[a,b]

:

f (x) =

1

{

1 b−a

si a ≤ x ≤ b b − a

0 sinon

F

X

1

a≤x≤b

(x) =

  

 

0 si x < a (t) =

x−a b−a

si a ≤ x < b 1 si x ≥ b

Elle est donc continue, mais non dérivable en a et b.

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Exemples

Exemple 2: X ∼ E(λ)

f (x) = λe

−λx

1

R

+

(x)

F(x)=1 − e−λx1

R

+

(x)

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Définition

Soit (X,Y), un couple de variables aléatoires continues.

Définition On appelle fonction de répartition du vecteur aléatoire (X,Y ) la fonction F définie par : F : R2 → [0,1]

(x,y) → P{X ≤ x,Y ≤ y}

On dit que cette fonction F définit la ”loi de probabilité” du vecteur (X,Y).

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Densité d’un couple aléatoire continu

Soit X et Y deux variables aléatoires continues définies sur Ω alors la densité associé au couple (X,Y) est l’application: f

(X,Y )

: R2 → R qui (x,y) → f

(X,Y )

(x,y) et vérifiant :

1

f

(X,Y )

≥ 0

2

∫

R

∫

R

f

(X,Y)

(x,y)dxdy = 1

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique

Soit X et Y deux variables aléatoires continues définies sur Ω, alors la fonction de répartition associé au couple (X,Y) est l’application: F

X,Y

: R2 → R

(x,y) → P{X ≤ x,Y ≤ y} =

∫

x

−∞

∫

y

−∞

f

(X,Y )

(x,y)dxdy

Propriété:

f

(X,Y)

(x,y) =

∂2 ∂x∂y

F

(X,Y)

(x,y)

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Indépendance

Soient X et Y deux variables aléatoires continues. On dit qu’elles sont indépendantes ssiF

(X,Y)

= F

X

F

Y On dit qu’elles sont indépendantes ssi f

(X,Y)

= f

X

f

Y

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Lois marginales

On appelle lois marginales les lois des composantes d’un vecteur aléatoire On a: F

X

∫

R

∫

x (x) =

−∞

f

(X,Y)

(t,u)dtdu = y→+∞

lim

F

(X,Y )

(x,y)

F

Y

∫

R

∫

y (y) = Et les densités −∞

correspondantes f

(X,Y)

(t,u)dtdu

sont :

f

X

∫ (x) =

y∈R

f

(X,Y)

(x,y)dy

et

f

Y

∫ (y) =

x∈R

f

(X,Y)

(x,y)dx

appelées densités marginales

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Somme de deux v.a.c

Cas o`u X et Y sont indépendantes Soient X et Y deux v.a.c indépendantes alors on admet que S = X + Y admet pour densité: F

S

∫

R

∫ (s) =

F

X

(s − y)f

Y

(y)dy =

F

Y

(s − x)f

X

(x)dx R f

S

∫ (s) = F

S

(s) =

R

f

X

(s − y)f

Y

(y)dy

=⇒f

S

= f

X

⊛ f

Y

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique

Cas o`u X et Y ne sont pas indépendantes Soient X et Y deux v.a.c non indépendantes alors on admet que S = X + Y admet pour densité:

F

S

∫

R

∫ (s) =

F

(X,Y

)(s − y,y)dy =

R

F

(X,Y

)(x,s − x)dx

ce qui donne :

f

S

∫ (s) =

R

f

(X,Y)

(s − y,y)dy

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Espérance

Définition Soit X une variable aléatoire continue on définie: L espérance de X : E(x) =

∫

R

xf

X

(x)dx

RQ : E(X) existe si

∫

R

|x|f

X

(x)dx est convergente

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique

Propriétés:

1

Les propriétés énoncées pour l’espérance des variables aléatoires discr`etes (espérance d’une constante, linéarité, espérance d’un produit de variables aléatoires indépendantes) restent vraies dans le cas de variables continues.

2

Formule de transfert: La formule de transfert s’adapte au cas continu : si X a pour densité f

X

, et si ψ est une fonction continue, alors la variable Y = ψ(X) a pour espérance:

E(Y) =

∫

R

ψ(x)f

X

(x)dx

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique La variance

Définition : La variance d’une variable aléatoire continue possédant une densité f

X

est définie par analogie avec les variables discr`etes comme :

V(X) =

∫

+∞

−∞

(x − E(X))2 f

X

(x) dx

Remarques:

V(X) = E(X o`u: E(X 2) =

2) ∫

R

− x2f

E(X)2

X

(x)dx

La variance est une quantité qui mesure comment la v.a.r X se ”disperse” autour de son espérance.

