ISET de Nabeul - Correction TD n°01

Ce TP porte sur le calcul des incertitudes absolues et relatives dans différentes mesures électriques telles que la puissance, la résistance, la tension et le courant. Il permet de comprendre comment évaluer la précision des instruments de mesure et d’exprimer les résultats avec leurs marges d’erreur. Pour réaliser ce TP, il est nécessaire de maîtriser les notions de base en électricité, ainsi que les règles de propagation des incertitudes.

Objectifs

• Calculer l’incertitude absolue et relative sur des grandeurs électriques (puissance, résistance, tension, courant).
• Appliquer les règles de propagation des incertitudes dans des formules composées.
• Exprimer les résultats de mesure sous forme d’intervalle de confiance ou avec une incertitude en pourcentage.
• Comparer la précision d’instruments analogiques et numériques.

Prérequis et installation

• Connaissances de base en électricité (lois d’Ohm, puissance électrique).
• Notions sur les incertitudes de mesure et leur propagation.
• Accès à des instruments de mesure (voltmètre, ampèremètre) avec leurs caractéristiques (calibre, nombre de divisions, classe de précision).
• Calculatrice pour effectuer les calculs d’incertitude.

Exercice 01 : Calcul de l’incertitude sur la puissance

Données : U = 120 V ± 2 V, I = 24,2 A ± 1,65 %.

Étapes :

1. Calculer la puissance : P = U × I = 120 × 24,2 = 2904 W.
2. Calculer l’incertitude absolue ΔP en utilisant la formule de propagation :

ΔP = I × ΔU + U × ΔI

avec ΔU = 2 V et ΔI = (1,65/100) × 24,2 = 0,4 A.

ΔP = 24,2 × 2 + 120 × 0,4 = 48,4 + 48 = 96,4 W

3. Calculer l’erreur relative :

ΔP / P × 100 = 96,4 / 2904 × 100 = 3,32 %

4. Exprimer le résultat :

Première façon : P = (2904 ± 96,4) W

Deuxième façon : P = 2904 W ± 3,32 %

Exercice 02 : Calcul de l’incertitude sur la résistance

Données :

• Voltmètre : LU = 27,2 V, N = 300 points, G = 30, ΔU = ± (0,2 % × LU + 2 points).
• Ampèremètre : Cl = 0,5, L = 92,85 divisions, E = 100, ΔI = ± 0,35 divisions.

Étapes :

1. Calculer le courant I :

I = (L / E) × Cl = (92,85 / 100) × 1 = 0,9285 A ≈ 928 mA

2. Calculer l’incertitude absolue sur I :

ΔcI = (lI × Cl / 100) × (ΔCl / E)
ΔcI = 0,005 A
ΔlI = 0,0035 A
ΔI = ΔcI + ΔlI = 0,0085 A = 8,5 mA

3. Calculer l’incertitude absolue sur U :

ΔU = 0,2 % × 27,2 + (2 × 30 / 300) = 0,0544 + 0,2 = 0,25 V

4. Calculer l’incertitude absolue sur R = U / I :

ΔR = (ΔU / I) + (U / I^2) × ΔI
ΔR = 0,25 / 0,928 + (27,2 / 0,928^2) × 0,0085 ≈ 0,54 Ω

5. Calculer l’incertitude relative :

R = 27,2 / 0,928 = 29,31 Ω
ΔR / R × 100 = 0,54 / 29,31 × 100 = 1,84 %

6. Exprimer le résultat :

Première façon : R = (29,31 ± 0,54) Ω

Deuxième façon : R = 29,31 Ω ± 1,84 %

Exercice 03 : Calcul de l’incertitude sur la puissance avec résistances en série

Données : R1 = 47 Ω ± 5 %, R2 = 33 Ω ± 3 %, R3 = 22 Ω ± 2 %, I = 2 A ± 0,05 A.

