivant f ∼ g.

1. Dans cette question, on étudie l’application Φ définie sur H par Φ(h) = Φh.

(a) Montrer que Φ est un morphisme de H dans le groupe Aut(H). [ S ]

(b) On considère les éléments t : z 7→ z + 1 et sa : z 7→ 2a − z de H (avec a ∈ C).

Montrer que la seule homographie qui commute avec t et les sa est l’identité. [ S ]

2. Dans cette question, on aborde l’étude de la relation conjugaison définie sur H par f ∼ g.

(a) Montrer que la conjugaison est une relation d’équivalence sur H.

Quelle est la classe d’équivalence de l’application identité ?

Vérifier que si f ∼ g alors f n ∼ gn pour tout n de N. [ S ]

(b) Montrer que deux homographies conjuguées ont exactement le même nombre de points fixes

dans bC (un point fixe double n’étant compté qu’une fois.) [ S ]

(d) Pour tout λ de C \ {0, 1}, on note σλ la similitude z 7→ λz.

Montrer que σλ et σµ sont conjuguées si et seulement si µ = λ ou µ = 1

λ . [ S ]

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Homographies du plan complexe

Énoncé

3. Dans cette question, on va déterminer les différentes classes d’équivalence de H pour la relation

de conjugaison, ainsi qu’un représentant simple de chaque classe.

(a) Soit f une homographie ayant deux points fixes distincts α, β dans C.

On note h l’homographie définie par z 7→ z−α

ne calculera pas) tel que f = h−1 ◦ σλ ◦ h. [ S ]

z−β . Montrer qu’il existe λ dans C \ {0, 1} (qu’on

(b) Soit f une similitude directe. On suppose que f n’est pas une translation.

Soit α l’unique point fixe de f dans C, et soit h l’application z 7→ z − α.

Montrer qu’il existe λ dans C \ {0, 1} tel que f = h−1 ◦ σλ ◦ h. [ S ]

On note h l’homographie définie par h(z) = 1

Montrer qu’il existe une translation t (distincte de Id) telle que f = h−1 ◦ t ◦ h. [ S ]

z−α .

(d) Déduire de ce qui précède le résultat suivant :

– Si f n’a qu’un point double dans bC, elle est conjuguée à la translation z 7→ z + 1.

– Sinon il existe λ avec 0 < |λ| ≤ 1 tel que f soit conjuguée à σλ : z 7→ λz.

On vérifiera que si 0 < |λ| < 1, le coefficient λ est unique, alors que si |λ| = 1, il est unique

à condition de supposer Re (λ) ≥ 0. [ S ]

IX. Puissances d’homographies

On va utiliser les résultats de la partie VIII (entre autres) pour étudier les puissances d’une homo-

graphie. Dans un premier temps, on va vérifier que les homographies dont une puissance est Id sont

conjuguées a des rotations particulieres. On étudie ensuite la suite définie par les images itérées d’un

point de bC par une homographie donnée. On terminera cette partie en se demandant s’il existe une

homographie permutant circulairement n points donnés de bC.

1. Dans cette question, on va obtenir des résultats sur les homographies dont une certaine puissance

est l’application identité.

(a) Soit f une homographie de bC et n un entier naturel non nul.

Montrer que f n = Id si et seulement si f est conjuguée à σλ, avec λn = 1. [ S ]

(b) Soit f : z 7→ az+b

cz+d une homographie (f 6= Id).

On note f = hu, avec u = (a, b, c, d).

En utilisant uniquement la partie I, montrer que : f 2 = Id ⇔ d = −a. [ S ]

homographie involutive de bC ayant pour points fixes α et β (on traitera d’abord le cas où

α, β sont dans C, puis on supposera β = ∞.) [ S ]

(d) Comme précédemment, soient α, β deux éléments distincts de bC.

Trouver les deux seules homographies f qui sont distinctes de Id, qui vérifient f 3 = 1 et

qui admettent α, β comme points fixes. [ S ]

(e) Donner les trois homographies f 6= Id telles que f 4 = Id, f (1) = 1, f (−1) = −1.

