Probabilités Appliquées : Variables Aléatoires Continues

Ce document présente les notions fondamentales des variables aléatoires continues en probabilités appliquées. Il s’adresse aux étudiants en mathématiques, informatique ou disciplines connexes souhaitant comprendre les définitions, propriétés, lois usuelles, ainsi que les outils d’analyse tels que la fonction caractéristique.

Définitions fondamentales

Soit Ω un ensemble infini non dénombrable, par exemple ℝ. Une tribu τ(Ω) est une σ-algèbre de Boole si elle vérifie :

• Si A ∈ τ(Ω), alors son complémentaire est aussi dans τ(Ω).
• ∅ ∈ τ(Ω).
• La réunion et l’intersection dénombrables d’éléments de τ(Ω) appartiennent à τ(Ω).

Une application P : τ(Ω) → ℝ est une probabilité si :

• Pour tout A ∈ τ(Ω), 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• P(Ω) = 1.
• Pour toute suite d’événements disjoints (A_i), P(∪ A_i) = Σ P(A_i).

Une variable aléatoire continue X est une application de Ω dans ℝ telle que pour tout Borel B de ℝ, X⁻¹(B) ∈ τ(Ω).

Exemple : Une variable X uniforme sur [0,1] prend toutes les valeurs dans cet intervalle avec la même probabilité. Pour tout x ∈ [0,1], P(X = x) = 0 car il y a une infinité de valeurs possibles.

Densité de probabilité

Une fonction f_X : ℝ → ℝ est une densité de probabilité associée à une variable aléatoire continue X si :

• f_X(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ.
• f_X est continue sauf en un nombre fini de points.
• ∫_ℝ f_X(x) dx = 1.

Exemples de densités

• Durée de vie d’une ampoule :
  f_X(x) = x pour 0 ≤ x ≤ 1, f_X(x) = 2 - x pour 1 ≤ x ≤ 2, et 0 ailleurs.
• Densité uniforme sur [a,b] :
  f_X(x) = 1/(b - a) si a ≤ x ≤ b, 0 sinon.
• Densité exponentielle de paramètre λ > 0 :
  f_X(x) = λ e^(-λx) si x ≥ 0, 0 sinon.
  Notation : X ∼ E(λ). Cette loi modélise des durées de vie sans vieillissement.
• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) :
  f_X(x) = (1 / (σ√(2π))) e^(-½ ((x - μ)/σ)^2), avec μ la moyenne et σ^2 la variance.
  Notation : X ∼ N(μ, σ²).

Fonction de répartition

La fonction de répartition F_X de X est définie par :

F_X(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^x f_X(t) dt

Propriétés :

• lim_{x→+∞} F_X(x) = 1
• lim_{x→−∞} F_X(x) = 0
• F_X est croissante et continue.
• Pour a < b, P(a ≤ X ≤ b) = F_X(b) − F_X(a) = ∫_a^b f_X(t) dt.

Exemples

• Loi uniforme U([a,b]) :
  F_X(x) = 0 si x < a,
  F_X(x) = (x - a)/(b - a) si a ≤ x < b,
  F_X(x) = 1 si x ≥ b.
• Loi exponentielle E(λ) :
  F_X(x) = 0 si x < 0,
  F_X(x) = 1 − e^(−λx) si x ≥ 0.

Couple de variables aléatoires continues

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires continues. La fonction de répartition conjointe est :

F_{X,Y}(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = ∫_{−∞}^x ∫_{−∞}^y f_{X,Y}(t,u) dt du

La densité conjointe f_{X,Y} vérifie :

• f_{X,Y}(x,y) ≥ 0
• ∫_ℝ ∫_ℝ f_{X,Y}(x,y) dx dy = 1
• f_{X,Y}(x,y) = ∂²/∂x∂y F_{X,Y}(x,y)

Indépendance : X et Y sont indépendantes si et seulement si :

F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) F_Y(y) et f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)

Lois marginales

Les lois marginales sont les lois des composantes X et Y du vecteur (X,Y). On a :

F_X(x) = lim_{y→+∞} F_{X,Y}(x,y) = ∫_ℝ ∫_{−∞}^x f_{X,Y}(t,u) dt du

Les densités marginales sont :

f_X(x) = ∫_ℝ f_{X,Y}(x,y) dy et f_Y(y) = ∫_ℝ f_{X,Y}(x,y) dx

Somme de deux variables aléatoires continues

Cas indépendant : Si X et Y sont indépendantes, la densité de S = X + Y est la convolution :

f_S(s) = ∫_ℝ f_X(s - y) f_Y(y) dy

Cas dépendant : Si X et Y ne sont pas indépendantes :

f_S(s) = ∫_ℝ f_{X,Y}(s - y, y) dy

Espérance et variance

L’espérance d’une variable aléatoire continue X de densité f_X est :

E(X) = ∫_ℝ x f_X(x) dx

Elle existe si ∫_ℝ |x| f_X(x) dx est convergente.

Propriétés :

• Linéarité de l’espérance.
• Espérance d’une constante égale à cette constante.
• Pour X et Y indépendantes, E(XY) = E(X) E(Y).
• Formule de transfert : si Y = ψ(X), alors E(Y) = ∫_ℝ ψ(x) f_X(x) dx.

La variance est définie par :

V(X) = ∫_ℝ (x − E(X))² f_X(x) dx = E(X²) − (E(X))²

Elle mesure la dispersion de X autour de son espérance.

Exemple d’exercice

Soit X une variable aléatoire de densité f définie par :

f(x) = a x e^(−x²/2) pour x ≥ 0, 0 sinon.

