(O.Granier)
Le théorème de Gauss
Olivier GRANIER
I – Flux du champ électrostatique
Définition :
Soit E(M) un champ électrostatique défini dans un domaine de l’espace.
r (ME
r n
θ
Surface (ΣΣΣΣ)
M
Surface élémentaire dS
(C) orienté
)
Soit (ΣΣΣΣ) une surface dont le contour (C) est orienté de manière arbitraire.
Le choix de cette orientation conditionne le choix du vecteur normal unitaire à la surface élémentaire dS centrée en M (règle du tire-bouchon ou de la main droite).
Olivier GRANIER
r (ME
)
r n
θ
Surface (ΣΣΣΣ)
M
Surface élémentaire dS
(C) orienté
On appelle flux élémentaire dΦΦΦΦ du champ E à travers la surface dS orientée la quantité : r
r (=Φ ). dSnME
d
Le flux total du champ E à travers toute la surface est alors :
r ). dSnME
r
(
=Φ
∫∫ Σ
(
)
Intérêt physique du flux :
ME Le flux « compte » les lignes de champ qui traversent la surface (le flux est maximal lorsque θ θ θ θ = 0 et nul pour θ θ θ θ = ππππ/ 2 ).
(=Φ d
θcos
dS
)
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Cas d’une surface fermée :
Exemples de surfaces fermées (elles délimitent un volume fini) :
Surface fermée (ΣΣΣΣ)
M
dS
r n
r (ME
)
Le vecteur normal n est choisi, par convention, dirigé vers l’extérieur du volume délimité par la surface fermée.
On définit alors le flux sortant à travers la surface fermée, que l’on note : r ). dSnME
r
(
=Φ S
∫∫ Σ
(
)
Olivier GRANIER
II – Le théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet d’évaluer le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée, en fonction des charges contenues à l’intérieur de cette surface.
On considère une charge ponctuelle q placée en O et on choisit comme surface fermée la sphère ΣΣΣΣ(O,r) de centre O et de rayon r.
On évalue le flux sortant du champ électrique à travers ΣΣΣΣ(O,r). r r ). uME
r ru
r n
=
(
(
=
dS
r
r (ME
)
M
dS
O
q
d =Φ S r ( ME
)
=
r
r ). dSnME r ru
q 2
1 4 πε 0 q 4πε 0
r 1 2
r
ΣΣΣΣ(O,r)
d S =Φ
dS
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En intégrant sur toute la sphère (sur laquelle r est constant) :
=Φ S
q 4 πε 0
1 2
r
S
sphère
=
q 4 πε 0
1 2
r
4(
r π
2
)
soit
=Φ S
q ε 0
Généralisation : on considère des charges ponctuelles qint placées à l’intérieur d’un volume délimité par une surface fermée (ΣΣΣΣ) quelconque.
Surface fermée (ΣΣΣΣ)
qint
Volume intérieur (V)
r (ME
qint
dS
M
qint
r n
)
=Φ S
∫∫
(
=Φ S
Σ
) 1 ε 0
r ). dSnME
r
(
∑
q
int
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Cas de charges extérieures à la surface fermée :
Surface fermée (ΣΣΣΣ)
r2
r (1 ME
)
M2
dS2
r 2n
r (2 ME
)
r 1n
M1
qext
r1
dS1
Le flux sortant du champ créé par la charge qext à travers la surface fermée est nul (les flux à travers dS1 et dS2 se compensent deux à deux : les champs diminuent comme 1 / r2 mais les surfaces dS augmentent comme r2).
Olivier GRANIER
Énoncé du théorème de Gauss :
Les charges qint et qext créent un champ E en tout point M de l’espace.
Surface fermée (ΣΣΣΣ)
qint
Volume intérieur (V)
qint
r (ME
r n
qint dS
M
qext
)
=Φ S
∫∫
(
=Φ S
Σ
) 1 ε 0
r ). dSnME
r
(
∑
q
int
Le flux du champ sortant d’une surface fermée est égal au produit par 1/εεεε0 de la somme des charges intérieures à la surface ; ce flux est indépendant de leur position et de la présence de charges extérieures.
Olivier GRANIER
Cas d’une répartition volumique de charges :
Soit ρρρρ la densité volumique de charges.
Surface fermée (ΣΣΣΣ)
ρρρρ
Volume intérieur (V)
dS
M
ρρρρ
r (ME
)
r n
=Φ S
∫∫
(
Σ
)
r ). dSnME
r
(
=
1 ε 0
∫∫∫
( V
)
) dP τρ
(
Olivier GRANIER
Topographie du champ électrostatique
2q
- q
Nombre de lignes : les lignes partant de + 2q sont deux fois plus nombreuses que celles qui arrivent en – q.
Olivier GRANIER
III – Applications du théorème de Gauss
Méthode de raisonnement : choix d’une surface de Gauss (ΣΣΣΣ) puis :
=Φ S
∫∫
(
Σ
)
r ). dSnME
r
(
=
Publicité
∑
q
int
1 ε 0
Calcul direct du flux en utilisant les propriétés de symétrie fortes du champ (si elles existent !)
