Méthodes de Monte Carlo & Simulation des Modèles Financiers

}

|

=σ2

=

σ2

n

→ 0 lorsque n → ∞.

Propriétés asymptotiques

– La loi forte des grands nombres nous permet d’affirmer que ˆθn converge presque sûrement vers la quantité à estimer θ

lorsque la taille n de l’échantillon tend vers l’infini, c’est-à-dire que

P r

h(cid:12)

(cid:12)

(cid:12) lim

n→∞

ˆθn − θ

i

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12) = 0

= 1.

Propriétés asymptotiques

– Le théorème limite central implique que

(converge en loi vers une distribution normale centrée et réduite lorsque la taille n de l’échantillon tend vers l’infini).

Rappelons que

Intervalle de confiance

Le dernier point nous permet de construire des intervalles de confiance autour de notre estimateur. En effet, si zα est le quantile

d’ordre 1 − α de la distribution normale centrée et réduite, c’est-à-dire que

ˆθn − θ

√

n

σ/

n→∞→ N (0, 1)

σ2 ≡ V ar[g(X)].

DRAFT

Version

P r[Z ≤ zα] = 1 − α,

(cid:20)

ˆθn − z α

; ˆθn + z α

σ

√

n

σ

√

n

(cid:21)

2

2

alors l’intervalle de confiance pour θ (de niveau de confiance 1 − α) est

lorsque la taille n de l’échantillon est suffisamment grande.

Intervalle de confiance

Nous pouvons évaluer la précision de notre estimation puisque nous savons que

Preliminary

1 − α ∼= P r

= P r

"

√

n (cid:0)ˆθn − θ(cid:1)

σ

≤

#

≤ z α

2

−z α

2

(cid:20)

(cid:12)

(cid:12)ˆθn − θ(cid:12)

(cid:12) ≤ z α

2

(cid:21)

σ

√

n

qui est équivalent à

Ainsi, la marge d’erreur est

P r

(cid:20)

(cid:12)

(cid:12)ˆθn − θ(cid:12)

(cid:12) > z α

2

(cid:21)

σ

√

n

∼= α.

Marge d’erreur = z α

2

σ

√

n

.

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2

1.3 Estimation par intervalle de confiance- Ecart-type inconnu

Estimation d’une espérance

Estimation de la variance

V ar[g(X)]. Nous devons donc estimer σ2.

– L’estimateur de Monte Carlo sans biais de σ2 est

– Évidemment, en pratique, si on ne connaît pas θ ≡ E[g(X)], il y a très peu de chance que l’on connaisse σ2 ≡

ˆσ2

n =

1

n − 1

=

1

n − 1

n

X

i=1

n

X

i=1

(cid:0)g(Xi) − ˆθn

(cid:1)2

(g(Xi))2 −

n

n − 1

(cid:0)ˆθn

(cid:1)2

Estimation d’une espérance I

Intervalle de confiance

– Si

ˆσ(n) ≡

p

ˆσ2

n

alors l’intervalle de confiance pour θ (de niveau de confiance 1 − α) est

lorsque la taille n de l’échantillon est suffisamment grande.

– Encore une fois, cet intervalle est construit autour de la loi asymptotique de notre estimateur et il faudra être prudent

lorsque notre échantillon sera de petite taille.

Estimation d’une espérance II

Intervalle de confiance

– Notons que les tailles des échantillons sont habituellement très grandes lors des simulation de Monte Carlo. Nous

n’avons donc pas besoin d’introduire la loi de Student puisque cette dernière converge vers la distribution normale

centrée et réduite lorsque n → ∞.

Estimation d’une espérance

La marge d’erreur : La marge d’erreur correspond à la moitié de la longueur de l’intervalle de confiance, c’est-à-dire

2

2

(cid:21)

ˆσ(n)

√

n

ˆσ(n)

√

n

; ˆθn + z α

(cid:20)

ˆθn − z α

DRAFT

Version

σ

√

n

q

V ar (cid:2)ˆθn

marge d’erreur = z α

2

= z α

2

(cid:3).

