Module de :
Introduction aux SystŁmes
Financiers & Gestion
Bancaire
UniversitØ de Manouba
Niveau : 1
iŁre
AnnØe
FiliŁre : II
(cid:201)cole Nationale des
Sciences de L’Informatique
A.Univ. : 2015-2016
Semestre II
(cid:176)
TD N
3 : IntØrŒt ComposØ
1. Une personne dØpose dans un compte productif d’intØrŒts composØs la somme de 10 000 dinars. Un an
aprŁs, elle retire 10 000 dinars. Un an aprŁs ce retrait, elle dispose de 806,250 dinars. Calculer le taux
d’intØrŒt annuel.
Solution:
C0 = 10000, a = 806.250, R = 1000
(C0(1 + t) − R)(1 + t) = a
C0(1 + t)2 − R(1 + t) − a = 0
104(1 + t)2 − (R)(1 + t) − 806.25 = 0
(1 + t) = −0.075 < 0 rejet
(1 + t) = 1.075
Alors, t = 7.5%.
2. Un capital de 300 000 dinars placØ dans une banque rapporte des intØrŒts semestriels de 12000 dinars.
1. Quel est le taux annuel Øquivalent de ce placement ?
2. Si ce capital a ØtØ placØ au taux annuel de 7%, quel est le montant des intØrŒts trimestriels versØs ?
(taux Øquivalent).
3. Si le taux annuel annoncØ par la banque est de 9% et qu’en rØalitØ les intØrŒts sont versØs mensuelle-
ment au taux proportionnel, quel est le taux annuel Øquivalent ?
Solution:
1.
2.
ta = 7%
3. Le taux proportionnel es donnØe par :
t2 = Int/C0
=
1.2 × 104
3 × 105
= 4%
ta = (1 + t2)2 − 1
= (1 + 0.04)2 − 1
= 8.16%
t4 = 4(cid:112)(1 + ta) − 1
= 4(cid:112)(1 + 0.07) − 1
= 1.7059%
Int = C0 × t4
= 3 × 105 × 0.0171
= 5117.5575
im =
t
Publicité
m
=
9
12
= 0.75%
1
Alors, le taux annuel Øquivalent est :
ra = (1 + im)m − 1
= (1 + im)m − 1
= 9.3807%
3. Deux capitaux C1 et C2 dont le montant total s’ØlŁve (cid:224) 80 000 dinars sont placØs le mŒme jour pour une
durØe de 6 ans, (cid:224) intØrŒt composØ.
Le capital C1 est placØ au taux annuel de 8%, capitalisation annuelle des intØrŒts. Le capital C2 est
placØ au taux semestriel de 3, 75%, capitalisation semestrielle des intØrŒts. Au bout des 6 ans, le total
des intØrŒts produits s’ØlŁve (cid:224) 46 007.3461 dinars.
Calculer C1 et C2.
Solution:
(cid:26) C1 + C2 = 80000.000
((1 + ta)6 − 1)C1 + ((1 + t2)12 − 1)C2 = 46007.346
80000.000 × ((1 + ta)6 − 1) − 46007.346
(1 + ta)6 − (1 + t2)12
C1 =
80000.000 × ((1 + t2)12 − 1) − 46007.346
(1 + ta)6 − (1 + t2)12
C2 = −
(cid:26) C1 = 50000.000
C2 = 30000.000
4. Trois capitaux en progression arithmØtique de raison r = 100, sont placØs (cid:224) intØrŒt composØ pendant
trois ans, aux conditions suivantes :
(cid:22) Premier capital : taux annuel 10%, capitalisation annuelle des intØrŒts.
(cid:22) DeuxiŁme capital : taux semestriel 5%, capitalisation semestrielle des
(cid:22) intØrŒts.
(cid:22) TroisiŁme capital : taux trimestriel 2,5%, capitalisation trimestrielle des
(cid:22) intØrŒts.
1. Au bout de 3 annØes de placement, les intØrŒts produits par les deux premiers capitaux prØsentent
une di(cid:27)Ørence de 406,890 dinars. Calculer la valeur de chacun des trois capitaux.
2. Calculer la di(cid:27)Ørence entre les intØrŒts produits par le deuxiŁme et le troisiŁme capital
3. A quel taux d’intØrŒt simple le premier capital devrait-il Œtre placØ pour que, aprŁs 3 annØes de
placement, la valeur acquise (cid:224) intØrŒt simple soit Øgale (cid:224) la valeur acquise (cid:224) intØrŒt composØ ? (taux
intØrŒt composØ = 10%).
4. Au bout de combien de temps le premier capital placØ (cid:224) intØrŒt simple aux taux de 10% donnerait-il
une valeur acquise Øgale (cid:224) la valeur acquise du mŒme capital placØ (cid:224) intØrŒt composØ au mŒme taux
annuel de 10% pendant 3 ans ?
Solution:
5. Une personne dØpose le 01/10/1999, dans un compte productif d’intØrŒts composØs, la somme de 1000
dinars au taux d’intØrŒt i. Le 01/01/2001, elle consulte son solde qui Øquivaut (cid:224) 1072 TND puis elle
verse la somme de 190 dinars. Le 01/07/2002, elle retire du capital acquis la somme de 50 dinars. Le
01/10/2003, elle dispose d’une somme totale, capital et intØrŒts rØunis, qui s’ØlŁve (cid:224) 1398,317 dinars.
1. Sachant que le taux d’intØrŒt de toute la pØriode considØrØe a baissØ, le 01/10/2000 de 0,4% et le
01/10/2002 de 0,5%, dØterminer le taux trimestriel Øquivalent de ce placement.
