Méthodes de Monte Carlo & Simulation des Modèles Financiers

Ce matériel couvre les méthodes de Monte Carlo appliquées à la simulation et à l’estimation dans les modèles financiers. Il s’adresse aux étudiants et professionnels en finance quantitative souhaitant comprendre comment estimer des espérances, des quantiles et construire des intervalles de confiance dans un cadre stochastique, notamment en utilisant le modèle de Black-Scholes.

Estimation d’une espérance

Estimation ponctuelle

Soit X1, X2, ..., Xn un échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) issues d’un générateur de nombres aléatoires (ex. R, Matlab). L’estimateur de Monte Carlo de la quantité θ = E[g(X)] est donné par :

θ̂n ≡ (1/n) ∑(i=1 à n) g(Xi)

Remarque : θ̂n est une variable aléatoire dépendant de l’échantillon. Par exemple, si X représente un prix d’actif à maturité T et que l’on souhaite tarifer une option d’achat, alors :

g(X) = e^(-rT) max(X - K, 0)

Estimation par intervalle de confiance - Écart-type connu

Supposons que la variance σ² = Var[g(X)] est finie et connue. L’estimateur θ̂n est sans biais et convergent :

• E[θ̂n] = θ
• Var(θ̂n) = σ² / n → 0 lorsque n → ∞

La loi forte des grands nombres garantit la convergence presque sûre :

Pr(lim n→∞ θ̂n = θ) = 1

Le théorème central limite implique que :

√n (θ̂n - θ) / σ → N(0, 1) en loi lorsque n → ∞

On peut donc construire un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1 - α :

[θ̂n - z_(α/2) (σ/√n),  θ̂n + z_(α/2) (σ/√n)]

où z_(α) est le quantile d’ordre 1 - α de la loi normale centrée réduite.

La marge d’erreur associée est :

marge d’erreur = z_(α/2) (σ/√n)

Estimation par intervalle de confiance - Écart-type inconnu

Lorsque σ² est inconnu, on l’estime par :

σ̂²_n = (1/(n-1)) ∑(i=1 à n) (g(Xi) - θ̂n)²

et on pose σ̂(n) = √(σ̂²_n). L’intervalle de confiance devient :

[θ̂n - z_(α/2) (σ̂(n)/√n),  θ̂n + z_(α/2) (σ̂(n)/√n)]

Pour de grands échantillons, la loi de Student est souvent remplacée par la loi normale centrée réduite.

Exemple d’estimation d’une espérance

Considérons un actif risqué dont le prix au temps T est S. On souhaite estimer la valeur à l’instant 0 d’une option d’achat de prix d’exercice K et maturité T :

θ = E_Q [e^(-rT) max(S - K, 0)]

où Q est la mesure neutre au risque. La fonction g est :

g(x) = e^(-rT) max(x - K, 0)

Dans le modèle de Black-Scholes, on a :

S ≡ s₀ exp((r - ν²/2) T + ν √T Z)

avec s₀ le prix initial, r le taux sans risque, ν la volatilité instantanée, et Z une variable normale centrée réduite.

La valeur exacte de θ est connue :

θ = s₀ N(d) - K e^(-rT) N(d - ν √T)

où

d = (ln(s₀/K) + (r + ν²/2) T) / (ν √T)

et N(·) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

De même, la variance σ² de g(X) est donnée par :

σ² = s₀² e^{ν² T} N(d + ν √T) - 2 s₀ K e^{-rT} N(d) + K² e^{-2rT} N(d - ν √T) - θ²

Par exemple, avec s₀ = 100, r = 0.05, ν = 0.20, T = 1, et différents K :

K	θ (valeur option)	σ (écart-type)
0.9 × s₀	16.69944841	17.38872250
1.0 × s₀	10.45058357	14.71940409
1.1 × s₀	6.04008813	11.63474406

Estimation d’un quantile

Définition

Pour α ∈ (0, 1), le quantile d’ordre α de la distribution FX est :

x_α = inf {x ∈ ℝ : FX(x) ≥ α}

C’est la plus petite valeur x_α telle que la probabilité que X ≤ x_α soit au moins α.

Estimation ponctuelle

Soit un échantillon X1, X2, ..., Xn i.i.d. de la variable X avec fonction de répartition FX. On note X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n) l’échantillon ordonné.

La fonction de répartition empirique est :

F⁽ⁿ⁾_X(x) = (1/n) ∑(i=1 à n) 1{Xi ≤ x}

L’estimateur ponctuel du quantile d’ordre α est :

ˆx⁽ⁿ⁾_α = X(⌈nα⌉)

où ⌈x⌉ est le plus petit entier supérieur ou égal à x.

Exemple

Pour α = 0.25 et n = 10, on calcule nα = 2.5, donc ⌈2.5⌉ = 3, et l’estimateur est X(3).

