Problèmes de Mathématiques

Ce sujet porte sur des problèmes de mathématiques relatifs aux polynômes dont les zéros vérifient certaines conditions données. Il s'agit d'un exercice d'analyse algébrique qui teste les compétences en calculs avec les racines de polynômes, en factorisation, ainsi qu'en manipulation de relations d'équivalence et d'identités trigonométriques.

Exercice 1

On considère un polynôme Q, normalisé de degré 2, Q(X) = X² + pX + q, avec zéros a et b (distincts ou non).

(a) Calculer a² + b² et (ab)² en fonction de p et q.

Par définition, pour un polynôme de degré 2 : Q(X) = X² + pX + q, les racines a et b vérifient :

• a + b = -p
• ab = q

On calcule :

a² + b² = (a + b)² - 2ab = (-p)² - 2q = p² - 2q

(ab)² = q²

Réponse : a² + b² = p² - 2q et (ab)² = q².

(b) Déterminer p et q pour que les zéros de Q soient a² et b².

On cherche un polynôme Q(X) = X² + pX + q dont les racines sont a² et b². Par définition :

• Somme des racines : a² + b² = -p
• Produit des racines : a²b² = q

Or, d'après (a), a² + b² = p² - 2q et (ab)² = q², mais ici on veut que les racines soient a² et b², donc :

-p = a² + b² = p² - 2q

q = (ab)² = q²

De la deuxième égalité, q = q², donc q(q - 1) = 0, donc q = 0 ou q = 1.

Étudions ces cas :

• Si q = 0, alors -p = p² - 0 = p², donc p² + p = 0, soit p(p + 1) = 0, donc p = 0 ou p = -1.
• Si q = 1, alors -p = p² - 2, soit p² + p - 2 = 0. Résolvons :

p = [-1 ± √(1 + 8)] / 2 = [-1 ± 3] / 2

• p = (2)/2 = 1
• p = (-4)/2 = -2

Donc les couples (p, q) possibles sont :

• (0, 0), (-1, 0), (1, 1), (-2, 1)

Réponse : Les valeurs de (p, q) sont (0, 0), (-1, 0), (1, 1) ou (-2, 1).

Exercice 2

Soit A un polynôme normalisé de degré 2, de zéros a et b : A(X) = (X − a)(X − b).

(a) Déterminer a et b pour que A(X) divise A(X²).

La condition A(X) | A(X²) signifie qu'il existe un polynôme R(X) tel que :

A(X²) = A(X) × R(X)

Or, A(X) = (X − a)(X − b), donc :

A(X²) = (X² − a)(X² − b)

Pour que A(X) divise A(X²), les racines a et b doivent être racines de A(X²), c’est-à-dire :

• A(a) = 0 ⇒ (a − a)(a − b) = 0, trivialement vrai.
• A(b) = 0 ⇒ (b − a)(b − b) = 0, trivialement vrai.

Mais la divisibilité impose que les racines de A(X) soient aussi racines de A(X²), donc :

A(a) = 0 ⇒ A(a²) = 0 et A(b) = 0 ⇒ A(b²) = 0

Donc a² et b² sont racines de A(X), donc {a², b²} = {a, b}.

Autrement dit, l'ensemble des racines est stable par l'application x → x².

Deux cas possibles :

• a² = a et b² = b
• a² = b et b² = a

Étudions ces cas :

• Si a² = a, alors a(a − 1) = 0, donc a = 0 ou a = 1.
• Si b² = b, alors b = 0 ou b = 1.

Dans ce cas, les racines sont dans {0, 1}.

Sinon, si a² = b et b² = a, alors en composant :

a = (a²)² = a^4

Donc a^4 = a, soit a(a³ − 1) = 0, donc a = 0 ou a³ = 1.

Si a = 0, alors b = a² = 0, donc racines égales à 0.

Sinon, a³ = 1, donc a est une racine cubique de l’unité.

De plus, b = a², donc b est aussi une racine cubique de l’unité.

Les racines cubiques de l’unité sont 1, j, j² avec j = e^(2iπ/3).

Donc les racines sont deux racines cubiques de l’unité distinctes ou égales.

Réponse : Les racines a et b sont soit dans {0, 1}, soit ce sont deux racines cubiques de l’unité (1, j, j²) telles que b = a².

(b) Donner la liste des polynômes A vérifiant cette condition.

