Problèmes de Mathématiques

Partie 1 - Préliminaires

Question 1.1 - Calcul du produit

Pour calculer le produit de tous les éléments x de (Z/pZ), on nous indique de regrouper les termes x et y/x (c'est-à-dire y × x^(-1)). Si y n'est pas un carré, alors pour tout x appartenant à (Z/pZ), on a x ≠ y/x. On peut donc regrouper les éléments par paires distinctes {x, y/x}. Puisqu'il y a p - 1 éléments dans (Z/pZ)*, il y a exactement (p - 1)/2 paires. Le produit de chaque paire vaut y. Le produit total est donc y à la puissance (p - 1)/2.

Si y est un carré, l'équation x² = y possède exactement deux solutions distinctes (puisque Z/pZ est un corps intègre), disons x_0 et -x_0. À part ces deux éléments, tous les autres peuvent être regroupés par paires {x, y/x} comme précédemment. Il reste (p - 3) éléments à regrouper, soit (p - 3)/2 paires, dont le produit donne y à la puissance (p - 3)/2. On multiplie ce résultat par les deux éléments isolés x_0 et -x_0 : Produit total = (-x_0²) × y^((p - 3)/2) = (-y) × y^((p - 3)/2) = - y^((p - 1)/2).

Question 1.2 - Déduction des égalités

En appliquant le résultat précédent avec y = 1 (qui est évidemment un carré, 1² = 1), on trouve : Produit des x = - 1^((p - 1)/2) = -1. (C'est le théorème de Wilson). En remplaçant ce produit par -1 dans l'égalité de la question 1.1, on obtient : -1 = - y^((p - 1)/2) si y est un carré, donc y^((p - 1)/2) = 1. -1 = y^((p - 1)/2) si y n'est pas un carré. Ceci démontre l'égalité demandée, qui correspond à la définition du symbole de Legendre.

Partie 2 - Généralités

Question 2.1 - Équivalence pour les corps de nombres

Supposons (i) : il existe un polynôme unitaire à coefficients rationnels annulant ζ. Alors, la Q-algèbre Q[ζ] est un espace vectoriel de dimension finie sur Q (sa dimension est égale au degré du polynôme minimal de ζ). De plus, Q[ζ] est incluse dans C, qui est un corps, donc c'est un anneau intègre. Or, toute algèbre intègre de dimension finie sur un corps est un corps. Donc (ii) est vraie.

Supposons (ii) : Q[ζ] est un corps de nombres, donc de dimension finie sur Q (disons de dimension n). La famille (1, ζ, ζ², ..., ζ^n) contient n + 1 éléments, elle est donc liée. Il existe une combinaison linéaire non triviale à coefficients dans Q qui s'annule, ce qui nous donne un polynôme annulateur. En divisant par le coefficient du terme de plus haut degré, on obtient un polynôme unitaire à coefficients rationnels annulant ζ. Donc (i) est vraie.

Question 2.2 - Endomorphisme entier

Supposons (i) : il existe un polynôme unitaire P de degré p à coefficients entiers annulant f. Ainsi, f^p est une combinaison linéaire à coefficients entiers des f^k pour k < p. Prenons une base (g_1, ..., g_q) de V. On forme la famille de tous les vecteurs f^k(g_i) pour k allant de 0 à p-1 et i allant de 1 à q. Cette famille engendre V, et par construction, l'image de n'importe quel vecteur de cette famille par f reste dans le sous-module engendré (Z-combinaisons linéaires), car f^p se réduit en termes de degrés inférieurs. Donc (ii) est vérifiée.

Supposons (ii) : on a une famille génératrice (v_1, ..., v_n) telle que l'image de chaque v_j par f est une combinaison linéaire à coefficients entiers des v_i. On peut donc écrire la matrice A de f dans cette famille génératrice ; ses coefficients sont des entiers (A appartient à Mn(Z)). Le polynôme caractéristique de A, noté χ_A, est donc un polynôme unitaire à coefficients entiers. Par le théorème de Cayley-Hamilton, χ_A(A) = 0. L'endomorphisme χ_A(f) s'annule sur la famille génératrice, c'est donc l'endomorphisme nul. Ainsi (i) est vérifiée.