Si f1, f2, f3 sont les solutions, vérifier que {Id, f1, f2, f3} est un groupe cyclique. [ S ]

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Homographies du plan complexe

Énoncé

2. On va étudier s’il existe des homographies permutant circulairement 2, 3 ou 4 points.

(a) Soient u, v deux points distincts de bC.

Déterminer la forme générale des homographies f telles que f (u) = v et f (v) = u.

Indication : utiliser les résultats questions VII.2 et IX.1.b.

On pourra supposer d’abord que u, v sont dans C, puis que v = ∞. [ S ]

(b) Soient u, v, w trois points distincts de bC. Montrer qu’il existe une unique homographie f

telle que f (u) = v, f (v) = w, f (w) = u et que cette application vérifie f 3 = Id.

Montrer que f laisse globalement invariant le cercle de bC passant par u, v, v.

Déterminer l’unique homographie f telle que f (0) = 1, f (1) = i, f (i) = 0. [ S ]

On cherche s’il existe f dans H telle que f (t) = u, f (u) = v, f (v) = w, f (w) = t.

Montrer que si f existe, alors elle est unique et elle vérifie f 4 = Id.

Montrer que f existe si seulement si [t, v, u, w] = −1 (utiliser VII.6) [ S ]

3. Dans cette question on se donne une homographie f 6= Id et un élément z0 de bC.

On définit une suite de bC en posant zn+1 = f (zn) pour tout n de N.

(a) On suppose que f ne possède qu’un seul point fixe α. Montrer que lim

n→∞

zn = α. [ S ]

(b) On suppose que f a deux points fixes distincts α et β, et que z0 /∈ {α, β}.

Montrer qu’on est dans l’une des trois situations suivantes :

– Pour tout choix de z0, la suite (zn) converge vers α.

– Pour tout choix de z0, la suite (zn) converge vers β.

– Pour tout choix de z0, la suite (zn) diverge.

Remarque : dans bC, on dit que la suite (zn) converge vers ∞ si

lim

n→∞

|zn| = +∞. [ S ]

X. Homographies envoyant un disque donné sur un disque donné

– On note P = {z ∈ C, Im (z) > 0}, bR = R ∪ {∞},

et D = {z ∈ C, |z| < 1}.

– On note R l’ensemble des homographies h : z 7→

az + b

cz + d

, avec (a, b, c, d) ∈ R4 (et ad − bc 6= 0.)

On désigne par R+ celles de ces homographies qui vérifient ad − bc > 0.

(a) Montrer que R+ est un sous-groupe de R, lui-même un sous-groupe de H. [ S ]

(b) Montrer R est l’ensemble des homographies laissant bR globalement invariant. [ S ]

z − i

z + i

(a) Montrer que l’homographie H : z 7→

vérifie H(P) = D. [ S ]

(b) En déduire que les homographies f telles que f (D) = D sont les homographies qui sont

données par f : z 7→ u

avec |u| = 1 et |γ| < 1. [ S ]

z − γ

1 − γz

Déterminer les homographies h qui envoient Dω,r sur Dω0,r0. [ S ]

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Homographies du plan complexe

Corrigé

Corrigé du problème

I. Le groupe des homographies.

1. On se donne u = (a, b, c, d) dans E et v = (a0, b0, c0, d0) = λu, avec λ dans C∗.

Ainsi a0 = λa, b0 = λb, c0 = λc, d0 = λd, et δ(v) = λ2δ(u) 6= 0 donc v ∈ E.

Tout d’abord hv(∞) = a0/c0 = a/c = hu(∞).

Ensuite −d0/c0 = −d/c donc hv(−d/c) = ∞ = hu(−d/c).

Enfin, pour tout z de C \ {−d/c} : hv(z) =

a0z + b0

c0z + d0 =

Les deux applications hu et hv sont donc identiques.

λaz + λb

λcz + λd

az + b

cz + d

= hu(z).

Si u = (1, 0, 0, 1) alors hu(z) =

1z + 0

0z + 1

L’application hu = h(1,0,0,1) est donc l’application identité de bC. [ Q ]

= z pour tout z de C, et hu(∞) = ∞.