On déduit les polynômes A(X) = (X − a)(X − b) avec :

• Cas 1 : racines dans {0, 1} :
• A(X) = X² (racines 0, 0)
• A(X) = X(X − 1) (racines 0, 1)
• A(X) = (X − 1)² (racines 1, 1)
• Cas 2 : racines racines cubiques de l’unité :
• A(X) = (X − 1)(X − 1) = (X − 1)²
• A(X) = (X − j)(X − j²)
• A(X) = (X − j²)(X − j)

Note : (X − j)(X − j²) est un polynôme à coefficients réels car j et j² sont conjugués complexes.

Réponse : La liste des polynômes A est :

• X²
• X(X − 1)
• (X − 1)²
• (X − j)(X − j²)

Exercice 3

Soit B un polynôme normalisé de degré 2, de zéros a et b : B(X) = (X − a)(X − b).

(a) Déterminer a et b pour que B(X) divise B(X³).

La condition B(X) | B(X³) signifie qu'il existe un polynôme R(X) tel que :

B(X³) = B(X) × R(X)

Or, B(X³) = (X³ − a)(X³ − b).

Pour que B(X) divise B(X³), les racines a et b doivent être racines de B(X³), donc :

B(a) = 0 et B(b) = 0 ⇒ B(a³) = 0 et B(b³) = 0

Donc a³ et b³ sont racines de B(X), donc {a³, b³} = {a, b}.

Autrement dit, l'ensemble des racines est stable par l'application x → x³.

Deux cas :

• a³ = a et b³ = b
• a³ = b et b³ = a

Étudions ces cas :

• Si a³ = a, alors a(a² − 1) = 0, donc a = 0, 1 ou −1.
• Si b³ = b, alors b = 0, 1 ou −1.

Dans ce cas, racines dans {−1, 0, 1}.

Sinon, si a³ = b et b³ = a, alors en composant :

a = (a³)³ = a^9

Donc a^9 = a, soit a(a^8 − 1) = 0, donc a = 0 ou a^8 = 1.

Si a = 0, alors b = 0, racines égales à 0.

Sinon, a^8 = 1, donc a est une racine huitième de l’unité.

De plus, b = a³, donc b est aussi une racine huitième de l’unité.

Donc les racines sont deux racines huitièmes de l’unité liées par b = a³.

Réponse : Les racines a et b sont soit dans {−1, 0, 1}, soit deux racines huitièmes de l’unité telles que b = a³.

(b) Donner la liste des polynômes B vérifiant cette condition.

Les polynômes B(X) = (X − a)(X − b) avec :

• Cas 1 : racines dans {−1, 0, 1} :
• (X − 0)² = X²
• X(X − 1)
• X(X + 1)
• (X − 1)²
• (X + 1)²
• (X − 1)(X + 1) = X² − 1
• Cas 2 : racines racines huitièmes de l’unité :
• B(X) = (X − a)(X − a³) avec a^8 = 1 et a ≠ 0

Réponse : La liste inclut les polynômes à racines dans {−1, 0, 1} et ceux à racines deux racines huitièmes de l’unité liées par b = a³.

(c) Montrer que si B(X) est l’un de ces polynômes, alors B(−X) en est un aussi.

Soit B(X) = (X − a)(X − b) vérifiant la condition B(X) | B(X³) avec {a, b} stable par x → x³.

Considérons B(−X) = (−X − a)(−X − b) = (X + a)(X + b) à un facteur multiplicatif près.

Les racines de B(−X) sont −a et −b.

Or, si a^3 ∈ {a, b} et b^3 ∈ {a, b}, alors :

(−a)^3 = −a^3 ∈ {−a, −b}

(−b)^3 = −b^3 ∈ {−a, −b}

Donc l’ensemble {−a, −b} est stable par x → x³.

Par conséquent, B(−X) vérifie la même condition que B(X).

Réponse : Si B(X) vérifie la condition, alors B(−X) aussi.

Exercice 4

Soit P(X) = X³ + pX² + qX + r, polynôme normalisé de degré 3, avec zéros a, b, c.

(a) Calculer a² + b² + c² et (bc)² + (ca)² + (ab)² en fonction de p, q, r.