1. Déterminer la valeur de a.
2. Poser Y = X². Déterminer la fonction de répartition et la densité de Y.
3. Préciser la loi de Y.
4. Calculer l’espérance de Y.

Fonction caractéristique

La fonction caractéristique φ_X d’une variable aléatoire réelle X est définie par :

∀ u ∈ ℝ, φ_X(u) = E(e^{i u X}) = ∫_ℝ f_X(x) e^{i u x} dx

C’est la transformée de Fourier de la densité f_X. Elle caractérise complètement la loi de X.

La densité peut être retrouvée par inversion :

f_X(x) = (1 / 2π) ∫_ℝ φ_X(u) e^{-i u x} du

Cas discret : Si X est discrète de valeurs x_k, alors :

φ_X(u) = Σ_{k} P(X = x_k) e^{i u x_k}

Si X prend des valeurs entières k ≥ 0, la fonction caractéristique est liée à la fonction génératrice g_X par :

φ_X(u) = g_X(e^{i u})

Paramètres exprimés via la fonction caractéristique

• Espérance : E(X) = −i φ_X'(0)
• Variance : V(X) = −φ_X''(0) − (E(X))²
• Moments d’ordre k : m_k = (−i)^k φ_X^{(k)}(0)

Lois usuelles détaillées

Loi uniforme sur [a,b]

La densité est :

f(x) = 1/(b − a) si x ∈ [a,b], 0 sinon.

Espérance et variance :

E(X) = (a + b)/2

V(X) = (b − a)² / 12

Fonction caractéristique :

φ_X(t) = (e^{i b t} − e^{i a t}) / (i t (b − a))

Fonction de répartition :

F_X(x) = 0 si x < a, (x − a)/(b − a) si a ≤ x < b, 1 si x ≥ b.

Exemple d’application

Une bille tombe uniformément sur [0,1]. Soit X le point de contact. Calculer P(X ∈ [1/3, 1/2]) :

P = ∫_{1/3}^{1/2} 1 dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Loi normale N(μ, σ²)

Densité :

f_X(x) = (1 / (σ√(2π))) e^{−½ ((x − μ)/σ)²}

Espérance : E(X) = μ

Variance : V(X) = σ²

Fonction caractéristique :

φ_X(t) = exp(i μ t − ½ σ² t²)

Standardisation : Si X ∼ N(μ, σ²), alors Y = (X − μ)/σ ∼ N(0,1).

Propriétés importantes

• La fonction de répartition de N(0,1), notée π(x), est tabulée.
• π(−x) = 1 − π(x)
• P(−x ≤ X ≤ x) = 2 π(x) − 1

Exemple d’exercice

Soit X ∼ N(μ, σ²) avec :

• P(X ≤ 2) = 0,5793
• P(X > 5) = 0,2119

Calculer l’espérance et la variance de X.

Théorème de la limite centrale (TLC)

Soient X_1, X_2, ..., X_n des variables indépendantes de même loi, même espérance μ et même variance σ². Alors pour n grand :

S_n = Σ_{i=1}^n X_i ∼ N(n μ, n σ²)

Autrement dit :

(S_n − n μ) / (σ √n) ∼ N(0,1)

La loi normale apparaît comme loi limite universelle, quelle que soit la loi des X_i, à condition que μ et σ existent.

Exemple d’application

La glycémie dans une population suit une loi normale de moyenne 1 g/l et d’écart-type 0,03 g/l.

1. Calculer la probabilité que la glycémie d’un individu soit :
• a) inférieure à 1,06 g/l
• b) supérieure à 0,9985 g/l
• c) comprise entre 0,94 et 1,08 g/l
2. Pour un échantillon de 1000 individus, donner le nombre moyen dont la glycémie est supérieure à 0,99 g/l.

Glossaire des termes clés

• Variable aléatoire continue : Fonction mesurable de l’espace probabilisé vers ℝ, prenant une infinité non dénombrable de valeurs.
• Densité de probabilité : Fonction positive intégrant à 1, décrivant la distribution d’une variable continue.
• Fonction de répartition : Fonction cumulative donnant la probabilité que X soit inférieur ou égal à x.
• Fonction caractéristique : Transformée de Fourier de la densité, caractérisant entièrement la loi d’une variable.
• Indépendance : Deux variables sont indépendantes si leur fonction de répartition conjointe factorise en produit des marginales.
• Convolution : Opération donnant la densité de la somme de deux variables indépendantes.
• Espérance : Moyenne pondérée des valeurs possibles d’une variable aléatoire.
• Variance : Mesure de la dispersion autour de l’espérance.
• Loi uniforme : Loi continue avec densité constante sur un intervalle.
• Loi exponentielle : Loi continue modélisant des durées sans vieillissement, décroissante exponentielle.
• Loi normale : Loi en forme de cloche, symétrique, caractérisée par sa moyenne et sa variance.
• Théorème de la limite centrale : Résultat fondamental assurant que la somme normalisée de variables indépendantes tend vers une loi normale.

Points clés à retenir

• Les variables aléatoires continues ne peuvent pas être décrites par P(X = x), qui est toujours nul.
• La densité de probabilité est la notion centrale pour décrire les variables continues.
• La fonction de répartition est croissante, continue, et relie la densité à la probabilité.
• La fonction caractéristique est un outil puissant pour analyser et caractériser les lois.
• Les lois uniformes, exponentielles et normales sont des modèles fondamentaux en probabilités continues.
• La somme de variables indépendantes a une densité donnée par la convolution des densités.
• L’espérance et la variance s’expriment par des intégrales sur la densité.
• Le théorème de la limite centrale justifie l’omniprésence de la loi normale en statistique.