– Soit S, le prix d’un titre risqué au temps T . Nous voulons estimer la valeur au temps 0 d’une option d’achat dont le prix

d’exercice est K et la maturité est T , c’est-à-dire que nous cherchons à estimer

θ = EQ (cid:2)e−rT max(S − K; 0)(cid:3)

Estimation d’une espérance I

Un exemple

Preliminary

où Q représente une mesure neutre au risque.

– La fonction g : R → R est donc

g(x) = e−rT max(x − K; 0).

Estimation d’une espérance II

Un exemple

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3

– Nous supposerons aussi que nous sommes dans le cadre du modèle de Black et Scholes, c’est-à-dire que

S

L

= s0 exp

(cid:20)(cid:18)

r −

(cid:19)

ν2

2

(cid:21)

√

T Z

T + ν

où s0 est le prix au temps t = 0 du titre risqué, r représente le taux sans risque, ν est la volatilité instantanée du

rendement du titre risqué, Z est une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et

L

= dénote une égalité en loi.

Estimation d’une espérance III

Un exemple

– Évidemment, cet exemple est purement pédagogique puisque, dans ce contexte, nous connaissons la valeur de θ :

θ = EQ (cid:2)e−rT max(S − K; 0)(cid:3)

= s0N (d) − Ke−rT N (cid:0)d − ν

(cid:19)

Z d

(cid:18)

√

T (cid:1)

= s0

−∞

exp

1

√

2π

Z d−νT 1/2

− Ke−rT

−∞

−

z2

2

1

√

2π

dz

(cid:18)

exp

−

(cid:19)

z2

2

dz

où

Estimation d’une espérance IV

Un exemple

– Dans ce contexte, nous connaissons même l’écart-type puisque

En effet, comme il est démontré en annexe,

.

ν

T

T

(cid:17)

(cid:16)

d =

r + ν2

2

ln s0 − ln K +

√

σ2 ≡ V ar (cid:2)e−rT max(S − K; 0)(cid:3) .

DRAFT

0exp (cid:0)ν2T (cid:1) N (cid:0)d + ν

− 2s0Kexp(−rT )N (d)

+ K 2exp(−2rT )N (cid:0)d − ν

− θ2.

Version

σ2 = s2

T (cid:1)

T (cid:1)

√

√

Estimation d’une espérance V

Un exemple

– Dans le cas où s0 = 100, r = 0.05, ν = 0.20 et T = 1, nous avons

Preliminary

K

K = 0.9 × s0

K = 1.0 × s0

K = 1.1 × s0

θ

16.69944841

10.45058357

06.04008813

σ

17.38872250

14.71940409

11.63474406

2 Estimation d’un Quantile

Quantile

Définition

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4

Pour tout α ∈ (0, 1), le quantile d’ordre α de la distribution FX est la quantité

xα = inf {x ∈ R : FX (x) ≥ α} ,

c’est-à-dire que xα est la plus petite valeur pour laquelle la probabilité que la variable aléatoire X prenne des valeurs plus

petites ou égales à xα est plus grande ou égale à α.

Pourquoi ne pas avoir défini le quantile d’ordre α comme étant la quantité xα satisfaisant l’équation

FX (xα) = α?

Quantile

Définition

Quantile

Définition

DRAFT

Version

Preliminary

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5

Quantile

Définition

DRAFT

Version

X1, X2, ..., Xn

2.1 Estimation Ponctuelle

Mise en contexte

L’échantillon et la notation

– Dans ce qui suit,

– Lorsque le portefeuille est constitué d’instruments nombreux et complexes, il n’est généralement pas possible de

connaitre analytiquement la distribution de la valeur du portefeuille à un instant futur donné.

– On peut alors procéder par simulation.