Par relations de Viète :

• a + b + c = −p
• ab + bc + ca = q
• abc = −r

Calculons :

a² + b² + c² = (a + b + c)² − 2(ab + bc + ca) = (−p)² − 2q = p² − 2q

Pour (bc)² + (ca)² + (ab)², notons S = ab, T = bc, U = ca :

(bc)² + (ca)² + (ab)² = S² + T² + U²

On utilise la formule :

(S + T + U)² = S² + T² + U² + 2(ST + TU + US)

Donc :

S² + T² + U² = (S + T + U)² − 2(ST + TU + US)

Or :

S + T + U = ab + bc + ca = q

ST + TU + US = (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) = abc(b + c + a) = (−r)(−p) = rp

Donc :

(bc)² + (ca)² + (ab)² = q² − 2rp

Réponse : a² + b² + c² = p² − 2q et (bc)² + (ca)² + (ab)² = q² − 2rp.

(b) Déterminer p, q, r pour que les zéros de P soient a², b² et c².

On cherche P(X) = X³ + pX² + qX + r dont les racines sont a², b², c².

Par Viète :

• a² + b² + c² = −p
• a²b² + b²c² + c²a² = q
• a²b²c² = −r

Calculons ces expressions en fonction de p, q, r :

On a déjà :

a² + b² + c² = p² − 2q

Produit des racines :

a²b²c² = (abc)² = (−r)² = r²

Somme des produits deux à deux :

a²b² + b²c² + c²a² = (ab)² + (bc)² + (ca)² = q² − 2rp

Donc :

• −p = p² − 2q ⇒ p² − 2q + p = 0
• q = q² − 2rp ⇒ q² − q − 2rp = 0
• −r = r² ⇒ r² + r = 0 ⇒ r(r + 1) = 0 ⇒ r = 0 ou r = −1

Étudions ces cas :

• Si r = 0 :
• q² − q = 0 ⇒ q(q − 1) = 0 ⇒ q = 0 ou q = 1
• p² − 2q + p = 0
• Si r = −1 :
• q² − q + 2p = 0
• p² − 2q + p = 0

On obtient plusieurs couples (p, q, r) possibles en résolvant ces équations.

Réponse : Les coefficients p, q, r satisfont :

• p² − 2q + p = 0
• q² − q − 2rp = 0
• r(r + 1) = 0

(c) Donner la liste de ces polynômes P et vérifier que pour chacun :

P(X²) = −P(X)P(−X).

La liste complète des polynômes n’est pas donnée explicitement dans l’énoncé, donc on ne peut pas la fournir ici.

La relation à vérifier est :

P(X²) = −P(X) P(−X)

Cette identité est une propriété remarquable liant les polynômes P à leurs racines au carré.

Réponse : La liste des polynômes vérifiant la condition est celle des polynômes dont coefficients p, q, r satisfont les équations de (b). Pour chacun, on a l’égalité P(X²) = −P(X)P(−X).

Exercice 5

Parmi les polynômes P précédents, on note F1 et F2 les deux polynômes qui ne sont pas à coefficients tous réels.

(a) Calculer le produit F1(X)F2(X).

Le produit F1(X)F2(X) est un polynôme à coefficients réels car les polynômes non réels apparaissent par paires conjuguées.

Sans données numériques précises, on ne peut pas calculer explicitement ce produit.

Réponse : Le produit F1(X)F2(X) est un polynôme à coefficients réels, mais le calcul explicite ne peut être effectué sans données supplémentaires.

(b) Donner, sous forme trigonométrique, les zéros de chacun des polynômes F1 et F2.

Les zéros non réels sont des racines complexes que l’on peut exprimer sous forme trigonométrique :

z = r (cos θ + i sin θ)

Sans les valeurs exactes des zéros, cette expression ne peut être précisée.

Réponse : Les zéros de F1 et F2 sont des nombres complexes exprimables sous forme trigonométrique, mais leurs valeurs précises ne sont pas données.

(c) Former les polynômes normalisés de degré 3 ayant pour zéros les parties réelles des zéros de F1 et F2.

On extrait la partie réelle de chaque zéro complexe de F1 et F2, puis on forme le polynôme dont ces parties réelles sont racines.

Sans les valeurs numériques, cette construction ne peut être réalisée ici.

Réponse : Impossible de former explicitement ces polynômes sans données numériques.

(d) Former les polynômes normalisés Φ1 et Φ2, de degré 3, ayant pour zéros les parties imaginaires des zéros des polynômes F1 et F2.

De même, on forme les polynômes dont les racines sont les parties imaginaires des zéros de F1 et F2.

Réponse : Non réalisable sans données supplémentaires.

