Le théorème d’Ampère

Ce document présente une étude détaillée du théorème d’Ampère et de ses applications pour le calcul du champ magnétique créé par différentes distributions de courants. Il s’adresse principalement aux étudiants en physique ou en sciences de l’ingénieur souhaitant comprendre et appliquer ce théorème dans des situations présentant des symétries fortes.

Le champ magnétique et le théorème d’Ampère

Le théorème d’Ampère est l’équivalent magnétique du théorème de Gauss en électrostatique. Il permet de calculer le champ magnétique créé par une distribution de courants lorsque celle-ci possède des symétries importantes.

Circulation du champ magnétique autour d’un fil infini

La circulation du champ magnétique ∮(MB)·dr le long d’un contour fermé est une grandeur clé. Contrairement au champ électrostatique dont la circulation est nulle, la circulation du champ magnétique autour d’un fil infini parcouru par un courant I n’est pas nulle.

Le champ magnétique créé par un fil infini est donné par :

MB(r) = (µ0 I) / (2 π r) uθ

où r est la distance au fil et uθ est le vecteur unitaire tangent au cercle de rayon r autour du fil.

Deux cas se présentent :

• Contour fermé n’enlaçant pas le fil : la circulation du champ magnétique est nulle.
• Contour fermé enlaçant le fil : la circulation vaut µ0 I.

Énoncé général du théorème d’Ampère

Considérons plusieurs fils parcourus par des courants d’intensités I1, I2, ... et un contour fermé (C) orienté. On définit le vecteur normal n selon la règle de la main droite. Les courants traversés par ce contour sont comptés positivement s’ils ont la même orientation que n, négativement sinon.

Le théorème d’Ampère s’écrit alors :

∮(C) MB · dr = µ0 ∑ I_enlacés

où la somme porte sur les courants enlacés par le contour (C).

Applications du théorème d’Ampère

1. Fil infini

Le fil infini présente une symétrie par rotation autour de l’axe (Oz) et par translation selon z. Le champ magnétique ne dépend donc ni de l’angle θ ni de la coordonnée z. On choisit un contour (C) circulaire de rayon r centré sur le fil.

La circulation du champ magnétique sur ce contour est :

∮(C) MB · dr = ∮(C) rB(r) dθ = 2 π r B(r)

Par le théorème d’Ampère :

2 π r B(r) = µ0 I

Donc :

B(r) = (µ0 I) / (2 π r)

Ce résultat correspond à la loi de Biot et Savart pour un fil infini.

2. Cylindre infini de rayon R avec densité de courant uniforme

Considérons un cylindre infini parcouru par un courant volumique uniforme j0. Le courant total traversant une section de rayon r est :

• Pour r > R (extérieur au cylindre) : I_enl = π R^2 j0
• Pour r < R (intérieur au cylindre) : I_enl = π r^2 j0

La circulation du champ magnétique sur un cercle de rayon r est :

∮(C) MB · dr = 2 π r B(r) = µ0 I_enl

Donc :

• Pour r > R :

B(r) = (µ0 I) / (2 π r) = (µ0 π R^2 j0) / (2 π r) = (µ0 j0 R^2) / (2 r)

• Pour r < R :

B(r) = (µ0 π r^2 j0) / (2 π r) = (µ0 j0 r) / 2

Le champ magnétique est continu en r = R, ce qui est un résultat général pour des distributions volumiques de courants.

3. Plaque plane infinie d’épaisseur e avec densité de courant uniforme

On considère une plaque plane infinie d’épaisseur e parcourue par un courant volumique uniforme j0 dirigé selon x. Le champ magnétique dépend uniquement de la coordonnée z perpendiculaire à la plaque :

MB(z) = B(z) uz

Le champ magnétique est antisymétrique par rapport au plan médian de la plaque :

B(−z) = −B(z)

On choisit un contour rectangulaire (PQRS) passant par un point M et son symétrique MS, orienté dans le plan (y,z).

