Modèles décisionnels : pénurie lait Tunisie – Exercices utilité espérée

Exercice 1 : Modèles graphiques décisionnels

Question a - Stratégies de décision possibles

Une stratégie de décision est un plan d'action complet qui spécifie un choix pour chaque nœud de décision rencontré dans l'arbre. D'après l'énoncé, la première décision concerne le type d'investissement. Si l'agrandissement est choisi, le processus s'arrête. Si la construction d'une nouvelle usine est choisie, deux autres décisions séquentielles ou simultanées suivent : le lieu (Sfax ou Le Kef) et le nom (même nom ou nouveau nom).

Les stratégies possibles se déduisent des combinaisons de ces choix :

1. Agrandir l'usine existante.
2. Construire une nouvelle usine à Sfax, et garder le même nom de lait.
3. Construire une nouvelle usine à Sfax, et choisir un nouveau nom.
4. Construire une nouvelle usine au Kef, et garder le même nom de lait.
5. Construire une nouvelle usine au Kef, et choisir un nouveau nom.

Question b - Utilité espérée et stratégie optimale

L'énoncé fourni est incomplet (probablement endommagé lors de l'extraction du document). Il mentionne que « Les utilités au bout de l'arbre de décision sont exprimées en MD » mais ne fournit ni l'arbre de décision, ni les probabilités des événements incertains, ni les valeurs numériques des utilités pour chaque branche.

Par conséquent, il est impossible de calculer l'utilité espérée de chaque stratégie et de déterminer la stratégie optimale. Les données manquantes ne doivent pas être inventées.

Exercice 2 : Décision avec prévision météorologique

Question 1 - Représentation en réseau bayésien

Pour modéliser ce problème sous forme de diagramme d'influence (réseau bayésien décisionnel), nous devons introduire les nœuds suivants :

• Un nœud de chance « Prévision » (annonce de la météo : soleil ou pluie).
• Un nœud de chance « Temps » (météo réelle : soleil ou pluie).
• Un nœud de décision « Parapluie » (choix de Jacques : oui ou non).
• Un nœud de valeur « Utilité » (dépend de la décision prise et de la météo réelle).

Les arcs probabilistes et d'information sont les suivants :

• Un arc de « Prévision » vers « Temps » (car les probabilités de la météo réelle sont conditionnées par l'annonce, fiables à 90 %).
• Un arc de « Prévision » vers « Parapluie » (si Jacques écoute la radio, il connaît la prévision avant de décider).
• Des arcs de « Temps » et « Parapluie » vers « Utilité », car le gain dépend de l'état réel et du choix.

Question 2 - Décision optimale si la météo annonce du soleil

Nous utilisons les probabilités conditionnelles données par la fiabilité de la météo. La prévision est fiable à 90 %, ce qui signifie : P(Temps = soleil | Prévision = soleil) = 0,9 P(Temps = pluie | Prévision = soleil) = 0,1

Calculons l'utilité espérée (UE) pour chaque décision, sachant que la prévision annonce du soleil :

• UE(Parapluie = non) = P(soleil|prévision soleil) × U(non, soleil) + P(pluie|prévision soleil) × U(non, pluie) UE(Parapluie = non) = 0,9 × 50 + 0,1 × (-100) = 45 - 10 = 35

• UE(Parapluie = oui) = P(soleil|prévision soleil) × U(oui, soleil) + P(pluie|prévision soleil) × U(oui, pluie) UE(Parapluie = oui) = 0,9 × (-15) + 0,1 × (-5) = -13,5 - 0,5 = -14

Puisque 35 > -14, la décision optimale si la météo annonce du soleil est de ne pas prendre de parapluie.

Question 3 - Décision optimale si Jacques oublie d'écouter le bulletin

Si Jacques n'a pas accès à la prévision, il doit se baser sur les probabilités marginales (a priori) du temps réel. L'énoncé indique que la prévision annonce 7 fois sur 10 du soleil : P(Prévision = soleil) = 0,7 et P(Prévision = pluie) = 0,3. Calculons la probabilité réelle du soleil par la loi des probabilités totales : P(Temps = soleil) = P(Temps = soleil | Prév = soleil) × P(Prév = soleil) + P(Temps = soleil | Prév = pluie) × P(Prév = pluie) P(Temps = soleil) = 0,9 × 0,7 + 0,1 × 0,3 = 0,63 + 0,03 = 0,66 P(Temps = pluie) = 1 - 0,66 = 0,34

Calculons l'utilité espérée sans l'information de la prévision :

• UE(Parapluie = non) = 0,66 × 50 + 0,34 × (-100) = 33 - 34 = -1
• UE(Parapluie = oui) = 0,66 × (-15) + 0,34 × (-5) = -9,9 - 1,7 = -11,6

Puisque -1 > -11,6, la décision optimale s'il oublie d'écouter la météo est de ne pas prendre de parapluie.

Note sur la solution fournie dans l'énoncé : La solution imprimée dans l'exercice indique « ne pas prendre de parapluie (utilité espérée: -1) ; prendre un parapluie (utilité espérée: -11, 6) ». L'énoncé source liste en réalité les deux calculs d'utilité espérée pour le seul scénario où Jacques oublie la météo. De plus, il désigne à tort « prendre un parapluie » comme une décision maximisant l'utilité, ce qui est mathématiquement faux puisque -11,6 est inférieur à -1. Les calculs démontrés ci-dessus sont les seuls corrects.