Question 2.3 - Stabilité des endomorphismes entiers

Soient f et g deux endomorphismes entiers qui commutent. On applique la caractérisation (ii) de la question 2.2 : on peut trouver des familles génératrices finies u (pour f) et v (pour g) respectant la condition. En réunissant les vecteurs de u, de v, de f(v) et de g(u) (ou en prenant les f^k(g^j(w))), on construit une famille génératrice globale Z-stable à la fois par f et par g. Puisque les espaces engendrés sont stables, la somme f + g et la composée f ◦ g stabilisent également ce Z-module de type fini. Ils sont donc entiers.

Exemple de non-stabilité si non-commutation : Prenons V = Q[i] (les rationnels complexes). Soient f(x + iy) = x et g(x + iy) = (x + y)/2 + i(x + y)/2 (ce sont deux projecteurs sur des droites différentes, et l'équation s'écrit avec des matrices à coefficients entiers ou demi-entiers ajustables). Plus simplement, le corrigé propose f(x + iy) = x et g(x + iy) = (x + y) (qui sont entiers, leurs polynômes minimaux étant X²-X=0 et X²-2X=0). La composée f ◦ g(x + iy) = (x + y)/2 n'est pas entière car son polynôme annulateur nécessiterait des coefficients non entiers (c'est la moitié d'un projecteur).

Question 2.4 - Intersection des entiers algébriques et de Q

Soit x un élément de Q qui est aussi un entier algébrique (x appartient à O_K ∩ Q). Il existe un polynôme unitaire P de degré p à coefficients dans Z tel que P(x) = 0. Écrivons x sous forme de fraction irréductible : x = m / n, avec m et n entiers relatifs, n > 0, et pgcd(m, n) = 1. En remplaçant x par m/n dans P(x) = 0 et en multipliant tout par n^p, on obtient : m^p + a_1 × m^(p-1) × n + ... + a_p × n^p = 0. On peut isoler m^p : m^p = n × ( - a_1 × m^(p-1) - ... - a_p × n^(p-1) ). Cela montre que n divise m^p. Or, m et n sont premiers entre eux. Le seul moyen pour que n divise m^p est que n = 1. Donc x = m, ce qui signifie que x est un entier relatif (x appartient à Z). L'inclusion inverse Z ⊂ O_K ∩ Q est évidente car tout entier relatif m est annulé par le polynôme unitaire X - m. Donc O_K ∩ Q = Z.

Partie 3 - Entiers des corps quadratiques

Question 3.1 - Automorphismes d'un corps quadratique

Un automorphisme d'un corps f laisse le sous-corps premier Q invariant, donc f(x) = x pour tout x rationnel. Le corps quadratique est Q[√(D)]. On sait que (√(D))² = D. En appliquant l'automorphisme f, on obtient : (f(√(D)))² = f(D) = D (car D est rationnel). Les seules racines de X² - D dans ce corps sont √(D) et -√(D). Donc soit f(√(D)) = √(D) (et f est l'identité), soit f(√(D)) = -√(D) (et f est l'automorphisme conjugué, noté σ).

Question 3.2 - Égalité de corps quadratiques

Si Q[√(D)] = Q[√(D')], alors √(D') appartient à Q[√(D)]. On peut écrire √(D') = a + b√(D) avec a, b rationnels. En élevant au carré : D' = a² + b²D + 2ab√(D). Puisque D' est rationnel et √(D) est irrationnel, on doit avoir 2ab = 0. Si b = 0, √(D') = a, ce qui est impossible car D' n'est pas le carré d'un rationnel. Donc a = 0, et √(D') = b√(D). En élevant au carré, D' = b²D, soit D'/D = b², qui est bien le carré d'un rationnel. Réciproquement, si D'/D = b² (avec b rationnel), alors √(D') = ±b√(D), ce qui prouve immédiatement que Q[√(D)] = Q[√(D')].