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Exercice

Soit a ∈ R et soit X une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité f est définie, pour tout x ∈ R par :

f (x) = axe

− x

4

2

1

[0,+∞[

(x)

1

Quelle est la valeur de a ?

2

On pose Y = X 2.

1

Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Y et préciser sa densité.

2

Quelle est la loi de la variable aléatoire Y ?

3

Calculer l’espérance de la variable aléatoire Y.

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Fonction Caractéristique

Définition Etant ́

donnée une variable aléatoire réelle X , on appelle fonction caractéristique de X la fonction numérique φ

X

définie de R dans C par :

∀u ∈ R φ

X

(u) = E(e

iuX

)

Remarquons que:

La fonction caractéristique ne dépend en fait que de la loi f

X de X : c’est la ”transformée de Fourier” de la loi f

X

, en effet :

φ

X

∫ (u) = E(e

iuX

) =

f

X

(x)e

iux dx R

= F(f )(

−u 2π

)

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Param`etres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique

La fonction caractéristique φ

X

d’une variable aléatoire réelle X définit parfaitement la loi de probabilité f de X (réciprocité de la transformation de Fourier F) et on peut écrire:

f (x) =

1 2π

∫

R

(u)e−iuxdu

1 2π

φ

X

est un facteur normalisation.

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Parametres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Cas d’une variable aléatoire discrete

Si X est une variable aléatoire discr`ete de valeurs x

k

, k ≥ 1, sa fonction caractéristique prend la forme d’une série de Fourier :

φ

X

∞∑

k=1

iux

k

Si X est une variable aléatoire discrete de valeurs entieres k ≥ 0, sa fonction caractéristique est liée `a sa fonction génératrice g

X

(u) =

P(X = x

k

)e

par:

φ

X

(u) = g

X

(e

iu

)

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Définitions Densité de probabilité Couple Aléatoire : cas continu Parametres d’une variable aléatoire continue Fonction caractéristique Parametres d’une v.a

L’espérance E(X) s’exprime `a l’aide de la fonction caractéristique φ

X

par :

E(X) = −iφ

X

(0)

La variance V(X) s’exprime `a l’aide de la fonction caractéristique φ

X

par :

V(X) = −φ

X

2

Rappelons que m

K

(0) + (φ

X

(0))

= E(X k) =Le moment d’ordre k ≥ 0, s’exprime par :

m

k

= (−i)kφ

(k) X

(0)

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Loi Uniforme

On dit qu’une v.a continue X suit une loi uniforme sur [a,b] lorsqu’elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie par:

f (x) =

{

1 b−a 0 si x ∈ [a,b] sinon

On peut facilement vérifier que f est une densité de probabilité E(x) V(x) = =

b+a

(a−b)2

2

12

ψ

X

(t) =

∫

a

b

exp(ixt) b − a

dx =

exp(ibt) i(b − − a)t

exp(iat)

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

En effet:

E(X) =

∫

b

a

1

b2 − a2 b − a

2

a + b 2

E(X 2) =

∫

a

b b b − 1 − 1 a

a xdx x 2 dx =

=

b − 1

×

a

×

b3 − 3

=

a2 + ab + b2 3 d’o`u :V(X) = E(X 2) − E(X)2 = a2+ab+b2

3

a3

=

(b−a)2 12

ψ

X

− a2+2ab+b2

4

=

(t) = E(eitX) = b−a

1

eitb − eita

∫

b

e

itx

dx = a

1

[

eitx b − a

t

]

b

= a

it(b − a)

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

La fonction de répartition d’une loi uniforme U([a,b]) se définit par :

F

X

  

0 si x < a (t) =

 

1 x−a b−a

si a ≤ x < b si x ≥ b Elle est donc continue, mais non dérivable en a et b, qui représente les bornes de l’intervalle de définition.

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Exemple

Une bille tombe sur [0,1]. Soit X =pt de contact de la bille On On cherche pose f (x) P(X = X

∈ [0,1] [1 3

, (x). 1 2

])

f est une densité de probabilité associée `a la v.a.r X

P(X ∈ [1 3

∫

1 , 1 2

2

1 3 ]) =

f (x)dx =

1 6

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Loi Normale

On dit qu’une v.a continue X ∼ N(μ, σ) lorsqu’elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie par:

f (x) =

σ

√ 1

2π

e

− 1 2

( x−m

σ

)2

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Lemme

Si f (x) = σ

1

e− 1 2

(

x−μ σ

)2

alors f (x) = −

x−μ σ2

f (x)