La circulation du champ magnétique sur ce contour est :

∮(C) MB · dr = (2 yP − 2 yQ) B(z)

Par le théorème d’Ampère :

∮(C) MB · dr = µ0 I_enl = µ0 (yP − yQ) j0 e

On en déduit :

B(z) = (µ0 j0 e) / 2

pour |z| > e/2, et une expression proportionnelle à z à l’intérieur de la plaque, assurant la continuité du champ en z = ±e/2.

Complément : nappe de courant plane (courant surfacique uniforme js)

Une nappe de courant surfacique uniforme js crée une discontinuité du champ magnétique traversant la nappe égale à :

ΔB = µ0 js

Ce résultat est général pour toute nappe de courant plane.

4. Bobine torique de section transverse quelconque

Une bobine torique est constituée de N spires jointives parcourues par un courant I, enroulées sur un tore de révolution d’axe (Oz). La section transverse du tore est quelconque.

Le champ magnétique au point M de coordonnées cylindriques (r, θ, z) est indépendant de θ et z, et dirigé selon uθ :

MB(r) = B(r) uθ

On choisit un contour circulaire de rayon r centré sur l’axe du tore :

• Si M est en dehors du tore : I_enl = 0 et B(r) = 0.
• Si M est à l’intérieur du tore : I_enl = N I et

B(r) = (µ0 N I) / (2 π r)

Le champ ne dépend ni de z ni de la forme de la section transverse.

5. Solénoïde infini de section transverse quelconque

Un solénoïde infini est constitué de spires jointives parcourues par un courant I, avec un nombre de spires par unité de longueur n. Le champ magnétique est porté par l’axe (Oz) et ne dépend pas de θ ni de z (invariance par translation et rotation).

On choisit un contour rectangulaire traversant l’intérieur du solénoïde en deux points à distances différentes de l’axe :

∮(C) MB · dr = (B_int,2 − B_int,1) PQ = µ0 I_enl

Le champ magnétique à l’intérieur est uniforme :

B_int = µ0 n I

À l’extérieur, le champ est également uniforme mais nul :

B_ext = 0

Ce résultat s’obtient en assimilant le solénoïde infini à un tore de rayon infini.

Glossaire des termes clés

• Champ magnétique (MB) : vecteur représentant l’intensité et la direction du champ magnétique en un point.
• Circulation du champ magnétique : intégrale curviligne du champ magnétique le long d’un contour fermé, notée ∮ MB · dr.
• Fil infini : conducteur électrique idéalement long à l’infini parcouru par un courant.
• Contour fermé (C) : trajectoire fermée utilisée pour calculer la circulation du champ magnétique.
• Vecteur normal (n) : vecteur perpendiculaire au plan du contour, orienté selon la règle de la main droite.
• Intensité du courant (I) : grandeur scalaire représentant le flux de charges électriques dans un conducteur.
• Densité de courant volumique (j0) : courant par unité de surface traversant une section.
• Densité de courant surfacique (js) : courant par unité de surface dans une nappe de courant plane.
• Bobine torique : bobine enroulée sur un tore, caractérisée par un nombre de spires N et un courant I.
• Solénoïde infini : bobine très longue, considérée comme infinie, avec un nombre de spires par unité de longueur n.

Points clés à retenir

• Le théorème d’Ampère relie la circulation du champ magnétique à la somme algébrique des courants enlacés par un contour fermé.
• Pour un fil infini, le champ magnétique est proportionnel à 1/r et dirigé tangentiellement autour du fil.
• Dans un cylindre infini parcouru par un courant uniforme, le champ magnétique est continu et varie linéairement à l’intérieur, puis décroît en 1/r à l’extérieur.
• Une plaque plane d’épaisseur e avec un courant volumique uniforme crée un champ magnétique dépendant uniquement de la coordonnée perpendiculaire à la plaque, continu en ses limites.
• Une nappe de courant surfacique crée une discontinuité du champ magnétique égale à µ0 js.
• Dans une bobine torique, le champ magnétique est nul à l’extérieur et proportionnel à N I / r à l’intérieur.
• Le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde infini est uniforme et vaut µ0 n I, tandis qu’il est nul à l’extérieur.