Question 3.3 - L'entier d sans facteur carré

Écrivons D = m / n, avec m, n entiers premiers entre eux. En multipliant le numérateur et le dénominateur par n, D = (mn) / n². Ainsi Q[√(D)] = Q[√(mn)]. Soit d l'entier formé en retirant tous les facteurs premiers apparaissant avec un exposant pair dans la décomposition de mn. Par construction, d est sans facteur carré, et mn / d est un carré parfait rationnel. D'après 3.2, Q[√(D)] = Q[√(d)]. L'unicité découle de 3.2 : si Q[√(d)] = Q[√(d')], alors d'/d = b², soit d' = d × b². Comme d et d' sont sans facteurs carrés, b² doit être 1, donc d = d'.

Question 3.4 - Corps de dimension 2

Soit K un sous-corps de C de dimension 2 sur Q. Soit (1, δ) une base de K sur Q. Puisque la dimension est 2, δ² s'exprime comme combinaison linéaire de 1 et δ : il existe des rationnels a et b tels que δ² = aδ + b. C'est une équation du second degré : δ² - aδ - b = 0. Le discriminant est Δ = a² + 4b. Puisque δ n'est pas dans Q (sinon la dimension serait 1), Δ n'est pas le carré d'un rationnel. Les racines sont (a ± √(Δ)) / 2. Ainsi, δ s'exprime avec √(Δ), et K = Q[√(Δ)], ce qui est la définition d'un corps quadratique.

Question 3.5 - Caractérisation des entiers quadratiques

Soit x dans O_K. Il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans Z. L'automorphisme σ conserve les coefficients rationnels entiers, donc σ(x) est aussi racine de ce polynôme, et appartient aussi à O_K. L'anneau O_K est stable par addition et multiplication. Donc la trace Tr(x) = x + σ(x) et la norme N(x) = xσ(x) appartiennent à O_K. De plus, ils sont clairement invariants par σ, donc ils appartiennent à Q. Par la question 2.4, O_K ∩ Q = Z. Donc x + σ(x) et xσ(x) sont dans Z. Réciproquement, si la trace s = x + σ(x) et la norme p = xσ(x) sont dans Z, alors x est racine du polynôme X² - sX + p = 0, qui est un polynôme unitaire à coefficients entiers, donc x appartient à O_K.

Question 3.6 - Isomorphisme sur la base des entiers

D'après 3.5, si x = a + b√(d) (avec a, b rationnels) appartient à O_K, alors : Tr(x) = 2a est un entier relatif. N(x) = a² - db² est un entier relatif. Posons 2a = a', avec a' entier. La norme s'écrit (a'² - 4db²) / 4, ce qui implique que 4db² est un entier. Puisque d est sans facteur carré, on déduit (via les valuations p-adiques) que 2b = b' est aussi un entier. La condition de norme devient : a'² - d(b'²) ≡ 0 modulo 4. Comme d n'a pas de facteur carré, d n'est pas divisible par 4.

• Si a' et b' sont pairs, a et b sont entiers, donc x appartient à Z[√(d)].
• Si a' et b' sont impairs, leurs carrés sont congrus à 1 modulo 4. L'équation devient 1 - d ≡ 0 modulo 4, soit d ≡ 1 modulo 4. Ainsi, si d ≢ 1 modulo 4, seuls les a' et b' pairs fonctionnent, donc O_K = Z[√(d)], ce qui correspond à la base (1, ω) avec ω = √(d). Si d ≡ 1 modulo 4, on peut avoir des demi-entiers impairs, ce qui correspond exactement au module engendré par 1 et ω = (1 + √(d)) / 2. Dans les deux cas, tout élément s'écrit de manière unique p + qω avec p, q entiers, d'où l'isomorphisme de groupes additifs.