2. On pose w = u ⊗ v = (a00, b00, c00, d00) = (aa0 + bc0, ab0 + bd0, ca0 + dc0, cb0 + dd0).

On constate que :

δ(w) = a00d00 − b00c00 = (aa0 + bc0)(cb0 + dd0) − (ab0 + bd0)(ca0 + dc0)

= aa0dd0 + bc0cb0 − ab0dc0 − bd0ca0 = (ad − bc)(a0d0 − b0c0) = δ(u)δ(v) 6= 0

Autrement dit, w = u ⊗ v est encore un élément de E.

On va maintenant montrer que hu ◦ hv = hw.

Cas général : hu ◦ hv(z) =

a0z + b0

c0z + d0 + b

a0z + b0

c0z + d0 + d

(aa0 + bc0)z + (ab0 + bd0)

(ca0 + dc0)z + (cb0 + dd0)

a00z + b00

c00z + d00 = hw(z).

On admet que ça reste vrai dans les cas où intervient ∞ (ni difficile ni passionnant.) [ Q ]

3. Soit v = (a, b, c, d) dans E, et v0 = (a0, b0, c0, d0) = (d, −b, −c, a).

On voit que v0 est dans E car δ(v0) = a0d0 − b0c0 = δ(v) 6= 0.

D’apres ce qui précede, on a hv ◦ hv0 = hw, avec w = v ⊗ v0.

Or v ⊗ v0 = (aa0 + bc0, ab0 + bd0, ca0 + dc0, cb0 + dd0) = (ad − bc, 0, 0, −cb + da) = (δ(v), 0, 0, δ(v)).

On en déduit que hv ◦ hv0 = h(δ(v),0,0,δ(v)) = h(1,0,0,1) = Id.

L’application ψ : (x, y, z, t) 7→ (t, −y, −z, x) est une involution de C4 et

En inversant les rôles de v et v0 on a donc hv ◦ hv0 = Id.

Il en découle que hv est une bijection de bC, et que h−1

v = hv0. [ Q ]

(cid:26) v0 = ψ(v)

v = ψ(v0)

4. En fait H est un sous-groupe du groupe (B(bC), ◦) des bijections de bC.

D’apres ce qui précede H est en effet une partie (non vide) de B(bC), stable pour la loi de

composition et pour le passage à l’inverse. On remarque d’ailleurs que h(1,0,0,1) = Id.

Pour montrer que le groupe H n’est pas commutatif, il suffit d’exhiber un exemple.

Si u = (1, 1, 1, 0), alors hu(z) = z + 1 pour tout z de C.

Si v = (2, 0, 1, 0), alors hv(z) = 2z pour tout z de C.

Pour tout z de C :

(cid:26) hv ◦ hu(z) = 2(z + 1)

hu ◦ hv(z) = 2z + 1

donc hu ◦ hv 6= hv ◦ hu. [ Q ]

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II. L’homographie z 7→ 1/z et les cercles de bC.

(a) L’élément z = ω est sur ∆ et il vérifie bien Re ((z − ω) ω) = 0.

Considérons donc un élément z quelconque de C, mais distinct de ω.

On a Re ((z − ω) ω) = 0 ⇔ arg((z − ω) ω) = π

Cela signifie que l’angle d0ωz est droit, c’est-à-dire que z est sur ∆. [ Q ]

2 (π) ⇔ arg(z − ω) = arg ω + π

2 (π).

(b) Les éléments z = u et z = v sont sur C et ils vérifient bien Re ((z − u) (z − v)) = 0.

Considérons donc un élément z quelconque de C, mais distinct de u et v.

On a Re ((z − u) (z − v)) = 0 ⇔ arg(z − u) = arg(z − v) + π

2 (π).

Cela signifie que l’angle duzv est droit, c’est-à-dire que z est sur C.

