M1 BADS

Ce laboratoire propose une analyse multidimensionnelle des données relatives à la consommation de denrées alimentaires selon les catégories socio-professionnelles. L'objectif est d'appliquer une Analyse en Composantes Principales (ACP) pour étudier les corrélations entre variables et identifier des axes factoriels pertinents. Pour réaliser ce TP, il est nécessaire de disposer du tableau initial des données, des résultats d’ACP (matrice de corrélation, valeurs propres, matrices de composantes) et de connaissances de base en statistiques multivariées.

Objectifs

• Comprendre et interpréter une matrice de corrélation issue d’une ACP.
• Identifier les variables les plus et les moins corrélées.
• Analyser les valeurs propres et déterminer le nombre d’axes factoriels à retenir.
• Interpréter le positionnement des variables et des individus sur la carte factorielle.
• Former des groupes d’individus à partir des résultats de l’ACP.

Prérequis et installation

• Connaissance des bases de l’analyse en composantes principales (ACP).
• Accès au tableau initial des données : consommation de denrées alimentaires par catégorie socio-professionnelle.
• Résultats d’ACP fournis : matrice de corrélation, valeurs propres, matrices de composantes et rotation Varimax.
• Logiciel ou environnement capable de réaliser ou visualiser une ACP (non décrit ici, car les résultats sont fournis).

Étape 1 : Analyse de la matrice de corrélation

Commencez par examiner la matrice de corrélation entre les variables alimentaires. Cette matrice montre la force et le sens des relations linéaires entre chaque paire de variables.

Pour décrire la matrice :

• Repérez les corrélations les plus élevées (proches de 1 ou -1) qui indiquent une forte relation.
• Repérez les corrélations proches de zéro, indiquant peu ou pas de relation.

Dans ce cas, le couple de variables les plus corrélées est Autre pain (PAA) et Raisin de tables (RAI) avec une corrélation de 0,959. Le couple le moins corrélé est Pain ordinaire (PAO) et Autre pain (PAA) avec une corrélation de -0,774 (corrélation négative forte).

Un résultat correct est d’identifier clairement ces couples et d’expliquer brièvement ce que cela signifie pour les données.

Étape 2 : Analyse des valeurs propres

Le total des valeurs propres est donné par la somme des valeurs propres initiales, ici :

6,208 + 0,880 + 0,416 + 0,306 + 0,168 + 0,018 + 0,003 + 2,403E-16 = 8 (approximativement)

Ce total correspond au nombre de variables initiales (8 variables). Chaque valeur propre représente la quantité de variance expliquée par un axe factoriel donné.

Une valeur propre élevée pour un axe signifie que cet axe explique une grande part de la variance totale des données.

Étape 3 : Choix du nombre d’axes factoriels

Deux méthodes sont proposées :

• Méthode de Kaiser : retenir les axes dont la valeur propre est supérieure à 1.
• Méthode du coude : observer le graphique des valeurs propres et choisir le nombre d’axes avant que la pente ne s’aplatisse.

Dans ce cas :

• Seul le premier axe a une valeur propre supérieure à 1 (6,208).
• Le second axe a une valeur propre de 0,880, inférieure à 1.
• La méthode utilisée dans l’énoncé semble être la méthode du coude, car deux axes sont retenus (avec un % cumulé de 88,595 % de la variance expliquée).

Justification : la méthode du coude est privilégiée ici car elle permet de conserver deux axes qui expliquent ensemble une grande partie de la variance (près de 89 %), même si la deuxième valeur propre est inférieure à 1.

Étape 4 : Interprétation du positionnement des variables sur la carte factorielle

La matrice de rotation Varimax montre la contribution des variables aux deux axes retenus :

Variable	Composante 1	Composante 2
Pain ordinaire (PAO)	-0,728	0,661
Autre pain (PAA)	0,950	-0,154
Jus ordinaire (VIO)	-0,608	0,650
Autre jus (VIA)	0,905	-0,329
Pommes de terre (POT)	-0,108	0,923
Légumes secs (LEC)	-0,679	0,616
Raisin de tables (RAI)	0,938	-0,277
Plats préparés (PLP)	0,714	-0,551

Commentaires :

• Le premier axe oppose fortement les variables liées au pain, jus, raisin et plats préparés (charges positives) aux variables comme le pain ordinaire, jus ordinaire, légumes secs (charges négatives).
• Le second axe est fortement associé aux pommes de terre et a des contributions positives pour pain ordinaire, jus ordinaire, légumes secs.

On peut donc donner un sens aux deux axes :

• Axe 1 : différenciation entre types de pain et jus, ainsi que la consommation de raisin et plats préparés.
• Axe 2 : consommation de pommes de terre et aliments plus traditionnels comme le pain ordinaire et légumes secs.

Étape 5 : Interprétation du positionnement des individus et formation de groupes

Les individus correspondent aux catégories socio-professionnelles :

• AGRI : Exploitants agricoles
• SAAG : Salariés agricoles
• PRIN : Professions indépendantes
• CSUP : Cadres supérieurs
• CMOY : Cadres moyens
• EMPL : Employés
• OUVR : Ouvriers
• INAC : Inactifs

Le positionnement des individus sur la carte factorielle permet de repérer des regroupements selon leurs profils de consommation. Par exemple :

• Les exploitants agricoles (AGRI) et salariés agricoles (SAAG) pourraient se regrouper selon une consommation plus traditionnelle (axe 2).
• Les cadres supérieurs (CSUP) et professions indépendantes (PRIN) pourraient se distinguer par une consommation plus diversifiée (axe 1).

Un résultat correct consiste à identifier ces groupes et à expliquer que la carte factorielle permet de visualiser les similarités et différences entre catégories socio-professionnelles.

Résultats attendus

• Identification claire des couples de variables les plus et les moins corrélées.
• Total des valeurs propres proche de 8, correspondant au nombre de variables.
• Choix de deux axes factoriels selon la méthode du coude, expliquant environ 89 % de la variance.
• Interprétation cohérente des axes factoriels à partir des charges des variables.
• Formation de groupes d’individus cohérents avec les catégories socio-professionnelles.

Pièges courants

• Confondre la méthode de Kaiser et la méthode du coude pour le choix du nombre d’axes.
• Ne pas vérifier que la somme des valeurs propres correspond au nombre de variables.
• Interpréter les axes sans tenir compte des signes et des valeurs des charges.
• Omettre de relier le positionnement des individus à leurs caractéristiques socio-professionnelles.
• Se focaliser uniquement sur les corrélations positives sans considérer les corrélations négatives importantes.