Problème inverse d’EEG : TP3 - Analyse de performances et comparaison des algorithmes étudiés

Ce document présente une analyse des performances et une comparaison de plusieurs algorithmes utilisés pour résoudre le problème inverse en électroencéphalographie (EEG). Destiné aux étudiants et chercheurs en traitement du signal et neuroimagerie, il détaille les critères d’évaluation, les manipulations expérimentales et les méthodes quantitatives et qualitatives pour comparer les algorithmes Gibbs sampler, MNE et SISSY.

Introduction au problème inverse en EEG

Le problème inverse en EEG consiste à estimer la configuration des sources cérébrales à partir des signaux mesurés au niveau des capteurs. Pour évaluer quantitativement la performance d’un algorithme d’inversion, il est nécessaire de disposer d’une vérité de terrain, c’est-à-dire la configuration réelle des sources, ce qui est possible dans un contexte de données simulées.

La qualité de la solution inverse ˆs obtenue par un algorithme est comparée à la vraie solution s. Un critère simple est l’erreur au sens des moindres carrés, ||s − ˆs||2, mais dans le cadre de la localisation des dipôles actifs, on privilégie un critère qui compare directement les positions des dipôles estimés et réels.

Le critère utilisé est le Dipole Localization Error (DLE), défini par :

DLE = (1 / 2L) ∑(k∈I) min(ℓ∈Ĩ) ||r_k − r_ℓ|| + (1 / 2Ĺ) ∑(ℓ∈Ĩ) min(k∈I) ||r_k − r_ℓ||

où :

• I et Ĩ sont les ensembles d’indices des dipôles actifs respectivement dans la configuration originale et dans la solution estimée,
• L et Ĺ sont les nombres de dipôles actifs originaux et estimés,
• r_k est la position du k-ième dipôle.

Pour obtenir une estimation robuste, le DLE est calculé sur plusieurs réalisations de bruit aléatoire, ce qui permet d’obtenir des statistiques (moyenne, variance) sur la performance des algorithmes.

Ce TP vise à évaluer qualitativement et quantitativement les algorithmes Gibbs sampler, MNE et SISSY.

Paramètres et configuration des algorithmes

Les paramètres utilisés pour les trois algorithmes sont :

• Gibbs sampler : σ² (variance du bruit)
• MNE : λ choisi selon le principe de discrepancy
• SISSY : α = 0.1, λ = 10

Les autres paramètres sont :

• n = 3000 (nombre d’échantillons)
• σ² = 20
• λ suit une loi Beta Be(1.01, 2000), imposant une parcimonie ≤ 2%

Comparaison qualitative des algorithmes

La comparaison qualitative consiste à visualiser les solutions inverses obtenues par les trois algorithmes sous différentes conditions de bruit :

1. Visualiser les solutions pour trois valeurs de rapport signal sur bruit (RSB) : 0.1, 1 et 10, avec un bruit gaussien blanc ajouté aux capteurs.
2. Visualiser les solutions pour les mêmes valeurs de RSB, mais avec un bruit gaussien spatialement corrélé. Ce bruit est généré par une matrice Snoise de même taille que la matrice de signal S, où les éléments correspondant aux dipôles actifs sont nuls et les autres éléments sont tirés d’une distribution gaussienne. La matrice de bruit finale est obtenue par multiplication A * Snoise. Ce type de bruit modélise une activité de fond gaussienne des dipôles non actifs.
3. Comparer visuellement les solutions inverses des trois algorithmes entre elles et avec la configuration originale pour évaluer leur robustesse au bruit.

Exemple de visualisation qualitative

Pour un RSB de 1 avec bruit spatialement corrélé, on peut observer :

• Gibbs sampler produit une estimation plus parcimonieuse mais sensible au bruit.
• MNE tend à lisser les sources, ce qui peut engendrer une localisation moins précise.
• SISSY combine parcimonie et robustesse, offrant une meilleure localisation des dipôles actifs.

Comparaison quantitative via le critère DLE

La comparaison quantitative repose sur le calcul du Dipole Localization Error (DLE) entre la configuration originale et la solution estimée :

1. Identifier les dipôles actifs dans la configuration originale (amplitude non nulle).
2. Pour la solution inverse, identifier les dipôles actifs en seuillant les amplitudes estimées avec un seuil approprié.
3. Implémenter une fonction DLE(idx, idx_est, r_grid) qui calcule le DLE entre les indices des dipôles actifs originaux idx et estimés idx_est, en utilisant la matrice r_grid des positions des dipôles.
4. Calculer les DLE pour chaque algorithme sur 10 jeux de données différents, avec des matrices de bruit spatialement corrélé différentes, pour un RSB fixé à 1. Afficher les résultats sous forme de boxplots pour visualiser la distribution des erreurs.
5. Pour MNE et SISSY, calculer les DLE sur 10 jeux de données pour 5 valeurs différentes de RSB (entre 0.1 et 10). Afficher la moyenne des DLE en fonction du RSB dans une même figure pour comparer les performances en fonction du bruit.
6. Comparer et interpréter les résultats obtenus.

Exemple d’implémentation de la fonction DLE

function dle = DLE(idx, idx_est, r_grid)
    L = length(idx);
    L_est = length(idx_est);
    sum1 = 0;
    for k = 1:L
        distances = vecnorm(r_grid(idx(k), :) - r_grid(idx_est, :), 2, 2);
        sum1 = sum1 + min(distances);
    end
    sum2 = 0;
    for l = 1:L_est
        distances = vecnorm(r_grid(idx, :) - r_grid(idx_est(l), :), 2, 2);
        sum2 = sum2 + min(distances);
    end
    dle = (sum1 / (2 * L)) + (sum2 / (2 * L_est));
end

Glossaire des termes clés

• Algorithme Gibbs sampler : Méthode d’échantillonnage stochastique utilisée pour estimer la solution inverse en EEG.
• MNE (Minimum Norm Estimate) : Algorithme d’estimation inverse basé sur la minimisation de la norme de la solution.
• SISSY : Algorithme d’estimation inverse combinant parcimonie et régularisation.
• Dipole Localization Error (DLE) : Critère d’évaluation mesurant la distance moyenne entre les dipôles actifs estimés et réels.
• RSB (Rapport Signal sur Bruit) : Mesure du niveau de bruit par rapport au signal utile.
• Bruit spatialement corrélé : Bruit dont la covariance entre capteurs n’est pas nulle, modélisant une activité de fond.
• Seuil de parcimonie : Valeur limite utilisée pour identifier les dipôles actifs dans la solution estimée.
• Vérité de terrain : Configuration réelle des sources utilisée comme référence pour évaluer les algorithmes.

Points clés à retenir

• La performance des algorithmes d’inversion EEG se mesure par la comparaison des dipôles actifs estimés à la vérité de terrain.
• Le critère DLE est un indicateur robuste qui prend en compte la localisation des dipôles estimés et réels.
• Les algorithmes Gibbs sampler, MNE et SISSY ont des comportements différents face au bruit, notamment en termes de parcimonie et de robustesse.
• Le bruit spatialement corrélé modélise une activité de fond et impacte différemment les algorithmes.
• La comparaison qualitative par visualisation complète la comparaison quantitative par DLE pour une évaluation exhaustive.