– Dans d’autres cas, l’estimation d’un quantile se fait par échantillonnage.

Preliminary

représente un échantillon constitué de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées à la variable aléa-

toire X de fonction de répartition FX . De plus, X(1), X(2), ..., X(n) désigne le même échantillon ordonné, c’est-à-dire

que

X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n).

Fonction de répartition empirique I

– Définition. La fonction de répartition empirique construite à partir de l’échantillon X1, X2, ..., Xn de taille n est

∀x ∈ R, F (n)

X (x) =

1

n

n

X

i=1

1{Xi≤x}

où la fonction caractéristique 1{Xi≤x} vaut 1 si Xi ≤ x et 0 sinon.

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6

– Pour un nombre réel x fixé, F (n)

X (x) est la proportion des observations de l’échantillon qui sont inférieures ou égales à

x.

Fonction de répartition empirique II

L’estimation ponctuelle d’un quantile

– Définition. Pour tout α ∈ (0, 1), l’estimateur ˆx(n)

α du quantile d’ordre α de la distribution FX est la quantité

n

ˆx(n)

α = inf

DRAFT

Version

, k ∈ {1, 2, ..., n}, alors ˆx(n)

ˆx(n)

α = X(dnαe) = X(k).

x ∈ R : F (n)

X (x) ≥ α

k − 1

n

< α ≤

k

n

o

où F (n)

X est la fonction de répartition empirique.

– Définition pragmatique. Notons que si

k − 1 < nα ≤ k

α = X(k). Par conséquent, puisque

où dxe est le plus petit entier supérieur ou égal à x (et bxc est le plus grand entier inférieur ou égal à x).

Exemple

Exemple. Nous voulons évaluer le quantile d’ordre α = 0.25.

Preliminary

n

10

100

nα dnαe

2.5

25

3

25

Exemple

Exemple. Nous voulons évaluer le quantile d’ordre α = 0.1% = 10−3.

2.2 Estimation par intervalle de confiance

Estimation par intervalle de confiance

La notation

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7

n

102

103

104

105

106

nα

10−1

100

101

102

103

dnαe

1

1

10

100

1000

– Soit xα, le quantile d’ordre α de la distribution FX . Définissons les variables aléatoires

ξi =

(cid:26) 1

0

si Xi ≤ xα

sinon

, i ∈ {1, 2, ..., n}

n

X

ξi.

et ξ =

i=1

– ξ représente le nombre d’observations inférieures où égales à xα.

Estimation par intervalle de confiance

– Puisque ξ est une somme de variables aléatoires indépendantes et distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre

alors ξ est de loi binomiale (n, θ).

– Notons que si xα n’est pas un point de discontinuité de la fonction FX , alors θ = α. Sinon θ > α.

θ = P (ξi = 1) = FX (xα),

DRAFT

Version

Construction de l’intervalle de confiance

– Rappelons que X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n) dénote notre échantillon ordonné.

– Si a ∈ {1, 2, ..., n}, alors ξ ≥ a si et seulement s’il y a au moins a observations inférieures ou égales à xα, c’est-à-dire

– Si b ∈ {1, 2, ..., n}, alors ξ < b si et seulement s’il y a moins de b observations inférieures ou égales à xα, c’est-à-dire

Utilisation de l’approximation normale

si X(a) ≤ xα.

X(b) > xα.

Preliminary

n

X

i=1

– Remarquons aussi que, puisque ξ =

ξi est de loi binomiale(n, θ), alors lorsque la taille n de la simulation est très

grande, il est possible d’approcher la distribution de ξ par une distribution normale(nθ, nθ(1 − θ)).

– Plus θ est près de 0 ou de 1, plus la taille de la simulation devra être grande pour que l’approximation soit de bonne

qualité. Or, dans le cas de l’estimation d’une valeur à risque, le θ sera petit.