En effet : f (x) = σ

1

√

2π

⇔ f √

2π (x) = σ

(

e− 1 2

(

x−μ σ

1

(

−1 2

)2

)

)

e−

1 2

x−μ σ

)2

⇔ f (x) = σ

√

2π

(

x−μ σ

)2

(

1

))e− 1 2

x−μ σ

)2

⇔ f (x) = σ

√

2π

(−21 2

(

x−μ σ2

(

⇔ f (x) = −

√

x−μ 1

2π

1

x−μ 2

σ

)2 x−μ

( σ2

σ2

(−

f (x)

)e−

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Exercice

1

Vérifier que f est bien une densité de probabilité

2

Calculer E(X) et V(X)

3

4

Montrer Montrer que que X si X ∼ ∼ N(m,σ) N(0,1) ⇔ alors

(Y =

X−μ σ

) ∼ N(0,1)

∀t ∈ IR P(X ≤ −t)=1 − P(X ≤ t)

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

1

∫

R

√

π

2

e

−x2

= ∫ E(X) = xf (x)dx ⇒ E(X) = R

σ2

∫

R

x−μ σ2

x = σ2

x σ2 − ∫ μ

f

(x)dx + μ

or :

∫

x − μ

f (x)dx ∫

+ μ

x→+∞ lim

R

σ2

f (x)dx = −

R

f (x)dx = [−f (x)]

+∞ −∞

=

paire) probabilité.

f et

(x) ∫

R

− f (x)dx x→−∞

lim

f (x) = 0(car la fonction de densité = 1 car f (x) est une densité de

est

⇒ E(X) = m V(X) = σ2 le résultat est évident en intégrant par partie :

V(X) =

∫

+∞

−∞

(x − m)

2

.

√

2πσ 1

e

− 1 2

( x−m

σ

)2

dx

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Propriété La fonction caractéristique d’une loi normale N(μ, σ2) est :

E(e

(

μit − σ

)

En effet : E(etX) = σ

itX

) = exp

2

t2 2 ( 1

tx −

)

dx =

1 σ

(

σtv + √

tμ 2π

− ∫

−∞

+∞

v2 2

)

exp

(x−μ)2 2σ2

√

etμ √

2π

2π

∫

∫

−∞

+∞

exp

σdv =

+∞ −∞

(

σtv − v2 2

) exp

dv par le changement de variables x = μ + σv En remarquant que σtv − v2 2

2 ∫

+∞

= − 1 2

(v − σt)

+ σ2t2

2

, il vient :

−∞

(

σtv −

)

dv = ∫

+∞

−∞

exp

[

v2 2

−

1 2

σ2t2 2

]

dv =

√

2π exp

(

σ2t2 2

) exp

(v − σt)

2

+

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Proprieté

Y ∼ N(μ, σ2) ⇔ X =

Y σ

− μ

∼ N(0,1)

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Table de la fonction de répartition de N(0,1)

Pour calculer π(x) = F

X

(x) avec un nombre positif x, il suffit d’utiliser directement la table. Exemple :π(1.2) = 0,88493 Pour calculer π(x) avec un nombre négatif , on utilise la propriété : ∀x ∈ R π(−x)=1 − π(x) P(−x ≤ X ≤ x)=2π(x) − 1

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Exercice

Ex: Calculer l’espérance mathématique et la variance d’une variable aléatoire normale X sachant que ::

P(X ≤ 2) = 0,5793 et P(X > 5) = 0,2119.

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Théor`eme de la limite Centrale TLC

TLC Si X

1

,X

2

,...,X

n

sont des variables indépendantes de même loi de probabilité, de même espérance μ et de même variance σ2, alors lorsque n est suffisamment grand :

S

n

=

n∑

X

i

∼ N(nμ,nσ2)

i=1 Autrement :

S

n σ

− √

n nμ

∼ N(0,1)

La loi normale apparaˆıt comme loi limite ( pour n ≥ 30 )quelle que soit la loi des X

i

(il faut juste que μ et σ existent). Ceci montre le caract`ere universel des lois normales et leur importance.

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Loi Uniforme Loi normale ou de Laplace-Gauss X ∼ N(μ, σ)

Exercice

Ex: On suppose que la glycémie est distribuée normalement dans la population, avec une moyenne de 1gl et un écart-type de 0,03gl. On mesure la glycémie chez un individu.

1

Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit : a) inférieure a 1,06 ; b) supérieure a 0,9985 ; c) comprise entre 0,94 et 1,08 ;

2

On mesure la glycémie chez 1000 individus choisis au hasard. Donner le nombre moyen d’individus dont la glycémie est supérieure `a 0,99

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