Pour α = 0.001 (0.1%) et n = 100 000, on a nα = 100, donc l’estimateur est X(100).

Estimation par intervalle de confiance

Soit x_α le quantile d’ordre α de FX. On définit les variables indicatrices :

ξ_i = 1 si Xi ≤ x_α, 0 sinon,  i = 1,...,n

La somme ξ = ∑ ξ_i suit une loi binomiale B(n, θ) avec θ = FX(x_α) ≥ α.

On a :

• ξ ≥ a ⇔ X(a) ≤ x_α
• ξ < b ⇔ X(b) > x_α

Pour n grand, ξ est approximée par une loi normale N(nθ, nθ(1-θ)).

On définit :

Δ_β = z_(β/2) √(n θ (1 - θ))

Un intervalle de confiance de niveau 1 - β pour x_α est alors :

[X(⌊nθ - Δ_β⌋),  X(⌈nθ + Δ_β⌉)]

où ⌊x⌋ est la partie entière inférieure de x.

Si FX est continue, θ = FX(x_α) = α, ce qui simplifie le calcul.

Exemple

Pour n = 100 000, α = 1% (θ = 0.01), et un intervalle de confiance à 95% (z_2.5% = 1.95996), on calcule :

j = ⌊nθ - z_(α/2) √(n θ (1 - θ))⌋ = 938

m = ⌈nθ + z_(α/2) √(n θ (1 - θ))⌉ = 1062

L’intervalle de confiance est donc [X(938), X(1062)].

Variance d’une option d’achat dans le contexte Black-Scholes

Calcul du deuxième moment

On utilise la relation :

Var[X] + (E[X])² = E[X²]

Pour X = e^(-rT) max(S - K, 0), on calcule :

σ² + θ² = E_Q[(e^(-rT) max(S - K, 0))²]

En remplaçant S par sa représentation dans le modèle Black-Scholes :

S ≡ s₀ exp((r - ν²/2) T + ν √T Z)

avec Z une variable normale centrée réduite, on obtient :

σ² + θ² = E_Q[(s₀ exp(ν²/2 T + ν √T Z) - K e^(-rT))² 1{Z > -d - ν √T}]

où

d = (ln(s₀/K) + (r - ν²/2) T) / (ν √T)

Résolution de l’intégrale

En utilisant les propriétés de la loi normale et la symétrie de sa densité, on obtient :

σ² + θ² = s₀² e^{ν² T} N(d + ν √T) - 2 s₀ K e^{-rT} N(d) + K² e^{-2rT} N(d - ν √T)

avec N(·) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Calcul final de la variance

La variance est donc :

σ² = s₀² e^{ν² T} N(d + ν √T) - 2 s₀ K e^{-rT} N(d) + K² e^{-2rT} N(d - ν √T) - θ²

Glossaire des termes clés

• Estimateur ponctuel : Valeur calculée à partir d’un échantillon pour approximer une quantité inconnue (ex. espérance, quantile).
• Intervalle de confiance : Intervalle autour d’un estimateur qui contient la vraie valeur avec une probabilité donnée (niveau de confiance).
• Quantile : Valeur x_α telle que la probabilité que la variable soit inférieure ou égale à x_α est au moins α.
• Fonction de répartition empirique : Estimation de la fonction de répartition basée sur un échantillon, proportion des observations inférieures ou égales à x.
• Loi binomiale : Loi de probabilité décrivant le nombre de succès dans n essais indépendants avec probabilité θ de succès.
• Loi normale centrée réduite : Loi normale de moyenne 0 et variance 1, notée N(0,1).
• Modèle de Black-Scholes : Modèle mathématique de l’évolution du prix d’un actif risqué, utilisé pour la valorisation d’options.
• Mesure neutre au risque : Probabilité modifiée sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales, utilisée en finance pour l’évaluation des dérivés.
• Volatilité : Écart-type instantané du rendement d’un actif, noté ν.
• Variable aléatoire i.i.d. : Variables indépendantes et identiquement distribuées.

Points clés à retenir

• L’estimateur de Monte Carlo d’une espérance est la moyenne des valeurs g(Xi) simulées.
• La construction d’un intervalle de confiance repose sur le théorème central limite et nécessite la connaissance ou l’estimation de la variance.
• Pour estimer un quantile, on utilise l’échantillon ordonné et la fonction de répartition empirique.
• La somme des indicatrices pour l’estimation du quantile suit une loi binomiale, approximée par une loi normale pour de grands échantillons.
• Le modèle de Black-Scholes permet de calculer analytiquement la valeur et la variance d’une option d’achat, utile pour valider les simulations Monte Carlo.
• Les marges d’erreur diminuent avec la racine carrée de la taille de l’échantillon, ce qui justifie l’utilisation de grands échantillons en simulation.