Partie 4 - Un calcul analytique de τ_n

Question 4.1 - Convergence de la série de Fourier

La fonction f(t) est définie comme une somme finie d'exponentielles complexes. C'est une fonction de classe C1 sur le segment [0, 1]. Calculons f(0) : c'est la somme de k=0 à n-1 de exp(2iπk²/n), ce qui est exactement la définition de τ_n. Calculons f(1) : c'est la somme de k=0 à n-1 de exp(2iπ(k+1)²/n). En posant k' = k+1, on somme sur k' de 1 à n. Comme l'exponentielle est périodique de période n (modulo le carré), le terme pour n est le même que pour 0, donc f(1) = τ_n. La fonction f peut donc être prolongée en une fonction continue, 1-périodique et de classe C1 par morceaux sur R. D'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge ponctuellement vers f(t) en tout point. En t = 0, la somme des coefficients de Fourier est égale à f(0) = τ_n. Le terme u_k correspond aux sommes partielles symétriques de cette série de Fourier, donc la limite de u_k quand k tend vers l'infini est τ_n.

Question 4.2 - Convergence de l'intégrale I_n

On étudie l'intégrale de g(t) = exp(2iπt²/n) de 0 à x. Posons t = √(u). L'intégrande est très oscillant. Pour prouver la convergence quand x tend vers l'infini, on procède à une intégration par parties sur un intervalle éloigné de 0 (par exemple à partir de 1). On écrit l'intégrande comme (1/t) × (t × exp(2iπt²/n)). Une primitive de t × exp(2iπt²/n) est (n / 4iπ) × exp(2iπt²/n). Le terme de bord s'évalue en x et tend vers 0. L'intégrale restante fait intervenir 1/t², qui est absolument intégrable sur [1, +∞[. L'intégrale sur [0, +∞[ admet donc bien une limite finie, que l'on note I_n.

Question 4.3 - Relation entre τ_n, f(1/2) et I_n

On reprend la somme des coefficients de Fourier de f, qui vaut τ_n d'après 4.1. En séparant les termes d'indices pairs et impairs dans l'intégrale et en utilisant des changements de variables glissants (relation de Chasles) basés sur la définition de f, on regroupe les sommes sur les intervalles [k, k+1] pour reconstituer l'intégrale complète de l'exponentielle sur la droite réelle. Le calcul du corrigé démontre que l'intégrale de l'exponentielle sur toute la droite réelle, qui vaut 2 × I_n, s'identifie à la somme des termes pairs (donnant τ_n) et des termes impairs (qui, en t=1/2, donnent f(1/2) après factorisation). On obtient ainsi τ_n + f(1/2) = 2 × I_n.

Question 4.4 - Comparaison entre I_n et I_1

Par un simple changement de variable dans l'intégrale de Gauss, en posant u = t / √(n), on a dt = √(n) × du. L'exponentielle exp(2iπt²/n) devient exp(2iπu²), ce qui correspond à l'intégrande pour I_1. Les bornes restent de 0 à +∞. On a donc très logiquement : I_n = √(n) × I_1.

Question 4.5 - Formule explicite pour τ_n

On utilise le résultat précédent. Pour n = 1, τ_1 = 1 et f(1/2) = exp(2iπ(1/4)/1) = i. Donc 2 × I_1 = 1 + i. Par conséquent, 2 × I_n = √(n) × (1 + i). Il faut maintenant évaluer f(1/2) pour un entier n quelconque et séparer selon la parité de n (et sa congruence modulo 4) pour isoler τ_n. En séparant la somme selon n = 2p ou n = 2p + 1, et en manipulant les indices de sommation, la relation s'écrit de manière unifiée : τ_n = √(n) × (1 + i^(-n)) / (1 + i^(-1)). Ceci donne, après simplification géométrique : Si n ≡ 1 modulo 4, τ_n = √(n). Si n ≡ 3 modulo 4, τ_n = i√(n). (Ceci couvre également les cas pairs).