Calcul des charges intérieures à la surface de Gauss choisie.
L’identification des deux expressions du flux sortant donne ensuite la valeur du champ en tout point de l’espace.
Olivier GRANIER
1 – Sphère ΣΣΣΣ(O,R) uniformément chargée en volume :
r r rurEME =
)(
(
)
r ru
O
ρρρρ
ΣΣΣΣ(O,R)
r
M
=Φ S
=Φ S
=Φ S
Surface de Gauss ΣΣΣΣ(O,r)
r ). dSnME
r
(
rr . )( uurE r
r
dS
)( dSrE
=
)( SrE
Σ
(
), rO
Σ
)
Σ
)
Σ
)
(
∫∫ ∫∫ ∫∫
(
(
π=Φ
4
S
2
)( rEr
Olivier GRANIER
r r rurEME =
)(
(
)
r
M
r ru
O
ρρρρ
ΣΣΣΣ(O,R)
Surface de Gauss ΣΣΣΣ(O,r)
Si r > R :
q
int
=
4 3
ρπ 3 R
=
Q
Si r < R :
q
int
=
4 3
3 r ρπ
=
3
Q
r R
Q désignant la charge totale portée par la sphère ΣΣΣΣ(O,r).
Olivier GRANIER
L’application du théorème de Gauss donne alors :
Pour r > R :
)( rE
=
1 4 πε 0
Q 2
r
et
r E
=
1 4 πε 0
Q 2
r
r ru
C’est équivalent au champ dû à une charge ponctuelle Q placée en O.
Pour r < R :
)( rE
=
1 4 πε 0
Q 3
R
r
et
r E
=
1 4 πε 0
Q 3
R
r ur
r
=
1 4 πε 0
Q 3
R
r r
Le champ varie linéairement avec la distance au centre r (il est notamment nul au centre de la sphère).
Olivier GRANIER
Représentation graphique du champ E(r) (pour Q > 0) :
E(r)
1 4 πε 0
Q 2
R
1 4 πε 0
Q 2
r
0
R
r
Olivier GRANIER
Détermination du potentiel :
La relation intrinsèque entre le champ et le potentiel donne ici, en coordonnées sphériques : r E
grad
)( rE
−=
−=
⇒
V
dV dr
Pour r > R :
dV dr
−=
1 4 πε 0
Q 2
r
' oùd
)( rV
=
1 4 πε 0
Q r
en ayant choisit V(r) nul à l’infini (pas de charges à l’infini).
On retrouve l’expression du potentiel créé par une charge ponctuelle Q placée en O.
Olivier GRANIER
Pour r < R :
dV dr
−=
1 4 πε 0
Q 3
R
r
soit
)( rV
−=
1 2
1 4 πε 0
Q 3
R
2
r
+
K
La constante K s’obtient en écrivant la continuité du potentiel en r = R :
( RV
)
−=
1 2
1 4 πε 0
K
=
Q 3
R 3 2
2
R
+
K
=
1 4 πε 0
Q R
1 4 πε 0
Q R
Soit :
)( rV
=
1 2
1 4 πε 0
Q R
3
−
2
r
2
R
Olivier GRANIER
Représentation graphique du potentiel V(r) (pour Q > 0) :
V(r)
3 2
1 4 πε 0
1 4 πε 0
Q R
Q R
1 4 πε 0
Q r
0
R
Publicité
r
Olivier GRANIER
2 – Sphère uniformément chargée en surface :
L’application du théorème de Gauss donne alors :
Pour r > R : (avec Q = 4ππππR2σσσσ) r 1 E 4 πε 0
)( rE
Q 2
=
r
;
=
1 4 πε 0
Q 2
r
r u
r
;
)( rV
=
1 4 πε 0
Q r
C’est équivalent au champ et au potentiel dus à une charge ponctuelle Q placée en O.
Pour r < R :
q
int
=
0
;
r E
r 0
=
;
V
=
cste
=
1 4 πε 0
Q R
Le champ est donc nul à l’intérieur de la sphère chargée en surface.
Il y a continuité du potentiel pour r = R.
