Problèmes de Mathématiques
Polynômes dont les zéros vérifient des conditions données
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Polynômes dont les zéros vérifient des conditions données
Dans ce probleme, on considere des polynômes à coefficients complexes.
Un polynôme est dit normalisé si le coefficient du terme de plus haut degré vaut 1.
1. Un polynôme Q, normalisé de degré 2, s’écrit : Q(X) = X2 + pX + q.
On note a et b ses zéros, distincts ou non.
(a) Calculer a2 + b2 et (ab)2 en fonction de p et q.
(b) Déterminer p et q pour que les zéros de Q soient a2 et b2.
2. Soit A un polynôme normalisé de degré 2, de zéros a et b : A(X) = (X − a)(X − b).
(a) Déterminer a et b pour que A(X) divise A(X2).
(b) Donner la liste des polynômes A vérifiant cette condition.
3. Soit B un polynôme normalisé de degré 2, de zéros a et b : B(X) = (X − a)(X − b).
(a) Déterminer a et b pour que B(X) divise B(X3).
(b) Donner la liste des polynômes B vérifiant cette condition.
(c) Montrer (sans l’aide de cette liste) que si B(X) est l’un de ces polynômes, alors
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B(−X) en est un aussi.
4. Un polynôme P (X) = X3 + pX2 + qX + r, normalisé de degré 3, a pour zéros a, b, c.
(a) Calculer a2 + b2 + c2 et (bc)2 + (ca)2 + (ab)2 en fonction des coefficients p, q, r.
(b) Déterminer p, q, r pour que les zéros de P soient a2, b2 et c2.
(c) Donner la liste de ces polynômes P et vérifier que pour chacun d’eux :
P (X2) = −P (X)P (−X).
5. Parmi les polynômes P précédents, on notera F1 et F2 les deux polynômes qui ne sont
pas à coefficients tous réels.
(a) Calculer le produit F1(X)F2(X).
(b) Donner, sous forme trigonométrique, les zéros de chacun des polynômes F1 et F2.
(c) Former les polynômes normalisés de degré 3 ayant pour zéros les parties réelles des
zéros de F1 et F2.
(d) Former les polynômes normalisés Φ1 et Φ2, de degré 3, ayant pour zéros les parties
imaginaires des zéros des polynômes F1 et F2.
(e) Former les polynômes G et H tels que :
(
G(X) = −64Φ1(X)Φ2(X)
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H(X) = −XG(X)
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Jean-Michel Ferrard
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(f) Etablir les égalités suivantes, pour tout réel θ :
sin 7θ = sin θ G(sin θ)
cos 7θ = H(cos θ)
cosh 7θ = H(cosh θ)
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6. On définit une relation S sur IR en posant : ∀ x, y ∈ IR, x S y ⇔ H(x) = H(y).
(a) Vérifier que S est une relation d’équivalence.
(b) Décrire la classe d’équivalence de x dans les cas suivants :
i. |x| > 1
ii. |x| = 1
iii. |x| < 1
(c) On note Γ l’ensemble des points (x, y) du plan tels que H(x) = H(y).
i. Etablir que Γ est la réunion de la droite ∆ d’équation y = x et de trois ellipses.
ii. Construire Γ en précisant les points multiples et les axes de symétrie.
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