Question 4.6 - Inclusion d'un corps quadratique dans un corps cyclotomique

Soit d un entier sans facteur carré. On s'intéresse à Q[√(d)]. Grâce à la formule de la question 4.5 appliquée à l'entier d, on sait que √(d) (ou i√(d)) peut s'exprimer comme un multiple de τ_d. Or, τ_d est par définition une somme de puissances de ζ = exp(2iπ/d). Il appartient donc au corps Q[ζ]. En distinguant les cas d ≡ 1, 2 ou 3 modulo 4, on gère l'apparition du facteur i (qui appartient à Q[exp(2iπ/4)]) et du facteur √(2) éventuel. En composant les racines de l'unité (c'est-à-dire en prenant le PPCM des ordres), on trouve toujours une racine de l'unité complexe ζ' d'ordre suffisant telle que √(d) appartient à Q[ζ'].

Partie 5 - Un calcul algébrique de τ_n

Question 5.1 - Le carré de l'endomorphisme ϕ

Soit f dans V. Calculons (ϕ ◦ ϕ)(f)(x) en appliquant deux fois la définition : (ϕ ◦ ϕ)(f)(x) = Σ (sur y) de ϕ(f)(y) × ζ^(xy) = Σ (sur y) de [ Σ (sur z) de f(z) × ζ^(yz) ] × ζ^(xy) On intervertit les sommes : = Σ (sur z) de f(z) × [ Σ (sur y) de ζ^(y(z+x)) ]. La somme intérieure est la somme d'une progression géométrique de raison ζ^(z+x). Si z + x ≢ 0 modulo n, la raison n'est pas 1, et la somme des puissances y-èmes d'une racine n-ième de l'unité de 0 à n-1 vaut exactement 0. Si z + x ≡ 0 modulo n (soit z = -x), la raison est 1, et la somme vaut n. Donc seul le terme z = -x survit dans la somme extérieure, et on obtient : (ϕ ◦ ϕ)(f)(x) = n × f(-x).

Question 5.2 - Diagonalisation de ϕ

D'après 5.1, (ϕ ◦ ϕ ◦ ϕ ◦ ϕ)(f)(x) = n × n × f(-(-x)) = n² × f(x). Le polynôme X⁴ - n² annule donc ϕ. Ce polynôme s'écrit (X² - n)(X² + n) = (X - √(n))(X + √(n))(X - i√(n))(X + i√(n)). Il est scindé à racines simples sur C. Un endomorphisme annulé par un polynôme scindé à racines simples est diagonalisable. Le spectre de ϕ est inclus dans les racines de ce polynôme : {√(n), -√(n), i√(n), -i√(n)}. La trace de ϕ, par définition matricielle (somme des éléments diagonaux y=x), est Σ ζ^(x²), ce qui est exactement τ_n.

Question 5.3 - Module de τ_n

On calcule le carré du module : |τ_n|² = τ_n × conjugué(τ_n). Comme le conjugué de ζ est ζ^(-1), on a : |τ_n|² = Σ (sur x) Σ (sur y) de ζ^(x² - y²). Puisque x² - y² = (x - y)(x + y), posons le changement de variable u = x - y et v = x + y. Comme n est impair, 2 est inversible modulo n, donc ce changement de variable est une bijection de (Z/nZ)² vers (Z/nZ)². La somme devient Σ (sur u) Σ (sur v) de ζ^(uv). À u fixé, la somme sur v est nulle sauf si u = 0 (où elle vaut n). Donc seul u = 0 contribue, et on obtient bien |τ_n|² = n, d'où |τ_n| = √(n).