Si on souhaite ne pas utiliser cette caractérisation pourtant classique des cercles, voici

comment on peut s’y prendre, avec z quelconque dans C :

Re ((z − u) (z − v)) = 0 ⇔ (z − u) (z − v) + (z − u) (z − v) = 0

⇔ |z|2 − Re ((u + v)z) + Re (uv) = 0

− Re (uv) = (cid:12)

⇔ (cid:12)

(cid:12)

u+v

On obtient bien le cercle C, qui a pour centre u+v

(cid:12)z − u+v

v−u

= (cid:12)

(cid:12)

⇔ (cid:12)

(cid:12) = (cid:12)

(cid:12)

(cid:12)z − u+v

(cid:12)

et pour rayon (cid:12)

(cid:12)

v−u

(cid:12)

v−u

(cid:12)

(cid:12). [ Q ]

2. On a ϕ(z) = 1/z pour tout z de C∗, puis ϕ(0) = ∞ et ϕ(∞) = 0.

On remarque que ϕ ◦ ϕ = Id. L’application ϕ est donc une involution de bC.

Pour toute partie X de bC, on a donc z ∈ ϕ(X) ⇔ z ∈ ϕ−1(X) ⇔ ϕ(z) ∈ X.

(a) Soit bD une droite de bC passant par l’origine.

Il existe ω dans C∗ tel que bD = {∞} ∪ D, avec D = {λω, λ ∈ R}.

On a ϕ(∞) = 0 et ϕ(0) = ∞, donc ϕ( bD) = {0, ∞} ∪ {ϕ(λ ω), λ ∈ R∗}.

Mais quand λ parcourt R∗, ϕ(λ w) =

λ ω

λ |ω|2 parcourt {µ ω, µ ∈ R∗}.

On en déduit ϕ( bD) = ∆ = {∞} ∪ ∆, avec ∆ = {µ ω, µ ∈ R}.

ϕ( bD) est donc la droite de bC passant par 0 symétrique de bD par rapport à Ox. [ Q ]

(b) Soit ω (élément de C∗) le point diamétralement opposé à 0 sur le cercle C.

Soit C0 le cercle C privé de l’origine. On a ϕ(C) = {∞} ∪ ϕ(C0), et ϕ(C0) ⊂ C∗.

Pour tout z de C∗ :

z ∈ ϕ(C0) ⇔ ϕ(z) ∈ C0 ⇔ Re

(cid:16)(cid:16) 1

− ω

(cid:17)

= 0 ⇔ Re

(cid:17)

(cid:16) 1 − zω

|z|2

= 0

(cid:17) 1

(cid:16)(cid:16)

⇔ Re

(cid:17)

(cid:16) 1 − zω

|ω|2

= 0 ⇔ Re

z −

(cid:17)

(cid:17) 1

= 0 ⇔ Re ((z − ω0) ω0) = 0

D’après II.1.a, c’est la droite ∆ de C, orthogonale en ω0 = ϕ(ω) au segment [ 0, ω0 ].

Ainsi ϕ(C) = b∆ = {∞} ∪ ∆ est une droite de bC ne passant pas par 0. [ Q ]

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Soit ω0 la projection de l’origine sur ∆. Soit ω = ϕ(ω0), donc ω0 = ϕ(ω).

Soit C le cercle passant par 0 et de diamètre [ 0, ω ].

On sait depuis la question précédente que ϕ(C) = b∆ = {∞} ∪ ∆.

Mais puisque ϕ est involutive, on a ϕ( b∆) = ϕ−1( b∆) = C.

Ainsi l’image de b∆ est le cercle C, qui passe par l’origine. [ Q ]

(d) Soit C un cercle ne passant pas par O. On a bien sûr ϕ(C) ⊂ C∗.

Soient u et v deux points diamétralement opposés et alignés avec 0.

Si le cercle C n’est pas centré en 0, il n’y a qu’un diametre possible, sinon tout diametre

convient. D’autre part, il existe λ dans R∗ tel que v = λu.

On a : z ∈ C ⇔ Re ((z − u)(z − v)) = 0 ⇔ Re ((z − u)(z − λu)) = 0.

