Le théorème de Gauss

Ce document présente une étude détaillée du théorème de Gauss appliqué au champ électrostatique, ainsi que ses applications pratiques et son extension au champ gravitationnel. Il s'adresse aux étudiants en physique et en électromagnétisme souhaitant comprendre et utiliser ce théorème fondamental dans diverses configurations de charges.

Flux du champ électrostatique

Soit E(M) un champ électrostatique défini dans un domaine de l’espace. Considérons une surface (Σ) orientée, avec un contour (C) orienté arbitrairement. Le choix de cette orientation détermine le vecteur normal unitaire n à la surface élémentaire dS centrée en M, selon la règle du tire-bouchon ou de la main droite.

Le flux élémentaire dΦ du champ E à travers la surface dS orientée est défini par :

Φ = E(M) · n dS = E(M) · dS

Le flux total du champ E à travers toute la surface Σ est :

Φ = ∬_Σ E(M) · dS

Physiquement, le flux "compte" les lignes de champ qui traversent la surface. Le flux est maximal lorsque l’angle θ entre E et n est nul (θ = 0) et nul lorsque θ = π/2.

Cas d’une surface fermée

Une surface fermée délimite un volume fini. Par convention, le vecteur normal n est dirigé vers l’extérieur du volume délimité. Le flux sortant à travers cette surface fermée est noté :

Φ_S = ∬_Σ E(M) · n dS

Le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss relie le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée à la charge électrique contenue à l’intérieur de cette surface.

Considérons une charge ponctuelle q placée en O et une surface sphérique Σ(O,r) de centre O et de rayon r. Le champ électrique créé par q est :

E(M) = (1 / (4πε₀)) * (q / r²) * u_r

où u_r est le vecteur unitaire radial. Le flux sortant à travers la sphère est :

Φ_S = ∬_Σ E(M) · n dS = (1 / (4πε₀)) * q / r² * ∬_Σ dS = (1 / (4πε₀)) * q / r² * 4πr² = q / ε₀

Le flux est donc indépendant du rayon r.

Généralisation : pour plusieurs charges ponctuelles q_int à l’intérieur d’un volume délimité par une surface fermée Σ, le flux total est :

Φ_S = (1 / ε₀) * ∑ q_int

Les charges extérieures à la surface fermée n’influencent pas le flux sortant, car leurs contributions se compensent.

Cas d’une répartition volumique de charges

Soit ρ la densité volumique de charges dans un volume V délimité par une surface fermée Σ. Le flux du champ électrique est :

Φ_S = ∬_Σ E(M) · n dS = (1 / ε₀) * ∭_V ρ dV

Topographie du champ électrostatique

Le nombre de lignes de champ est proportionnel à la charge. Par exemple, pour deux charges +2q et –q, le nombre de lignes partant de +2q est deux fois plus grand que celui arrivant en –q.

Applications du théorème de Gauss

La méthode générale consiste à :

• Choisir une surface de Gauss Σ adaptée à la symétrie du problème.
• Calculer directement le flux en utilisant la symétrie du champ.
• Calculer la charge intérieure à la surface de Gauss.
• Identifier les deux expressions du flux pour déterminer le champ en tout point.

Sphère uniformément chargée en volume

Considérons une sphère de rayon R, chargée uniformément avec une densité volumique ρ.

La charge totale portée par la sphère est :

Q = (4/3) π R³ ρ

Pour une surface de Gauss sphérique Σ(O,r) :

• Si r > R (extérieur à la sphère) :

q_int = Q

• Si r < R (intérieur à la sphère) :

q_int = (4/3) π r³ ρ = Q * (r³ / R³)

Le champ électrique est alors :

• Pour r > R :

E(r) = (1 / (4πε₀)) * (Q / r²) * u_r

• Pour r < R :

E(r) = (1 / (4πε₀)) * (Q / R³) * r * u_r

Le champ varie linéairement avec r à l’intérieur de la sphère et est nul au centre.

Détermination du potentiel V(r)

La relation entre le champ et le potentiel est :

E = -grad(V) ⇒ E(r) = -dV/dr

Pour r > R :

dV/dr = - (1 / (4πε₀)) * (Q / r²)

En intégrant et en choisissant V(∞) = 0 :

V(r) = (1 / (4πε₀)) * (Q / r)

Pour r < R :

dV/dr = - (1 / (4πε₀)) * (Q / R³) * r

En intégrant :

V(r) = - (1 / (8πε₀)) * (Q / R³) * r² + K

La constante K est déterminée par la continuité du potentiel en r = R :

V(R) = (1 / (4πε₀)) * (Q / R) = - (1 / (8πε₀)) * (Q / R³) * R² + K

Ce qui donne :

K = (3 / (8πε₀)) * (Q / R)

Finalement :

V(r) = (1 / (4πε₀)) * (Q / (2R)) * (3 - (r² / R²))

Sphère uniformément chargée en surface

La charge totale est :

Q = 4π R² σ

Pour r > R :

E(r) = (1 / (4πε₀)) * (Q / r²) * u_r

Pour r < R :

E(r) = 0

Le champ est nul à l’intérieur de la sphère chargée en surface. Le potentiel est continu en r = R :

V(r) = (1 / (4πε₀)) * (Q / r) pour r > R

V(r) = (1 / (4πε₀)) * (Q / R) pour r ≤ R

Cylindre infini uniformément chargé en volume

Considérons un cylindre infini de rayon R, densité volumique ρ, axe Oz, et une surface de Gauss cylindrique de rayon r et hauteur h.