Étapes :

1. Calculer la résistance équivalente :

R = R1 + R2 + R3 = 47 + 33 + 22 = 102 Ω

2. Calculer les incertitudes absolues sur chaque résistance :

ΔR1 = 5 % × 47 = 2,35 Ω
ΔR2 = 3 % × 33 = 0,99 Ω
ΔR3 = 2 % × 22 = 0,44 Ω
ΔR = ΔR1 + ΔR2 + ΔR3 = 3,78 Ω

3. Calculer l’incertitude relative sur la puissance :

ΔP / P = (ΔR / R) + 2 × (ΔI / I)
= (3,78 / 102) + 2 × (0,05 / 2) ≈ 0,037 + 0,05 = 0,087

4. Calculer la puissance :

P = R × I^2 = 102 × 2^2 = 408 W

5. Calculer l’incertitude absolue sur la puissance :

ΔP = 0,087 × 408 = 35,49 W

6. Exprimer le résultat :

Première façon : P = (408 ± 35,49) W

Deuxième façon : P = 408 W ± 8,7 %

Intervalle de confiance : [372,51 ; 443,49] W

Exercice 04 : Calcul de l’incertitude sur la puissance avec un ampèremètre et une résistance

Données : R = 3 Ω ± 0,5 %, ampèremètre Cl = 0,5, N = 100, 5C = A, L = 82 divisions, Δl = 0,25 divisions.

Étapes :

1. Calculer le courant :

I = (L / 100) × 5 = (82 / 100) × 5 = 4,1 A

2. Calculer l’incertitude absolue sur I :

ΔcI = (lI × Cl / 100) × (ΔCl / E)
ΔcI = 0,025 A
ΔlI = 0,0125 A
ΔI = 0,037 A

3. Calculer l’incertitude sur R :

ΔR = 0,5 % × 3 = 0,015 Ω

4. Calculer l’incertitude absolue sur la puissance :

ΔP = I^2 × ΔR + 2 × R × I × ΔI
= (4,1)^2 × 0,015 + 2 × 3 × 4,1 × 0,037 ≈ 1,16 W

5. Calculer la puissance :

P = R × I^2 = 3 × (4,1)^2 = 50,43 W

6. Calculer l’incertitude relative :

ΔP / P × 100 = 1,16 / 50,43 × 100 = 2,3 %

Exercice 05 : Comparaison des incertitudes entre ampèremètre analogique et numérique

Données : I = 2,5 A.

• Ampèremètre analogique : Cl = 1,5, N = 300 points, Δl = 0,5 divisions.
• Ampèremètre numérique : Δ = ± (0,1 % + 0,01 %).

Étapes :

1. Calculer l’incertitude absolue analogique :

ΔcI = (lI × Cl / 100) × (ΔCl / E)
ΔcI = 0,045 A
ΔlI = 0,05 A
ΔI = 0,095 A

2. Calculer l’incertitude relative analogique :

ΔI / I × 100 = 0,095 / 2,5 × 100 = 3,8 %

3. Calculer l’incertitude absolue numérique :

ΔI = 0,1 % × 2,5 + 0,01 % × 4 = 0,0025 + 0,0004 = 0,0029 A

4. Calculer l’incertitude relative numérique :

ΔI / I × 100 = 0,0029 / 2,5 × 100 = 0,116 %

5. Conclusion : on choisit l’ampèremètre numérique car il donne une incertitude plus faible.

Exercice 06 : Choix du calibre et de l’échelle pour la mesure du courant

Données : Cl = 1,5, Δl = 0,5 division.

Étapes :

1. Tableau des mesures avec différents calibres et échelles (300 mA/30, 300 mA/100, 1 A/30, 1 A/100).
2. Calculer ΔI et ΔI / I pour chaque cas.
3. Choisir le calibre 300 mA car il est adapté à la valeur mesurée.
4. Choisir l’échelle 100 car elle donne une incertitude plus faible que l’échelle 30.

Exercice 07 : Calcul de la tension et de son incertitude dans un diviseur de tension

Données : E = 24 V, R1 = 38 Ω, R2 = 20 Ω, ΔR1 / R1 = 1 %, ΔR2 / R2 = 1 %, ΔE / E = 1 %.

