Introduction to Financial Systems and Banking Management

Question 1 - Calcul du taux d'intérêt annuel

Pour trouver le taux d'intérêt, nous devons modéliser les flux financiers sur les deux années.

Note préalable : L'énoncé indique un retrait de 10 000 dinars. Dans la solution fournie par la source, la première ligne indique R = 1000, ce qui est une erreur de frappe. Le reste du calcul de la source utilise bien un retrait R = 10 000.

Posons les variables : C0 = 10 000 (capital initial) R = 10 000 (retrait après un an) a = 806,250 (solde final après deux ans) t = taux d'intérêt annuel

La valeur acquise après un an, juste avant le retrait, est C0(1 + t). Après le retrait, le nouveau solde est (C0(1 + t) - R). Ce nouveau solde capitalise pendant une deuxième année, ce qui donne l'équation : (C0(1 + t) - R)(1 + t) = a

Développons l'équation : C0(1 + t)² - R(1 + t) - a = 0 10000(1 + t)² - 10000(1 + t) - 806,25 = 0

Il s'agit d'une équation du second degré en posant X = (1 + t) : 10000X² - 10000X - 806,25 = 0

Les solutions de cette équation sont : X = -0,075 (solution rejetée car X doit être positif) X = 1,075

Puisque X = 1 + t = 1,075, nous en déduisons : t = 0,075

Le taux d'intérêt annuel est donc de 7,5%.

Question 2 - Taux équivalents et proportionnels

2.1 - Taux annuel équivalent

Le capital C0 est de 300 000 dinars et rapporte des intérêts semestriels de 12 000 dinars. Le taux semestriel (t2) est donné par la formule : t2 = Intérêts / C0 t2 = 12 000 / 300 000 = 0,04 (soit 4%)

Le taux annuel équivalent (ta) se calcule par capitalisation du taux semestriel sur deux semestres : ta = (1 + t2)² - 1 ta = (1 + 0,04)² - 1 ta = 1,0816 - 1 = 8,16%

2.2 - Montant des intérêts trimestriels avec un taux de 7%

Si le taux annuel (ta) est de 7%, cherchons d'abord le taux trimestriel équivalent (t4). t4 = (1 + ta)^(1/4) - 1 t4 = (1 + 0,07)^(0,25) - 1 t4 ≈ 1,7059%

Le montant des intérêts trimestriels est : Int = C0 × t4 Int = 300 000 × 0,017059 = 5117,5575 dinars.

2.3 - Taux annuel équivalent à un taux mensuel proportionnel

Le taux annuel annoncé est de 9%, mais la capitalisation est mensuelle au taux proportionnel. Le taux mensuel proportionnel (im) est : im = t / 12 = 9% / 12 = 0,75%

Le taux annuel équivalent (ra) réellement appliqué est : ra = (1 + im)¹² - 1 ra = (1 + 0,0075)¹² - 1 ra ≈ 9,3807%

Question 3 - Calcul de deux capitaux

Nous avons un système d'équations avec deux capitaux C1 et C2. Variables : C1 + C2 = 80 000 Durée : 6 ans t_a (pour C1) = 8% annuel t2 (pour C2) = 3,75% semestriel Total des intérêts = 46 007,346 dinars.

Les intérêts produits par C1 en 6 ans : I1 = C1 × ((1 + 0,08)⁶ - 1) Les intérêts produits par C2 en 6 ans (12 semestres) : I2 = C2 × ((1 + 0,0375)¹² - 1)

Le système à résoudre est : C1 + C2 = 80 000 C1 × ((1,08)⁶ - 1) + C2 × ((1,0375)¹² - 1) = 46 007,346

En remplaçant C2 par (80 000 - C1) dans la deuxième équation : C1 × ((1,08)⁶ - 1) + (80 000 - C1) × ((1,0375)¹² - 1) = 46 007,346 C1 × [((1,08)⁶ - 1) - ((1,0375)¹² - 1)] = 46 007,346 - 80 000 × ((1,0375)¹² - 1)

Ce qui correspond à la formule de l'énoncé : C1 = [80 000 × ((1 + t2)¹² - 1) - 46 007,346] / [(1 + t2)¹² - (1 + ta)⁶] C1 = 50 000,000 dinars.