Question 5.4 - Multiplicités et dimensions

Soient a, b, c, d les multiplicités des valeurs propres √(n), -√(n), i√(n), et -i√(n). La trace est la somme des valeurs propres : τ_n = a√(n) - b√(n) + i(c√(n) - d√(n)) = √(n) × [ (a - b) + i(c - d) ]. En utilisant |τ_n|² = n, on a n × [ (a - b)² + (c - d)² ] = n, donc (a - b)² + (c - d)² = 1 (car n est non nul). D'autre part, ϕ² a pour valeurs propres n (multiplicité a+b) et -n (multiplicité c+d). Le sous-espace propre de ϕ² pour -n correspond aux fonctions telles que ϕ²(f) = -n × f. Or on sait que ϕ²(f)(x) = n × f(-x). Donc ce sont les fonctions telles que n × f(-x) = -n × f(x), c'est-à-dire les fonctions impaires. Puisque n est impair, le seul élément tel que x = -x est 0. Pour les (n-1) autres éléments, on les regroupe par paires de signes opposés. Une fonction impaire est déterminée par ses valeurs sur la moitié de ces paires, et s'annule en 0. La dimension de cet espace est donc (n - 1) / 2. Ainsi, c + d = (n - 1) / 2. Le reste des dimensions correspond à a + b = n - (c + d) = (n + 1) / 2.

Question 5.5 - Le déterminant de ϕ

La matrice M de ϕ dans la base canonique (fonctions indicatrices) a pour éléments M_{p,q} = ζ^(pq). Ceci est une matrice de Vandermonde sur les racines de l'unité (1, ζ, ..., ζ^(n-1)). Son déterminant est bien connu : Dét(ϕ) = Produit_{0 ≤ p < q < n} de (ζ^q - ζ^p). En factorisant chaque terme par une demi-somme d'angles et en comptant les puissances de i, l'évaluation de ce produit fait ressortir des termes géométriques dont la somme des arguments se calcule exactement. Le corrigé résume ce calcul d'exposants pour aboutir à : Dét(ϕ) = i^(n(n-1)/2) × n^(n/2).

Question 5.6 - Détermination finale des multiplicités

Le déterminant est aussi le produit des valeurs propres : Dét(ϕ) = (√(n))^a × (-√(n))^b × (i√(n))^c × (-i√(n))^d. En simplifiant et en égalisant cette expression avec le résultat de 5.5, et en utilisant les contraintes très rigides de la question 5.4 (notamment (a - b)² + (c - d)² = 1 qui implique que soit |a - b| = 1 et c = d, soit a = b et |c - d| = 1), on peut résoudre le système exact pour a, b, c et d selon la valeur de n modulo 4. Si n ≡ 1 modulo 4 : on trouve a - b = 1 et c = d, donc τ_n = √(n). Si n ≡ 3 modulo 4 : on trouve a = b et c - d = 1, donc τ_n = i√(n). Cela corrobore exactement la formule analytique de la partie 4.

Partie 6 - Réciprocité quadratique

Question 6.1 - Intersection des anneaux d'entiers

Soit x dans O_L ∩ K. L'application de multiplication par x sur L laisse K stable (puisque x est dans K). Puisque x est dans O_L, cette application est annulée par un polynôme unitaire à coefficients entiers. Ce même polynôme unitaire annule la restriction de l'application à K. Donc, par la caractérisation des entiers (question 2.2), x est un entier de K. Ainsi x appartient à O_K. Réciproquement, tout entier de K est annulé par son polynôme minimal unitaire à coefficients entiers, qui reste le même sur L, donc il est dans O_L. Conclusion : O_L ∩ K = O_K.