Question 4 - Comparaison avec l'arbre de décision de Raiffa

Dans un arbre de décision de Raiffa, la modélisation est strictement chronologique et asymétrique. L'arbre commence par un nœud de chance pour la prévision (qui sépare l'arbre en branches distinctes), suivi de nœuds de décision pour le parapluie sur chaque branche, et enfin de nœuds de chance pour la météo réelle. Le réseau bayésien est généralement beaucoup plus compact : il factorise les variables et utilise de simples flèches pour indiquer la dépendance informationnelle (ce qui est connu au moment de la décision), évitant ainsi la redondance visuelle des arbres de décision classiques.

Exercice 3 : Gilbert à Roland-Garros

Question 1 - Détermination des gains conditionnels

Avant de calculer les utilités espérées, nous devons traduire les règles de l'énoncé en un tableau de chiffre d'affaires (CA) pour chaque option selon le climat.

• Option A (Parapluies, Max 2000 €) :
  • Beau : 0 €
  • Pluvieux : 0 € (matchs annulés, ne vend rien)
  • Orageux : 2000 € (écoule son stock)
  • Frais : 0 €
• Option B (Boissons, Max 1000 €) :
  • Beau : 1000 € (vend tout)
  • Pluvieux : 0 €
  • Orageux : 1000 € (vend tout car temps chaud)
  • Frais : 200 € (20 % du stock, soit 0,2 × 1000)
• Option C (Diversifié, Max 1000 € parapluies et 500 € boissons) :
  • Beau : 500 € (boissons) + 0 € = 500 €
  • Pluvieux : 0 €
  • Orageux : 500 € (boissons) + 1000 € (parapluies) = 1500 €
  • Frais : 100 € (20 % de 500 €) + 0 € = 100 €
• Option D (Activité indépendante) :
  • 300 € quel que soit le temps.

Question 2 - Décision optimale si la météo annonce un temps « frais »

L'énoncé stipule que la météo est fiable à 70 %. Si elle est erronée, le climat se répartit équitablement sur les 3 autres possibilités (soit 30 % / 3 = 10 % pour chaque autre climat). Si la météo annonce « frais », les probabilités réelles sont : P(Frais) = 0,7 ; P(Beau) = 0,1 ; P(Pluvieux) = 0,1 ; P(Orageux) = 0,1.

Calculons l'espérance de CA pour chaque option :

• E(A) = 0,1 × 0 + 0,1 × 0 + 0,1 × 2000 + 0,7 × 0 = 200 €
• E(B) = 0,1 × 1000 + 0,1 × 0 + 0,1 × 1000 + 0,7 × 200 = 100 + 0 + 100 + 140 = 340 €
• E(C) = 0,1 × 500 + 0,1 × 0 + 0,1 × 1500 + 0,7 × 100 = 50 + 0 + 150 + 70 = 270 €
• E(D) = 300 €

La décision optimale est l'Option B (Emporter des boissons), avec un chiffre d'affaires espéré de 340 €. Cela correspond parfaitement à la solution donnée.

Question 3 - Décision optimale en cas de grève (aucune prévision)

Sans prévision, Gilbert utilise les probabilités a priori. L'énoncé précise que les prévisions sont « de manière équilibrée » pour les 4 types de climat. Par la loi des probabilités totales, la probabilité réelle de chaque climat reste équiprobable : P(Beau) = P(Pluvieux) = P(Orageux) = P(Frais) = 0,25.

Calculons l'espérance de CA pour chaque option avec ces probabilités équiprobables :

• E(A) = 0,25 × (0 + 0 + 2000 + 0) = 500 €
• E(B) = 0,25 × (1000 + 0 + 1000 + 200) = 0,25 × 2200 = 550 €
• E(C) = 0,25 × (500 + 0 + 1500 + 100) = 0,25 × 2100 = 525 €
• E(D) = 300 €

La décision optimale est de nouveau l'Option B (Emporter des boissons), avec un chiffre d'affaires espéré de 550 €. Cela valide également la solution de l'énoncé.

Méthode

Face à un problème d'utilité espérée et de théorie de la décision :

1. Identifiez les matrices de gains : Traduisez toujours le texte en un tableau croisé liant [Options] et [États de la nature]. Une erreur de lecture (par exemple oublier que les matchs annulés mettent le CA à 0) faussera tout le reste.
2. Clarifiez le sens des probabilités : Faites très attention à distinguer la probabilité d'un événement sachant une prévision (ex: P(Temps = Soleil | Annonce = Soleil) = 0,90) de la probabilité a priori (P(Temps = Soleil)).
3. Méfiez-vous des erreurs d'énoncé : Il arrive fréquemment que les corrigés officiels contiennent des coquilles (comme dans l'exercice 2 où la correction copie deux valeurs du même scénario). Fiez-vous toujours à vos calculs s'ils suivent rigoureusement le théorème de Bayes et le calcul de l'espérance mathématique (Somme des P(i) × Utilité(i)).
4. En cas de données manquantes : Comme démontré à l'exercice 1, n'inventez jamais de valeurs. Énoncez formellement la structure du problème et expliquez précisément pourquoi le calcul numérique ne peut aboutir.