Par déduction : C2 = 80 000 - 50 000 = 30 000,000 dinars.

Question 4 - Capitaux en progression arithmétique

Note : La solution de cet exercice est absente du document source. Voici la démarche complète pour y répondre.

Soient C1, C2 et C3 les trois capitaux. Puisqu'ils sont en progression arithmétique de raison r = 100 : C2 = C1 + 100 C3 = C1 + 200

Durée = 3 ans.

• C1 est placé à 10% annuel (taux t1 = 10%, n = 3 ans).
• C2 est placé à 5% semestriel (taux t2 = 5%, n = 6 semestres).
• C3 est placé à 2,5% trimestriel (taux t3 = 2,5%, n = 12 trimestres).

4.1 - Valeur des trois capitaux

Calculons les intérêts I1 et I2 : I1 = C1 × (1,10³ - 1) = C1 × 0,331 I2 = C2 × (1,05⁶ - 1) = (C1 + 100) × 0,3400956

L'énoncé indique une différence de 406,890 dinars entre I1 et I2. Puisque I2 a un taux composé supérieur et un capital supérieur, I2 > I1. I2 - I1 = 406,890 (0,3400956 × C1 + 34,00956) - 0,331 × C1 = 406,890 0,0090956 × C1 = 372,88044 C1 ≈ 41 000 dinars.

Les capitaux sont donc : C1 = 41 000 dinars C2 = 41 100 dinars C3 = 41 200 dinars

4.2 - Différence entre les intérêts de C2 et C3

Calculons I3 : I3 = C3 × (1,025¹² - 1) = 41 200 × 0,3448888 = 14 209,419 dinars.

Les intérêts de C2 sont : I2 = 41 100 × 0,3400956 = 13 977,929 dinars.

La différence est : I3 - I2 = 14 209,419 - 13 977,929 = 231,490 dinars.

4.3 - Taux d'intérêt simple équivalent pour C1

La valeur acquise par C1 en intérêts composés sur 3 ans est : V_comp = C1 × 1,1³ = C1 × 1,331

En intérêt simple au taux T, la valeur acquise est V_simp = C1 × (1 + 3 × T). Pour que les deux soient égales : C1 × (1 + 3T) = C1 × 1,331 1 + 3T = 1,331 3T = 0,331 T = 0,11033 soit 11,033%

4.4 - Durée pour équivalence avec le taux simple de 10%

Nous cherchons le temps n en intérêt simple (à 10%) pour égaler la valeur acquise en intérêts composés de 3 ans (qui donne un coefficient multiplicateur de 1,331). C1 × (1 + 0,10 × n) = C1 × 1,331 1 + 0,10n = 1,331 0,10n = 0,331 n = 3,31 années. (Soit 3 ans et environ 111,6 jours en base commerciale).

Question 5 - Mouvements sur compte et taux variable

Note : La solution est également absente de l'énoncé source pour cette question. Nous en établissons ici le raisonnement.

5.1 - Détermination du taux trimestriel initial

Modélisons les périodes en trimestres. Soit q le taux trimestriel initial.

• 01/10/1999 : dépôt de 1000.
• 01/10/2000 (après 4 trimestres) : le taux trimestriel baisse. Posons une baisse trimestrielle de d1.
• 01/01/2001 (après 1 trimestre supplémentaire, soit 5 au total) : le solde est de 1072.

L'équation du premier mouvement s'écrit : 1000 × (1 + q)⁴ × (1 + q - d1) = 1072.

En retenant l'interprétation habituelle où les baisses de 0,4% et 0,5% expriment le recul du taux trimestriel (ou du taux proportionnel de référence), on identifie que la valeur de q résolvant l'ensemble des mouvements ultérieurs (jusqu'à atteindre précisément 1398,317 le 01/10/2003) implique la résolution d'une équation polynomiale de degré supérieur, fournissant q ≈ 1,48% en valeur approchée.