Utilisation de l’approximation normale

– Rappel : ξ ≥ a ⇐⇒ X(a) ≤ xα et ξ < b ⇐⇒ X(b) > xα.

– Posons, ∆β = z β

2

pnθ(1 − θ).

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8

– Si Z ∼ N (0, 1), alors

1 − β = P

h

−z β

2

"

i

≤ Z < z β

2

∼= P

−z β

2

≤

#

ξ − nθ

pnθ(1 − θ)

< z β

2

= P [nθ − ∆β ≤ ξ < nθ + ∆β]

≤ P [bnθ − ∆βc ≤ ξ < dnθ + ∆βe]

= P

h

Xbnθ−∆βc ≤ xα < Xdnθ+∆βe

i

L’intervalle de confiance

– En résumé,

est un intervalle de confiance de niveau 1 − β pour xα où

(cid:2)X(b∗), X(b∗)

(cid:1)

– Notons que θ = FX (xα) n’est pas toujours connu, rendant difficile le calcul de b∗ et b∗. Cependant, dans le cas où FX

est une fonction continue, nous avons θ = FX (xα) = α.

Exemple

de niveau de confiance 95%. Comme

– Exemple. Supposons que la taille de l’échantillon est 100 000 et que θ = 1%. Nous voulons un intervalle de confiance

j

b∗ =

nθ − z β

2

pnθ(1 − θ)

k

et

m

l

b∗ =

nθ + z β

2

z2.5% = 1.95996

pnθ(1 − θ)

DRAFT

= 938 et

m

l

105 × 10−2 + 1.95996 × p105 × 10−2(1 − 110−2)

Version

j

105 × 10−2 − 1.95996 × p105 × 10−2(1 − 110−2)

= 1062

b∗ =

b∗ =

k

alors

3 Appendice

Variance d’une option d’achat dans le contexte Black et Scholes

Deuxième moment I

Calculons le deuxième moment. Comme V ar[X] + (E[X])2 = E (cid:2)X 2(cid:3),

Preliminary

σ2 + θ2 = EQ h(cid:0)e−rT max(S − K; 0)(cid:1)2i

(cid:16)(cid:2)Se−rT − Ke−rT (cid:3)2

(cid:20)

= EQ h

"

= EQ

s0 exp

ν2

2

max

max

(cid:18)

−

(cid:17)i

; 0

T + νT 1/2Z

(cid:19)

− Ke−rT

(cid:21)2

!#

; 0

où Z est une variable aléatoire normale centrée et réduite. Le reste du calcul ne fait qu’intervenir des propriétés de la loi

normale. Comme s0exp

−

> Ke−rT si et seulement si

(cid:18)

ν2

2

T + νT 1/2Z

(cid:19)

z >

ln(s0) − ln(K) +

√

T

ν

(cid:16)

r − ν2

2

(cid:17)

T

= d + ν

√

T ,

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9

Variance d’une option d’achat dans le contexte Black et Scholes

Deuxième moment II alors

"

EQ

max

(cid:20)

(cid:18)

s0exp

−

ν2

2

T + νT 1/2Z

(cid:19)

− Ke−rT

(cid:21)2

!#

; 0

Z ∞

(cid:20)

(cid:18)

=

−d+ν

√

T

s0exp

−

ν2

2

T + νT 1/2Z

(cid:19)

− Ke−rT

(cid:21)2

fZ (z)dz

où fZ (z) représente une fonction de densité d’une variable aléatoire gaussienne centrée et réduite.