Le flux sortant est :

Φ_S = ∬_Σ E(M) · n dS = E(r) * (2π r h)

La charge intérieure est :

• Pour r > R :

q_int = ρ * π R² h

• Pour r < R :

q_int = ρ * π r² h

Le théorème de Gauss donne :

• Pour r > R :

E(r) = (ρ R²) / (2 ε₀ r) * u_r

• Pour r < R :

E(r) = (ρ r) / (2 ε₀) * u_r

Potentiel dans le cylindre

Le potentiel ne peut pas être nul à l’infini à cause des charges à l’infini. On choisit arbitrairement V(R) = 0.

Pour r > R :

V(r) = (ρ R²) / (2 ε₀) * ln(R / r)

Pour r < R :

V(r) = (ρ / (4 ε₀)) * (r² - R²)

Plan infini uniformément chargé en surface

Considérons un plan infini chargé uniformément avec une densité surfacique σ.

Le champ électrique est :

E(z) = (σ / (2 ε₀)) * u_z

Le champ présente une discontinuité habituelle au plan chargé.

Charges volumiques positives entre deux plans

Des charges positives sont réparties uniformément avec densité ρ entre les plans x = -a et x = +a.

Le champ électrique est :

• Pour |x| < a :

E(x) = (ρ x) / ε₀ * u_x

• Pour x > a :

E(x) = (ρ a) / ε₀ * u_x

• Pour x < -a :

E(x) = - (ρ a) / ε₀ * u_x

Le champ est continu, propriété des distributions volumiques.

Le potentiel V(x) est une fonction paire, continue avec une pente continue en x = ±a.

Théorème de Gauss et principe de superposition

Exemple : un plan infini percé d’un trou circulaire de rayon R, chargé uniformément en surface. Le champ en un point M situé sur l’axe du trou peut être calculé par superposition des champs du plan chargé et du disque manquant.

Théorème de Gauss pour le champ gravitationnel

Le théorème de Gauss s’applique également au champ gravitationnel, avec une analogie formelle :

Champ électrique : E = (1 / (4πε₀)) * (q / r²) * u_r

Champ gravitationnel : g = - G * (m / r²) * u_r

Le flux gravitationnel à travers une surface fermée Σ est :

Φ_S = ∬_Σ g · n dS = - 4π G * ∑ m_int

où m_int est la masse à l’intérieur de la surface. Le flux est proportionnel à la somme des masses intérieures, analogue au cas électrique.

Exemples d’application :

• Champ gravitationnel créé par une sphère creuse de densité surfacique constante.
• Champ gravitationnel créé par une sphère pleine de masse volumique constante.

Glossaire des termes clés

• Champ électrostatique E(M) : vecteur représentant la force électrique par unité de charge en un point M.
• Surface fermée (Σ) : surface délimitant un volume fini, avec un vecteur normal orienté vers l’extérieur.
• Flux du champ Φ : intégrale du produit scalaire du champ par le vecteur normal sur une surface, mesurant le nombre de lignes de champ traversant la surface.
• Vecteur normal unitaire n : vecteur perpendiculaire à une surface élémentaire, orienté selon une convention (règle de la main droite).
• Charge ponctuelle q : charge électrique concentrée en un point.
• Densité volumique de charges ρ : charge par unité de volume.
• Densité surfacique de charges σ : charge par unité de surface.
• Surface de Gauss : surface fermée choisie pour appliquer le théorème de Gauss, adaptée à la symétrie du problème.
• Potentiel électrique V : grandeur scalaire liée au champ électrique par la relation E = -grad(V).
• Principe de superposition : le champ total est la somme vectorielle des champs produits par chaque charge ou distribution de charges.
• Champ gravitationnel g : vecteur représentant la force gravitationnelle par unité de masse en un point.

Points clés à retenir

• Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée est proportionnel à la somme des charges à l’intérieur de cette surface, indépendamment des charges extérieures.
• Le théorème de Gauss facilite le calcul du champ électrique dans des configurations symétriques (sphères, cylindres, plans).
• Le champ électrique d’une sphère uniformément chargée varie linéairement à l’intérieur et comme 1/r² à l’extérieur.
• Le potentiel est continu en traversant les surfaces chargées, même si le champ peut présenter une discontinuité.
• Le théorème de Gauss s’applique aussi au champ gravitationnel, avec une analogie formelle entre charges électriques et masses.
• Le principe de superposition permet de traiter des configurations complexes en combinant les champs de distributions plus simples.