Partie A

1. Calculer la tension aux bornes de R2 :

V = (R2 / (R1 + R2)) × E = (20 / (38 + 20)) × 24 = 5 V

2. Calculer l’incertitude relative sur V :

ΔV / V = (R1 / (R1 + R2)) × ΔR2 / R2 + (R2 / (R1 + R2)) × ΔR1 / R1 + ΔE / E
= (38 / 58) × 0,01 + (20 / 58) × 0,01 + 0,01 ≈ 0,0578 = 5,78 %

3. Calculer l’incertitude absolue sur V :

ΔV = 0,0578 × 5 = 0,289 V

4. Exprimer le résultat :

Première façon : V = (5 ± 0,289) V

Deuxième façon : V = 5 V ± 5,78 %

Partie B

Données supplémentaires : Cl = 1,5, Cv = 30, S1 = 100 Ω/V.

1. Calculer la résistance équivalente avec la résistance interne du voltmètre :

Réq = (R2 × S1 × Cv) / (R2 + S1 × Cv) = (20 × 100 × 30) / (20 + 100 × 30) = 19,86 Ω

2. Calculer la tension mesurée :

U2mes = (Réq / (Réq + R1)) × E = (19,86 / (19,86 + 38)) × 24 = 4,97 V

3. Calculer l’incertitude de méthode :

ΔU2 = U2mes - V = 4,97 - 5 = -0,03 V
ΔU2 / U2mes × 100 = 0,6 %

4. Changer le voltmètre avec S2 = 100 kΩ/V :

Réq' = (R2 × S2 × Cv) / (R2 + S2 × Cv) = (20 × 100000 × 30) / (20 + 100000 × 30) ≈ 19,99 Ω
U2mes' = (Réq' / (Réq' + R1)) × E = (19,99 / (19,99 + 38)) × 24 = 4,998 V
ΔU' = U2mes' - V = 0,002 V
ΔU' / U2mes' × 100 = 0,04 %

5. Conclusion : un voltmètre avec une résistance interne plus élevée (S plus grand) donne une mesure plus précise.

Exercice 08 : Calcul de l’incertitude sur une résistance avec un ohmmètre

Données : RG = 4000 Ω, N = 4000 points, L = 475,5, Δ = ± (0,2 % + 2 points).

Partie A

1. Calculer l’incertitude absolue :

ΔR0 = (2 % × L / 100) + (5 points × RG / N)
= (2 × 475,5 / 100) + (5 × 4000 / 4000) = 9,51 + 5 = 14,51 Ω

2. Calculer l’incertitude relative :

ΔR0 / R0 × 100 = 14,51 / 475,5 × 100 = 3,05 %

3. Exprimer le résultat :

Première forme : R = (475,5 ± 14,51) Ω

Deuxième forme : R = 475,5 Ω ± 3,05 %

Partie B

Données : R = R0 (1 + aθ), θ = 50° ± 1°, a = 1/250.

1. Calculer la valeur de R :

R = 475,5 × (1 + (1/250) × 50) = 475,5 × 1,2 = 570,6 Ω

2. Calculer l’incertitude absolue :

ΔR = (1 + aθ) × ΔR0 + a × R0 × Δθ
= 1,2 × 14,51 + (1/250) × 475,5 × 1 = 17,41 + 1,90 = 19,31 Ω

3. Calculer l’incertitude relative :

ΔR / R × 100 = 19,31 / 570,6 × 100 = 3,38 %

4. Exprimer le résultat :

Première forme : R = (570,6 ± 19,31) Ω

Deuxième forme : R = 570,6 Ω ± 3,38 %

Résultats attendus

• Calculs d’incertitudes absolues et relatives cohérents avec les données fournies.
• Expression des résultats sous forme d’intervalle ou avec pourcentage d’erreur.
• Reconnaissance que les instruments numériques offrent généralement une meilleure précision que les analogiques.
• Compréhension de l’impact des caractéristiques des instruments (calibre, nombre de divisions, résistance interne) sur la précision des mesures.

Pièges courants

• Oublier de convertir les pourcentages en valeurs absolues lors des calculs.
• Confondre incertitude absolue et incertitude relative.
• Ne pas prendre en compte toutes les sources d’erreur (ex. résistance interne des instruments).
• Choisir un calibre ou une échelle inadaptée, ce qui augmente l’incertitude.
• Ne pas additionner correctement les incertitudes composées (utiliser la somme simple au lieu de la propagation quadratique si nécessaire).