On trouve donc successivement :

z ∈ ϕ(C) ⇔ ϕ(z) ∈ C ⇔ Re

(cid:17)(cid:17)

− λu)

= 0

− u

(cid:16)(cid:16) 1

(cid:17)(cid:16) 1

λu

− z

(cid:17)(cid:16) 1

(cid:17)(cid:17)

− z

= 0 ⇔ Re

(cid:16)(cid:16)

z −

(cid:17)(cid:16)

z −

(cid:17)(cid:17)

= 0

⇔ Re

(cid:16) λ |u|2

|z|2

(cid:16) 1

Ainsi ϕ(C) est le cercle C0 de diamètre [ u0, v0 ] avec u0 = ϕ(u) et v0 = ϕ(v).

Puisque C ne contient par ∞, le cercle C0 = ϕ(C) ne passe pas par 0. [ Q ]

3. Soit C un cercle quelconque de bC (donc éventuellement une droite de bC).

On sait que ϕ(C) est un cercle C0 de bC (par exemple une droite...)

Ainsi ϕ est une application de bC dans lui-même.

Cette application est involutive car pour toute partie X de bC, on a ϕ(ϕ(X)) = X.

Ainsi ϕ réalise une bijection (involutive) de bC sur lui-même. [ Q ]

III. Homographies et cercles de bC.

1. Tout d’abord S est une partie (non vide) de H.

Cela résulte de la définition sa,b = h(a,b,0,1) et du fait que δ(a, b, 0, 1) = a 6= 0.

On se donne (a, b) et (c, d) dans C∗ × C. Posons u = (a, b, 0, 1) et v = (c, d, 0, 1).

On sait depuis I.2 que sa,b ◦ sc,d = sw avec w = u ⊗ v = (ac, ad + b, 0, 1).

On en déduit que sa,b ◦ sc,d = se,f avec e = ac 6= 0 et f = ad + b.

Il en découle que S est une partie stable du groupe H.

On sait depuis que I.3 que s−1

a,b = hu0, avec u0 = (1, −b, 0, a).

Mais u0 = au00 avec u00 = (1/a, −b/a, 0, 1), et s−1

a,b = hu0 = hu00 (cf I.1)

Ainsi s−1

a,b est encore un élément de S, qui est donc stable par passage à l’inverse.

L’ensemble S est donc un sous-groupe de H (caractérisation des sous-groupes.)

Remarque : l’application sa,b est définie par sa,b(z) = az + b sur C et par sa,b(∞) = ∞. On aurait

pu utiliser ces expressions pour montrer que S est un sous-groupe de H. [ Q ]

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2. Soit s = sa,b un élément de S, avec (a, b) dans C∗ × C.

Comme s(∞) = ∞, il suffit de considérer la restriction de s : z 7→ az + b de s à C.

– Si a = 1, l’application s est la translation z 7→ z + b. Il est alors évident que tout cercle (resp.

toute droite) de C est d’une manière l’unique l’image par s d’un cercle (resp. d’une droite) de

– Si a 6= 1, alors s possède un unique point fixe ω donné par ω =

L’application s est alors la composée :

(cid:5) De l’homothétie h de centre ω et de rapport |a|.

1 − a

(cid:5) De la rotation r de centre ω et d’angle arg(a) (2π).

Il est non moins évident que chaque cercle (resp. droite) de C est d’une façon unique l’image

d’un cercle (resp. d’une droite) aussi bien par h que par r.

Par composition, il en est donc de même pour l’application s.

Ainsi, dans tous les cas, la similitude directe s réalise une bijection de l’ensemble bC sur lui-même.

Plus précisément, et contrairement à ce qui se passe pour l’application ϕ, l’application s réalise

séparément une bijection de l’ensemble des droites de bC et une bijection de l’ensemble des cercles

de C. [ Q ]

3. Soit h = hu un élément de H, avec u = (a, b, c, d).

– Si c = 0, alors d 6= 0 (car δ(u) = ad − bc 6= 0) et u = dv avec v = (a/d, b/d, 0, 1).

Dans ce cas h est la similitude directe sa0,b0 avec a0 = a/d 6= 0 et b0 = b/d.

– Si c 6= 0, alors pour tout z de C \ {−d/c} :

az + b

cz + d

h(z) =

ad − bc

a(cz + d) + bc − ad

cz + d

δ(u)

= −

Posons a0 = −

6= 0 et b0 =

ad − bc

cz + d

−

On voit que : ∀ z ∈ C \ {−d/c}, h(z) = a0ϕ(cz + d) + b0 = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(z).