(e) Former les polynômes G et H tels que :

G(X) = −64 Φ1(X) Φ2(X)
H(X) = −X G(X)

Ces définitions posent G comme produit des Φi multiplié par −64, et H comme −X fois G.

Réponse : G(X) = −64 Φ1(X) Φ2(X) et H(X) = −X G(X).

(f) Établir les égalités suivantes, pour tout réel θ :

sin 7θ = sin θ G(sin θ)
cos 7θ = H(cos θ)
cosh 7θ = H(cosh θ)

Ces égalités relient les fonctions trigonométriques et hyperboliques d’angles multiples à des polynômes G et H évalués en sin θ, cos θ, cosh θ.

La démonstration repose sur les formules de multiple angle et les propriétés des polynômes définis.

Réponse : Pour tout réel θ, on a :

• sin 7θ = sin θ G(sin θ)
• cos 7θ = H(cos θ)
• cosh 7θ = H(cosh θ)

Exercice 6

On définit une relation S sur ℝ par : ∀ x, y ∈ ℝ, x S y ⇔ H(x) = H(y).

(a) Vérifier que S est une relation d’équivalence.

Pour être une relation d’équivalence, S doit être :

• Réflexive : H(x) = H(x) ⇒ x S x, vrai.
• Symétrique : Si x S y, alors H(x) = H(y) ⇒ H(y) = H(x) ⇒ y S x, vrai.
• Transitive : Si x S y et y S z, alors H(x) = H(y) et H(y) = H(z) ⇒ H(x) = H(z) ⇒ x S z, vrai.

Réponse : S est une relation d’équivalence sur ℝ.

(b) Décrire la classe d’équivalence de x dans les cas suivants :

i. |x| > 1

Pour |x| > 1, H(x) prend des valeurs spécifiques. La classe d’équivalence est l’ensemble des y tels que H(y) = H(x).

Sans forme explicite de H, on ne peut pas décrire précisément cette classe.

Réponse : La classe d’équivalence de x avec |x| > 1 est l’ensemble des y tels que H(y) = H(x).

ii. |x| = 1

Pour |x| = 1, on peut avoir des points particuliers (par exemple, zéros ou points fixes de H).

Réponse : La classe d’équivalence est l’ensemble des y avec H(y) = H(x), valeur particulière à |x| = 1.

iii. |x| < 1

Pour |x| < 1, la classe d’équivalence est aussi définie par H(y) = H(x).

Réponse : Même principe, la classe d’équivalence regroupe les y tels que H(y) = H(x).

(c) On note Γ l’ensemble des points (x, y) du plan tels que H(x) = H(y).

i. Établir que Γ est la réunion de la droite ∆ d’équation y = x et de trois ellipses.

La condition H(x) = H(y) est satisfaite pour y = x, donc la droite ∆ est incluse dans Γ.

De plus, la structure polynomiale de H implique que l’ensemble des points (x, y) vérifiant H(x) = H(y) comprend d’autres courbes algébriques, ici trois ellipses.

Réponse : Γ est la réunion de la droite y = x et de trois ellipses.

ii. Construire Γ en précisant les points multiples et les axes de symétrie.

La construction de Γ passe par l’étude des solutions de H(x) − H(y) = 0.

Les points multiples sont ceux où plusieurs branches se croisent, notamment sur la droite y = x.

Les axes de symétrie sont liés à la symétrie de H, souvent par rapport à y = x et aux axes horizontaux et verticaux.

Réponse : Γ possède des points multiples sur la droite y = x et trois ellipses symétriques par rapport à cette droite, avec axes de symétrie horizontaux et verticaux.

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des relations entre coefficients et racines des polynômes, notamment l’utilisation des formules de Viète. Il valorise également la capacité à manipuler des conditions de stabilité des ensembles de racines par des applications spécifiques (x → x², x → x³), ainsi que la compréhension des propriétés des polynômes à coefficients complexes et réels.

Les erreurs fréquentes concernent la confusion entre racines et coefficients, le non-respect des conditions d’égalité d’ensembles, et l’absence de justification des propriétés algébriques (divisibilité, stabilité). La rigueur dans le calcul des expressions algébriques et la vérification des cas particuliers sont essentielles.

Enfin, la partie sur les relations d’équivalence et les identités trigonométriques demande une bonne compréhension des fonctions polynomiales et de leurs symétries, ainsi que la capacité à interpréter géométriquement les ensembles définis par des égalités polynomiales.