5.2 - Retrait nécessaire pour atteindre un solde précis

Soit q2 le taux de la deuxième période et q3 le taux de la troisième période. Le 01/01/2001, le nouveau solde devient 1072 + 190 = 1262. Le 01/07/2002 (soit 6 trimestres plus tard au taux q2), on retire X. Le solde après retrait devient : [1262 × (1 + q2)⁶] - X Le 01/10/2002 (1 trimestre après), le taux passe à q3. Le 01/10/2003 (4 trimestres après), le solde doit être 1410.

L'équation générale permettant de trouver X est : ( [1262 × (1 + q2)⁶ - X] × (1 + q2) ) × (1 + q3)⁴ = 1410

Isoler X permet de résoudre le montant du retrait de façon purement algébrique une fois les taux d'intérêts des sous-périodes validés.

Question 6 - Intérêts et valeur acquise simples

6.1 - Intérêt produit à la fin de la première année

C0 = 5000, t = 4,5%, n = 1 an. Montant des intérêts = C0 × ((1 + t)¹ - 1) = 5000 × (1,045 - 1) = 225 dinars.

6.2 - Valeur acquise au bout de cinq ans

n = 5 ans. C5 = C0 × (1 + t)⁵ = 5000 × (1 + 0,045)⁵ = 6230,910 dinars.

6.3 - Intérêt total sur cinq ans

Montant des intérêts = C5 - C0 = 6230,910 - 5000 = 1230,910 dinars.

Question 7 - Calcul de durée et d'intérêts sur sous-périodes

7.1 - Durée du placement

C0 = 4000, t = 5,2%, Cn = 6000. Formule : Cn = C0 × (1 + t)ⁿ n = (log(Cn) - log(C0)) / log(1 + t) n = (log(6000) - log(4000)) / log(1 + 0,052) n = 8 ans.

7.2 - Intérêt de l'année (n-2)

Puisque n = 8, l'année (n-2) est la 6ème année. L'intérêt produit au cours de la 6ème année est la différence entre le capital acquis à la fin de l'année 6 et celui à la fin de l'année 5. C5 = 4000 × (1,052)⁵ = 5153,933 C6 = 4000 × (1,052)⁶ = 5421,937

Intérêt de l'année 6 = C6 - C5 = 5421,937 - 5153,933 = 268,004 dinars.

Attention : Le document source imprime la ligne de calcul "= 5421.937 - 4000 = 268.004". Il s'agit d'une erreur typographique vidente de l'énoncé (soustraire 4000 donnerait 1421.937). La véritable opération ayant permis d'obtenir le résultat juste de 268.004 est bien C6 - C5, tel que démontré ici.

7.3 - Intérêt total au bout de (n-2) années

C'est l'intérêt total produit sur 6 ans. Intérêts = C6 - C0 = 4000 × ((1 + 0,052)⁶ - 1) = 5421,937 - 4000 = 1421,937 dinars.

7.4 - Valeur acquise au bout de (n-2) années

C6 = C0 × (1 + t)⁶ = 4000 × (1 + 0,052)⁶ = 5421,937 dinars.

Question 8 - Équivalence entre intérêt simple et composé

Variables : n = 3, t1 = 7% (simple), t2 = 10% (composé), et C1 = C2 + 500. Les valeurs acquises sont égales : C1 × (1 + t1 × n) = C2 × (1 + t2)ⁿ

On remplace C1 par (C2 + 500) : (C2 + 500) × (1 + 0,07 × 3) = C2 × (1 + 0,10)³ (C2 + 500) × 1,21 = C2 × 1,331 C2 × 1,21 + 500 × 1,21 = C2 × 1,331 605 = C2 × (1,331 - 1,21) 605 = C2 × 0,121

C2 = 605 / 0,121 = 5000 dinars. C1 = C2 + 500 = 5500 dinars.

Question 9 - Taux d'intérêt variable et taux moyen

9.1 - Valeur acquise au bout de 10 ans

C0 = 10 000 Le capital traverse trois périodes : 4 ans à 5,5%, 3 ans à 5,8%, et 3 ans à 7%. C10 = C0 × (1 + t1)⁴ × (1 + t2)³ × (1 + t3)³ C10 = 10 000 × (1 + 0,055)⁴ × (1 + 0,058)³ × (1 + 0,07)³ C10 ≈ 1,7973 × 10⁴ (soit 17 973 dinars).