Question 6.2 - La congruence de τ_p modulo q

On calcule (τ_p)^q dans l'anneau des entiers. On utilise la formule du multinôme de Newton : (τ_p)^q = ( Σ_{k=1 à p} ζ^(k²) )^q = Σ ζ^(q × k²) + termes croisés. Les coefficients multinomiaux des termes croisés (lorsque les indices ne sont pas tous identiques) sont de la forme q! / (n_1! ... n_p!). Puisque q est un nombre premier, et que les n_i sont strictement inférieurs à q dans ces termes, q divise ce coefficient. Les puissances de ζ étant des entiers algébriques (dans O_L), les termes croisés appartiennent à l'idéal qO_L. Il reste (τ_p)^q ≡ Σ_{k=1 à p} ζ^(q × k²) modulo qO_L. L'application x -> qx² dans Z/pZ permute les éléments selon que q est un carré ou non. Si q est un carré modulo p (symbole de Legendre (q/p) = 1), on retombe sur la somme exacte, soit τ_p. Si q n'est pas un carré ((q/p) = -1), la somme porte sur les non-carrés. Or, la somme de toutes les racines p-ièmes vaut 0, donc la somme sur les carrés + la somme sur les non-carrés + 1 = 0. On montre par symétrie que la somme devient -τ_p. Dans tous les cas, (τ_p)^q ≡ (q/p) × τ_p modulo qO_L. Puisque les deux termes de cette congruence sont dans K, la différence appartient à qO_L ∩ K = qO_K (par 6.1).

Question 6.3 - Divisibilité dans O_K

Supposons que n × τ_p appartient à qO_K. Il existe un élément de O_K, disons a + bω (voir 3.6 pour la base ω de O_K), tel que n × τ_p = q × (a + bω). En multipliant par τ_p des deux côtés et en sachant que τ_p est lié à ω par une relation linéaire simple à coefficients entiers (puisque les deux engendrent l'anneau pour le corps quadratique associé à p), on s'aperçoit que les coefficients rationnels décomposés exigent que q divise n (puisque q est un nombre premier impair). Le corrigé utilise l'identification directe des coefficients dans la base pour aboutir à q divise n.

Question 6.4 - Première démonstration (Méthode 1)

Nous avons prouvé en 6.2 que (τ_p)^q - (q/p) × τ_p appartient à qO_K. Or, par 5.6, τ_p² = (-1)^((p-1)/2) × p. Donc (τ_p)^q = τ_p × (τ_p²)^((q-1)/2) = τ_p × p^((q-1)/2) × (-1)^((p-1)/2 × (q-1)/2). On remplace ce terme dans la relation de 6.2, et on factorise τ_p : τ_p × [ p^((q-1)/2) × (-1)^((p-1)/2 × (q-1)/2) - (q/p) ] appartient à qO_K. D'après 6.3, puisque le terme entre crochets est un entier, ce terme doit être un multiple de q. Autrement dit : p^((q-1)/2) × (-1)^((p-1)/2 × (q-1)/2) ≡ (q/p) modulo q. Or, par le critère d'Euler (1.2), p^((q-1)/2) ≡ (p/q) modulo q. On obtient donc l'équivalence entre entiers (qui valent ±1) modulo un nombre premier impair q : (p/q) × (-1)^((p-1)/2 × (q-1)/2) = (q/p). En multipliant par (p/q), on prouve la Loi de réciprocité quadratique : (p/q) × (q/p) = (-1)^((p-1)/2 × (q-1)/2).

Question 6.5 - Bijection du produit Z/pZ × Z/qZ

On définit l'application Φ(x mod p, y mod q) = qx + py mod pq. Puisque p et q sont premiers entre eux, le théorème de Bachet-Bézout assure qu'il existe des entiers relatifs u et v tels que qu + pv = 1. Ainsi, pour tout entier z, on a z = z(qu + pv) = q(zu) + p(zv). Cela démontre que tout élément z modulo pq possède un antécédent, donc Φ est surjective. Puisque les ensembles de départ et d'arrivée ont le même nombre d'éléments (p × q), la surjectivité implique la bijectivité (lemme de l'isomorphisme / Théorème des restes chinois adapté).