On a bien sûr sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(−d/c) = sa0,b0 ◦ ϕ(0) = sa0,b0(∞) = ∞ = h(−d/c).

Enfin sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(∞) = sa0,b0 ◦ ϕ(∞) = sa0,b0(0) = b0 = a/c = h(∞).

Il en découle l’égalité h = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d (entre applications de bC dans bC.)

Tout h de H est donc dans S ou est la composée de ϕ et de deux similitudes. [ Q ]

4. On sait depuis la question précédente que toute homographie est une similitude ou se décompose

en le produit de ϕ et de deux similitudes.

On sait aussi que ϕ et les éléments de S réalisent des bijections de bC.

Il en découle par composition que toute homographie h réalise une bijection de bC.

Soit h = h(a,b,c,d) dans H \ S. Avec les notations précédentes, h = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d.

– Soit ∆ une droite de bC passant par ω = −d/c. Alors :

(cid:5) sc,d(∆) est une droite de bC passant par 0 (car sc,d(ω) = 0.)

(cid:5) ϕ ◦ sc,d(∆) est une droite de bC passant par 0.

(cid:5) h(∆) = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(∆) est une droite de bC passant par sa0,b0(0) = b0 = a/c.

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– Soit ∆ une droite de bC ne passant pas par ω = −d/c. Alors :

(cid:5) sc,d(∆) est une droite de bC ne passant pas par 0.

(cid:5) ϕ ◦ sc,d(∆) est un cercle C passant par 0.

(cid:5) h(∆) = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(∆) est un cercle de C passant par b0 = a/c.

– Soit C un cercle de C passant par ω = −d/c. Alors :

(cid:5) sc,d(C) est un cercle de C passant par 0.

(cid:5) ϕ ◦ sc,d(C) est une droite de bC ne passant pas par 0.

(cid:5) h(C) = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(C) est une droite de bC ne passant pas par a/c.

– Soit C un cercle de C ne passant pas par ω = −d/c. Alors :

(cid:5) sc,d(C) est un cercle de C ne passant pas par 0.

(cid:5) ϕ ◦ sc,d(C) est un cercle de C ne passant pas par 0.

(cid:5) h(C) = sa0,b0 ◦ ϕ ◦ sc,d(C) est un cercle de C ne passant pas par a/c.

On peut donc conclure de façon plus concise :

Si c 6= 0, l’image par l’homographie h : z 7→

– Des droites de bC passant par − d

– Des droites de bC ne passant pas par − d

– Des cercles de C passant par − d

az + b

cz + d

c sont les droites de bC passant par a

c .

c sont les cercles de C passant par a

c .

c sont les droites de bC ne passant pas par a

c .

– Des cercles de C ne passant pas par − d

c sont les cercles de C ne passant pas par a

c .

On peut même être un tout petit plus concis :

– Les images des cercles de bC passant par − d

– Les images des cercles de bC ne passant pas par − d

c sont les droites de bC.

c sont les cercles de C. [ Q ]

IV. Homographies et conservation des angles.

1. L’arc Γ1 est défini par Z1(t) =

az1(t) + b

cz1(t) + d

, pour tout t de l’intervalle I1.

Par hypothèse, l’application t 7→ z1(t) est de classe C1 sur I1.

On en déduit (par composition d’opérations élémentaires sur des fonctions d’une variable réelle

et à valeurs complexes) que t 7→ Z1(t) est de classe C1 sur I1.

Plus précisément :

Pour tout t de I1 : Z0

1(t) =

az0

1(t)(cz1(t) + d) − cz0

1(t)(az1(t) + b)

(cz1(t) + d)2

(ad − bc)z0

1(t)

(cz1(t) + d)2 .

On sait que z1(t) ne s’annule pas sur I1 car l’arc γ1 est sans point stationnaire.

Puisque δ(a, b, c, d) = ad − bc 6= 0, l’arc Γ1 est donc également sans point stationnaire.

Il en est bien sûr exactement de même pour l’arc Γ2. [ Q ]

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