Module d’Electricité

Ce module d’électricité couvre les notions fondamentales de l’électrocinétique en régime continu, destinées aux étudiants en sciences et ingénierie. Il présente les caractéristiques des dipôles passifs et actifs, leurs associations, ainsi que les théorèmes et méthodes essentiels pour analyser les circuits électriques linéaires et non linéaires.

Dipôles passifs

Un dipôle passif est un dipôle récepteur de puissance qui consomme de l’énergie électrique et la transforme en chaleur. Sa caractéristique tension-courant U(I) passe par l’origine (U = 0 V, I = 0 A).

Dipôle passif non linéaire

La caractéristique U(I) n’est pas une droite. On distingue :

• Dipôle passif non linéaire symétrique : la courbe U(I) est symétrique par rapport à l’origine.
• Dipôle passif non symétrique : la courbe U(I) n’est pas symétrique, et son comportement dépend du sens de branchement.

Dipôle passif linéaire

La caractéristique U(I) est une droite passant par l’origine, caractérisée par la résistance R :

R = U / I  (loi d’Ohm)

Les dipôles passifs linéaires sont les résistances et conducteurs ohmiques. La conductance G est l’inverse de la résistance :

G = 1 / R

Unité de la conductance : siemens (S).

Association de dipôles passifs linéaires

Une association de dipôles passifs linéaires se comporte comme un dipôle passif linéaire de résistance équivalente Réq.

Association en série

La tension totale est la somme des tensions aux bornes de chaque résistance :

U = U1 + U2 + U3
U1 = R1 I,  U2 = R2 I,  U3 = R3 I
U = (R1 + R2 + R3) I = Réq I

En série, les résistances s’additionnent :

Réq = Σ Ri

Association en parallèle

En parallèle, les conductances s’additionnent :

Géq = Σ Gi
ou
1 / Réq = Σ (1 / Ri)

Cas particulier de deux résistances :

Réq = (R1 × R2) / (R1 + R2)

Exemple

Soient R1 = 1 kΩ, R2 = 2,2 kΩ et R3 = 10 kΩ en parallèle. Calculer RAB :

1 / RAB = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3
1 / RAB = 1 / 1000 + 1 / 2200 + 1 / 10000
RAB ≈ 643 Ω

Diviseur de tension

Le diviseur de tension permet de répartir une tension U en autant de tensions Ui qu’il y a de résistances Ri en série :

U1 = R1 I
U2 = R2 I
U = U1 + U2 = (R1 + R2) I

La tension est proportionnelle à la résistance :

U1 / U = R1 / (R1 + R2)
U2 / U = R2 / (R1 + R2)

Formule générale :

Ui = (Ri / Σ Ri) × U

Exemple

Calculer la tension E dans un diviseur de tension avec R1 = 8 Ω et R2 = 82 Ω :

E = (8 / (8 + 82)) × U = 0,08 × U ≈ 2,79 V

Diviseur de courant

Le diviseur de courant divise un courant I en autant de courants Ii qu’il y a de résistances Ri en parallèle :

Ii = (Gi / Σ Gi) × I

Cas particulier de deux résistances :

I1 = (G1 / (G1 + G2)) × I = (R2 / (R1 + R2)) × I
I2 = (G2 / (G1 + G2)) × I = (R1 / (R1 + R2)) × I

Théorème de Millman

Le théorème de Millman, issu de la loi des nœuds, permet de calculer la tension au point A dans un circuit avec plusieurs branches :

Σ ((Vi - VA) / Ri) + Σ Ii = 0

En utilisant des tensions référencées par rapport à la même masse :

UA = (Σ (Ui / Ri) + Σ Ii) / Σ (1 / Ri)

Exemple

Calculer la tension U au point A :

U = (U1 / R1 + U2 / R2) / (1 / R1 + 1 / R2) ≈ 5,8 V

Dipôles actifs

Un dipôle actif est un dipôle générateur ou récepteur qui ne consomme pas uniquement de l’énergie. Sa caractéristique U(I) ne passe pas par l’origine et il présente une polarité.

Exemples : pile, photopile, dynamo (générateurs), batterie en recharge, moteur à courant continu (récepteurs).

Dipôle actif non linéaire

La caractéristique U(I) n’est pas une droite. Par exemple, pour une pile :

• À vide (I = 0 A) : U = E (force électromotrice ou tension à vide).
• En court-circuit (U = 0 V) : I = Icc (courant de court-circuit).

Dipôle actif linéaire

La caractéristique U(I) est une droite qui ne passe pas par l’origine, exprimée par :

U = E - R I

où R est la résistance interne du dipôle :

R = E / Icc

Autre écriture :

I = Icc - U / R

Modèles équivalents

• Modèle de Thévenin (série) : source de tension parfaite E en série avec une résistance R.
• Modèle de Norton (parallèle) : source de courant parfaite Icc en parallèle avec une résistance R.