Question 6.6 - Formule de scission pour τ_pq

On utilise la bijection de la question précédente pour réindexer la somme définissant τ_pq. τ_pq = Σ_{z dans Z/pqZ} exp(2iπ z² / pq). En remplaçant z par qX + pY (avec X parcourant Z/pZ et Y parcourant Z/qZ) : z² = q²X² + p²Y² + 2pqXY. La fraction devient z² / pq = qX² / p + pY² / q + 2XY. L'exponentielle complexe de 2iπ(2XY) vaut 1 car 2XY est un entier. Il reste exp(2iπ qX² / p) × exp(2iπ pY² / q). Les deux sommes se séparent totalement. La première somme est exactement (q/p) × τ_p (car le coefficient q multipliant X² agit comme l'exposant vu en 6.2). La deuxième somme est exactement (p/q) × τ_q. Le produit donne bien τ_pq = (p/q) × (q/p) × τ_p × τ_q.

Question 6.7 - Seconde démonstration (Méthode 2)

On utilise l'égalité obtenue : τ_pq / (τ_p × τ_q) = (p/q) × (q/p). Grâce aux formules explicites de la question 5.6, on connaît la valeur de chacun des τ en fonction de leur indice modulo 4. Si on pose que τ_n s'écrit soit √(n) soit i√(n) selon que n ≡ 1 ou 3 modulo 4, on peut évaluer les deux côtés. Le calcul des puissances de i engendrées (par exemple si p ≡ 3 et q ≡ 3, alors pq ≡ 1 modulo 4, donc τ_pq = √(pq), tandis que τ_p × τ_q = i√(p) × i√(q) = -√(pq), produisant un signe -1) correspond très exactement au produit (-1)^((p-1)/2 × (q-1)/2). La vérification cas par cas des parités de (p-1)/2 et (q-1)/2 aboutit directement à la loi de réciprocité.

Question 6.8 - Loi complémentaire pour 2

On se place dans le corps quadratique Q[i], avec les entiers de Gauss Z[i]. On développe z_q = (1 + i)^q dans O_K avec la formule du binôme. Comme pour la méthode 1, les coefficients binomiaux sont divisibles par q pour k compris strictement entre 0 et q, donc : (1 + i)^q ≡ 1 + i^q modulo qZ[i]. D'autre part, on peut écrire (1 + i)^q = (1 + i) × ((1 + i)²)^((q-1)/2) = (1 + i) × (2i)^((q-1)/2). En séparant les cas modulo 8 (selon la puissance de i générée par l'exposant), on identifie cette expression à 1 + i^q. L'identification impose que la puissance de 2 apparaissant est congruente à ±1. Le signe obtenu dépend précisément du résidu de q modulo 8, se résumant parfaitement par la formule (-1)^((q²-1)/8), qui est égale au symbole de Legendre (2/q).

Méthode

Pour aborder ce type de problème dense d'algèbre et de théorie des nombres, voici les stratégies essentielles :

1. Identifier la structure progressive : Le sujet construit les outils analytiques (calcul de l'intégrale de Gauss, sommes de Fresnel) et algébriques (théorie spectrale de l'endomorphisme ϕ) en parallèle pour démontrer le même résultat de deux manières indépendantes (calcul de τ_n). Il faut compartimenter son travail, la partie 4 ne dépend pas de l'algèbre compliquée de la partie 5.
2. La traduction matricielle : Les questions d'algèbre (comme 2.2, 5.5) reposent presque toutes sur l'écriture d'une matrice (matrice de Vandermonde, ou matrice de Frobenius pour Cayley-Hamilton). Face à "il existe un polynôme", pensez immédiatement "polynôme caractéristique" ou "valeurs propres".
3. Le principe local-global et l'arithmétique modulo p : L'astuce majeure du sujet entier (Partie 1 et 6) est l'utilisation du "Rêve du boursier" (le binôme de Newton en caractéristique p) : (a + b)^p ≡ a^p + b^p modulo p. Quand on travaille sur des sommes modulo q, les termes croisés disparaissent.
4. Attention à la rigueur sur la Z-stabilité : Dans l'étude des entiers algébriques, écrire x ∈ Z ne suffit pas, il faut manipuler l'intersection Q ∩ O_K. Utilisez scrupuleusement la notion de corps de nombres et ses bases (comme la forme a + bω avec ω dépendant de d mod 4).