Olivier GRANIER
Représentation graphique du champ E(r) (pour Q > 0) :
E(r)
1 4 πε 0
Q 2
R
E =∆
1 4 πε 0
Q 2
R
=
σ ε 0
Discontinuité « habituelle » du champ
1 4 πε 0
Q 2
r
0
R
r
Olivier GRANIER
Représentation graphique du potentiel V(r) (pour Q > 0) :
V(r)
1 4 πε 0
Q R
Le potentiel est continu en r = R
1 4 πε 0
Q r
0
R
r
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3 – Cylindre infini uniformément chargé en volume : ∞
z
H
ρρρρ
O
r
r ru
∞
M
P
x
r r rurEME =
)(
(
)
y
Olivier GRANIER
h
ΣΣΣΣ1
ΣΣΣΣlat
ΣΣΣΣ2
x
z
H
O
ρρρρ
∞
r ru
∞
Surface de Gauss (cylindre (C) d’axe Oz, de hauteur h et de rayon r)
r
M
r r rurEME =
)(
)
(
y
Olivier GRANIER
Calcul direct du flux sortant :
=Φ S
∫∫
(
C
)
r .) dSnME
r
(
=Φ S
∫∫
(
Σ 1
)
rr . dSnurE 1 r
)(
+
∫∫
(
Σ
2
)
rr . dSnurE r
)(
2
+
∫∫
(
Σ
lat
)
rr . dSuurE r
)(
r
=
0
car
r u
r
r n 1
⊥
=
0
car
r u
r
r n
2
⊥
=Φ S
∫∫
(
Σ
lat
)
rr . dSuurE r
)(
r
=
)( rE
∫∫
(
Σ
lat
)
dS
2 π=
)( rEhr
S π=Φ
2
)( rEhr
Olivier GRANIER
Calcul des charges intérieures : q
Pour r > R :
π hR
int =
ρ
2
Pour r < R :
q
int =
2 ρπ hr
L’application du théorème de Gauss donne alors :
Pour r > R :
Pour r < R :
.
)( rE
=
ρ 2 ε 0
2
R r
)( rE
=
ρ 2 ε 0
r
et
et
r ( ME
)
=
ρ 2 ε 0
r ru
2
R r
r ( ME
)
=
r rur
ρ 2 ε 0
Olivier GRANIER
Publicité
Détermination du potentiel :
La présence de charges à l’infini ne permet pas d’annuler le potentiel à l’infini. On choisit arbitrairement la surface du cylindre (pour r = R) au potentiel nul, par exemple. ρ 2 ε 0
Pour r > R :
ρ 2 ε 0
dV dr
)( rV
donc
R r
−=
−=
ln(
K
R
+
r
)
2
2
Pour r < R :
)( rV
=
ρ 2 ε 0
2
R
ln(
R r
)
ρ 2 ε 0 Par continuité du potentiel en r = R, on obtient :
dV dr
)( rV
donc
−=
−=
r
1 22
ρ ε 0
2
r
+
K
'
)( rV
=
( R
2
)2
−
r
ρ 04 ε
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4 – Plan infini uniformément chargé en surface :
r r zuzEME =
)(
(
)
2z
σσσσ
(S)
M
z
O
y
x
(S)
Surface de Gauss
MS r ( ME
)
−=
S
r )( uzE
z
Olivier GRANIER
Représentation graphique du champ E(z) (pour σσσσ > 0) :
E(z) σ 02ε
=∆E
σ 0ε
z
Discontinuité « habituelle » du champ
0
−
σ 02ε
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5 – Charges volumiques positives entre deux plans (ex n°8) :
Des charges positives sont contenues entre les deux plans x = + a et x = - a, avec une densité volumique uniforme ρρρρ.
Calculer le champ et le potentiel en tout point de l'espace On admet que le plan x = 0 est au potentiel V0.
y
ρρρρ
0
M
x
z
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Représentation graphique du champ E(x) (pour ρρρρ > 0) :
E(x) ρa 0ε
Le champ est ici continu (propriété des distributions volumiques)
- a
0
a
x
−
ρa 0ε
x
−<
)( xEa
:
−=
a ρ ε 0
x
>
)( xEa
:
=
a ρ ε 0
<<−
a
x
)( xEa
:
=
x
ρ ε 0
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Représentation graphique du potentiel V(x) (pour ρρρρ > 0) :
V(x)
0V
)(aV
x
>
a
:
)( xV
=
a ρ ε 0
x +−
a 2
+
V 0
0
x <<
)( xVa
:
−=
ρ 2 ε 0
2
x
+
V 0
- a
0
a
x
Le potentiel est une fonction paire.
La pente du potentiel est continue en x=+a et x=-a.
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6 – Théorème de Gauss et principe de superposition (ex n°12) :
On considère un plan infini percé d'un trou circulaire de rayon R, et chargé uniformément en surface.
A l'aide du principe de superposition, calculer le champ électrostatique en un point M situé sur l'axe du trou.
M (z)
z
O
y
x
σσσσ
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IV – Théorème de Gauss pour le champ gravitationnel
Analogies formelles :
r f
élec
=
1 4 πε 0
qQ 2
r
r u
r
r f
grav
−=
G
r u
r
mM 2
r
=Φ S
∫∫
(
Σ
)
r ). dSnME
r
(
1 4 πε 0
G−⇔
q ⇔
m
=
1 ε 0
∑
q
int
=Φ S
∫∫
(
Σ
)
r ). dSnMG
r
(
4 G −= π
∑
m
int
Olivier GRANIER
Exemples (ex n°16) :
Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ gravitationnel créé par une sphère de masse M en tout point de l'espace, dans les deux cas suivants :
*** Sphère creuse (densité surfacique σσσσ = cste).
*** Sphère pleine (masse volumique ρρρρ = cste).
Olivier GRANIER