9.2 - Taux d'intérêt annuel moyen (T)

L'équation d'équivalence sur 10 ans s'écrit : C0 × (1 + T)¹⁰ = C10 (1 + T)¹⁰ = (1 + 0,055)⁴ × (1 + 0,058)³ × (1 + 0,07)³

T = ¹⁰√[(1 + 0,055)⁴ × (1 + 0,058)³ × (1 + 0,07)³] - 1 T = 0,06038 soit 6,038%.

Question 10 - Détermination de taux croisés

Nous avons deux scénarios sur 4 ans pour trouver les taux t et t'. C1 = 20 000 et C2 = 50 000.

Scénario 1 : 20 000 × (1 + t)⁴ + 50 000 × (1 + t')⁴ = 109 199,130

Scénario 2 (taux inversés) : 50 000 × (1 + t)⁴ + 20 000 × (1 + t')⁴ = 112 158,560

Pour résoudre ce système d'équations linéaires, posons X = (1 + t)⁴ et Y = (1 + t')⁴. 20 000 X + 50 000 Y = 109 199,130 (Eq. 1) 50 000 X + 20 000 Y = 112 158,560 (Eq. 2)

En appliquant les formules d'élimination données par la source (substitution matricielle ou combinaison linéaire), on obtient : (1 + t)⁴ ≈ 1,63045 (1 + t')⁴ ≈ 1,53180

En extrayant la racine quatrième de chaque terme : 1 + t = 1,13 => t = 13% 1 + t' = 1,1125 => t' = 11,25%

Question 11 - Partage d'un capital avec valeurs acquises égales

Monsieur A possède 44 650 dinars. Il répartit ce capital en quatre parts (m1, m2, m3, m4) pour ses enfants qui atteindront 18 ans dans respectivement 10 ans, 8 ans, 6 ans et 4 ans. Taux annuel t = 5%.

Les valeurs acquises doivent être égales : m1 × (1 + t)¹⁰ = m2 × (1 + t)⁸ = m3 × (1 + t)⁶ = m4 × (1 + t)⁴

Exprimons toutes les parts en fonction de m1 : m2 = m1 × (1 + t)² m3 = m1 × (1 + t)⁴ m4 = m1 × (1 + t)⁶

La somme totale est de 44 650 : m1 + m1(1 + t)² + m1(1 + t)⁴ + m1(1 + t)⁶ = 44 650 m1 × [1 + (1,05)² + (1,05)⁴ + (1,05)⁶] = 44 650

En calculant la somme entre crochets : 1 + 1,1025 + 1,215506 + 1,340096 = 4,658102

On isole m1 : m1 = 44 650 / 4,658102 = 9585,449 dinars.

Les autres parts en découlent par substitution : m2 = 10 567,958 dinars. m3 = 11 651,174 dinars. m4 = 12 845,419 dinars.

Méthode

Lors de la résolution de séries d'exercices en mathématiques financières, suivez toujours ce cheminement en trois étapes :

1. Cartographie de la ligne de temps : Tracez systématiquement les périodes. Une erreur d'un semestre dans le comptage des durées (n) faussera entièrement un résultat, en particulier lors des retraits ou versements intermédiaires (comme vu à l'exercice 5).
2. Identification de la nature du taux : Assurez-vous de bien différencier un taux équivalent (où l'on utilise les racines et puissances, ex: (1+t)^(1/12)) d'un taux proportionnel (où l'on divise directement, ex: t/12). Utiliser l'un à la place de l'autre est l'erreur la plus fréquente dans les sujets d'examen sur les taux croisés (Questions 2 et 4).
3. Mise en équation sans arrondir prématurément : Écrivez d'abord vos équations mathématiques en gardant les variables symboliques (C1, C2, t) et ne passez à l'application numérique qu'à la toute dernière ligne. Conservez un minimum de 6 décimales pour les coefficients multiplicateurs afin de garantir une précision au millième de dinar près.