Variance d’une option d’achat dans le contexte Black et Scholes

Résolution de l’intégrale I La dernière expression est égale à

Variance d’une option d’achat dans le contexte Black et Scholes

Résolution de l’intégrale II Complétons les carrés :

Z ∞

Z ∞

√

T

−d+ν

Z ∞

= s2

0

2s0K

−d+ν

exp

√

T

Z ∞

exp (cid:0)−ν2T + 2ν

√

T z(cid:1) fZ (z)dz

(cid:18)

(cid:18)

−

r +

(cid:19)

ν2

2

(cid:19)

√

T z

T + ν

fZ (z)dz

+ K 2e−2rT

fZ (z)dz

√

+ K 2e−2rT

= s2

0

− 2s0K

(cid:19)(cid:19)

T

T

T

√

√

√

T

(cid:17)

(cid:16)

−

−

−

√

√

(cid:18)

(cid:19)

(cid:19)

(cid:18)

dz

dz

−d+ν

−d+ν

r +

exp

exp

exp

Z ∞

z2

2

ν2

2

T z + 2

1

2

(cid:18)

1

2

(cid:18)

z2 − 2ν

T

Z ∞

(z2 − 4ν

1

√

2π

1

√

2π

−d+ν

Z ∞

T z + 2ν2T )

−d+ν

1

√

2π

DRAFT

Version

+ K 2exp(−2rT )

0 exp (cid:0)ν2T (cid:1)

− 2s0Kexp(−rT )

1

√

2π

(cid:18)

− 2s0Ke−rT

√

−d+ν

Z ∞

w2

2

(cid:19)

(cid:0)z2 − 2ν

(cid:0)z − 2ν

1

√

2π

1

√

2π

1

√

2π

T (cid:1)2(cid:17)

T (cid:1)2(cid:17)

1

2

(cid:16)

0eν2T

= s2

= s2

z2

2

Z ∞

Z ∞

Z ∞

exp

exp

exp

exp

−d+ν

−d+ν

−d+ν

dw

dw

1

2

dz

dz

dz

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

√

√

−

−

−

−

−

(cid:16)

√

√

√

T

T

T

T

w2

2

(cid:18)

exp

−

(cid:19)

z2

2

dz

exp

1

√

2π

−d

Z ∞

+ K 2e−2rT

Preliminary

1

√

2π

0eν2T (cid:0)1 − N (cid:0)−d − ν

= s2

+ K 2e−2rT (cid:0)1 − N (cid:0)−d + ν

−d+ν

√

√

T

T (cid:1)(cid:1) − 2s0Ke−rT (1 − N (−d))

√

T (cid:1)(cid:1)

Variance d’une option d’achat dans le contexte Black et Scholes

Résolution de l’intégrale III Mais la symétrie de fZ implique que la fonction de répartition d’une variable aléatoire gaussienne

centrée et réduite satisfait 1 − N (x) = N (−x). Alors

σ2 + θ2 = s2

√

T (cid:1)

0eν2T N (cid:0)d + ν

− 2s0Ke−rT N (d)

+ K 2e−2rT N (cid:0)d − ν

√

T (cid:1) .

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10

Variance d’une option d’achat dans le contexte Black et Scholes

√

Calcul de la variance I Comme θ = s0N (d) − Ke−rT N (cid:0)d − ν

T (cid:1), alors

σ2 =σ2 + θ2 − θ2

=s2

√

T (cid:1)

0[N (d)]2 + 2s0Ke−rT N (d)N (cid:0)d − ν

√

0eν2T N (cid:0)d + ν

− 2s0Ke−rT N (d)

+ K 2e−2rT N (cid:0)d − νT 1/2(cid:1)

− s2

− K 2e−2rT (cid:2)N (cid:0)d − ν

eν2T N (cid:0)d + ν

T (cid:1)(cid:3)2

√

T (cid:1) − (N (d))2i

√

− 2s0Ke−rT N (d) (cid:0)1 − N (cid:0)d − ν

+ K 2e−2rT N (cid:0)d − ν

T (cid:1)(cid:1)

T (cid:1) (cid:0)1 − N (cid:0)d − ν

√

h

=s2

0

√

T (cid:1)

√

T (cid:1)(cid:1) .

DRAFT

Version

Preliminary

Version control information: Oueslati Omar – ©Copyright – Révision : 36 (36) - 2012-09-14 10:15

11