Relations entre les deux modèles :

E = R × Icc
Icc = E / R

Exemple

Pour un dipôle avec E = 7 V, R = 1 Ω, et I = 1 A :

U = E - R I = 7 - 1 × 1 = 6 V

Association de dipôles linéaires

Considérons l’association d’une pile (E = 9 V, R = 2 Ω) et d’une résistance de 8 Ω. Pour connaître la caractéristique U(I) de l’ensemble :

Méthode 1 : Lois de Kirchhoff

U = E - R I
U = R2 I
=> E - R I = R2 I
=> U = E - (R + R2) I

En remplaçant les valeurs :

U = 9 - (2 + 8) I = 9 - 10 I

Méthode 2 : Théorèmes de Thévenin et Norton

• Calcul de la tension à vide E :

E = (R2 / (R + R2)) × 9 = (8 / (2 + 8)) × 9 = 7,2 V

• Calcul du courant de court-circuit Icc :

9 - 2 Icc = 0
Icc = 4,5 A

• Calcul de la résistance interne :

R = E / Icc = 7,2 / 4,5 = 1,6 Ω

La caractéristique finale est :

U = 7,2 - 1,6 I

Méthode 3 : Équivalence des modèles

En série, on utilise le modèle de Thévenin, en parallèle le modèle de Norton pour simplifier les associations.

Théorème de superposition

Dans un circuit linéaire avec plusieurs sources, la tension ou le courant entre deux points est la somme des contributions de chaque source prise isolément.

• Éteindre une source de tension revient à la remplacer par un fil (tension nulle).
• Éteindre une source de courant revient à l’ôter du circuit (courant nul).

Exemple

Soit deux sources de tension U1 et U2. On calcule :

• Avec U1 seule : U’ = 32,05 V
• Avec U2 seule : U’’ = 18,89 V

La tension totale est :

U = U’ + U’’ = 8,5 V

Association de dipôles non linéaires

Pour les dipôles non linéaires, une méthode graphique est nécessaire pour déterminer le courant et la tension aux bornes.

Exemple : diode

Caractéristique de la diode :

U = 5 - 50 I  (équation d’une droite)

On lit sur la caractéristique :

• I ≈ 84 mA
• U ≈ 0,8 V

Linéarisation de la caractéristique d’un dipôle non linéaire

La caractéristique réelle peut être simplifiée par des segments de droite. Pour la diode :

5 = 0,7 + 50 I
=> I = (5 - 0,7) / 50 = 86 mA

Le schéma équivalent devient un dipôle linéaire avec une tension de 0,7 V en série avec une résistance équivalente.

Glossaire des termes clés

• Dipôle passif : élément qui consomme de l’énergie électrique et la transforme en chaleur.
• Dipôle actif : élément qui peut fournir de l’énergie électrique (générateur) ou en consommer (récepteur).
• Résistance (R) : rapport entre la tension et le courant dans un dipôle passif linéaire, selon la loi d’Ohm.
• Conductance (G) : inverse de la résistance, unité en siemens (S).
• Force électromotrice (E) : tension à vide d’un dipôle actif.
• Courant de court-circuit (Icc) : courant lorsque la tension aux bornes du dipôle actif est nulle.
• Modèle de Thévenin : représentation d’un dipôle actif par une source de tension en série avec une résistance.
• Modèle de Norton : représentation d’un dipôle actif par une source de courant en parallèle avec une résistance.
• Diviseur de tension : montage permettant de répartir une tension selon les résistances en série.
• Diviseur de courant : montage permettant de répartir un courant selon les résistances en parallèle.
• Théorème de Millman : méthode pour calculer la tension en un point commun à plusieurs branches.
• Théorème de superposition : principe selon lequel la réponse d’un circuit linéaire à plusieurs sources est la somme des réponses à chaque source prise isolément.

Points clés à retenir

• Les dipôles passifs linéaires respectent la loi d’Ohm avec une caractéristique U(I) linéaire passant par l’origine.
• Les associations en série et en parallèle modifient la résistance équivalente selon des règles simples.
• Les dipôles actifs ont une caractéristique U(I) décalée, avec une force électromotrice et une résistance interne.
• Les modèles de Thévenin et Norton permettent de simplifier l’analyse des circuits linéaires.
• Le théorème de superposition est essentiel pour analyser les circuits comportant plusieurs sources.
• Pour les dipôles non linéaires, la méthode graphique et la linéarisation par segments de droite facilitent l’étude.