2. Quelle somme devrait retirer cette personne le 01/07/2002 pour que le solde de son compte au
Publicité
01/10/2003 soit Øgal (cid:224) 1410 dinars ?
Solution:
6. Un investisseur place 5000 dinars pendant 5 ans (cid:224) intØrŒt composØ, au taux annuel de 4,5%.
1. Calculer l’intØrŒt produit par ce placement (cid:224) la (cid:28)n de la premiŁre annØe.
2. Calculer la valeur acquise par ce capital au bout des cinq ans de placement.
3. Calculer l’intØrŒt total produit par ce placement au bout des cinq annØes.
Solution:
2
1.
2.
3.
Montant des intØrŒts = Cn − C0
= C0 × ((1 + t)n − 1)
= 5000 × ((1 + 0.045)1 − 1) = 5225 − 5000
= 225
Cn = C0 × (1 + t)n
= 5000 × (1 + 0.045)5
= 6230.910
Montant des intØrŒts = Cn − C0
= C0 × ((1 + t)n − 1)
= 5000 × ((1 + 0.045)5 − 1) = 6230.9097 − 5000
= 1230.910
7. On place aujourd’hui 4000 dinars (cid:224) intØrŒt composØ au taux annuel de 5,2%. Au terme du placement, on
dispose de 6000 dinars.
1. DØterminer la durØe du placement, n.
2. Calculer l’intØrŒt de l’annØe (n-2).
3. Calculer l’intØrŒt total produit au bout de (n-2) annØes de placement.
4. DØterminer la valeur acquise par ce capital au bout de (n-2) annØes de placement.
Solution:
1. DØterminer la durØe du placement, n.
n =
=
log(Cn) − log(C0)
log(1 + t)
log(Cn) − log(4000)
log(1 + 0.052)
= 8 ans
2. Calculer l’intØrŒt de l’annØe (n-2).
Montant des intØrŒts = Cn − C0
= C5 × ((1 + t)n − 1)
= C0 × (1 + t)5 × ((1 + t)n − 1)
= 4000 × (1 + t)5 × ((1 + 0.052)1 − 1) = 5421.937 − 4000
= 268.004
3. Calculer l’intØrŒt total produit au bout de (n-2) annØes de placement.
Montant des intØrŒts = Cn − C0
= C0 × ((1 + t)n − 1)
= 4000 × ((1 + 0.052)6 − 1) = 5421.937 − 4000
= 1421.937
4. DØterminer la valeur acquise par ce capital au bout de (n-2) annØes de placement.
Cn = C0 × (1 + t)n
= 4000 × (1 + 0.052)6
= 5421.937
3
8. Deux capitaux placØs pendant trois ans, le premier (cid:224) intØrŒt simple au taux de 7% et le second (cid:224) intØrŒt
Publicité
composØ au taux de 10%. Le premier capital Øtant supØrieur au second de 500 dinars, a acquis la mŒme
valeur que celle du second capital. Calculer les montants des deux capitaux.
Solution:
C1 =?, C2 =?, n = 3, t1 = 7%, t2 = 10% et C1 = C2 + 500.
C1(1 + t1 × n) = C2(1 + t2)n
(C2 + 500)(1 + t1 × n) = C2(1 + t2)n
C2 × (1 + t1 × n) + 500 × (1 + t1 × n) = C2(1 + t2)n
C2((1 + t2)n − (1 + t1 × n)) = 500 × (1 + t1 × n)
C2 =
A.N. : =
500 × (1 + t1 × n)
(1 + t2)n − (1 + t1 × n)
500 × (1 + 0.07 × 3)
(1 + 0.1)3 − (1 + 7 × 3)
= 5000
C1 = C2 + 500
= 5000 + 500
= 5500
9. Un investisseur souscrit un bon de capitalisation de 10000 dinars dont les intØrŒts sont composØs annuel-
lement. Le taux d’intØrŒt est de 5,5% les 4 premiŁres annØes, 5,8% les 3 annØes suivantes et 7% les 3
derniŁres annØes.
1. Calculer la valeur acquise par le bon de capitalisation, au bout de 10 ans.
2. DØterminer le taux d’intØrŒt annuel moyen pour l’ensemble des 10 annØes de placement.
Solution:
1.
2.
C10 = C0 × (1 + t1)4 × (1 + t2)3 × (1 + t3)3
= 104 × (1 + 0.055)4 × (1 + 0.058)3 × (1 + 0.07)3
= 1.7973 × 104
C0(1 + T )n = C0(1 + t1)n1 × (1 + t2)n2 × (1 + t3)n3
(1 + T )n = (1 + t1)n1 × (1 + t2)n2 × (1 + t3)n3
T = n(cid:112)(1 + t1)n1 × (1 + t2)n2 × (1 + t3)n3 − 1
= 10(cid:112)(1 + 5.5)4 × (1 + 5.8)3 × (1 + 7)3 − 1
= 6.038%
10. Une personne place (cid:224) intØrŒt composØ une somme de 20000 dinars (cid:224) un taux d’intØrŒt annuel t et une
somme de 50000 dinars (cid:224) un taux d’intØrŒt annuel t’. AprŁs quatre ans, elle dispose d’une somme totale
Øgale (cid:224) 109199,130 TND. Si le capital de 20000 dinars Øtait placØ au taux d’intØrŒt t’ et le capital de
50000 dinars Øtait placØ au taux d’intØrŒt t, alors la somme des deux valeurs acquises devient 112159,560
dinars. Calculer les deux taux d’intØrŒt t et t’.
Solution:
C1 = 2 × 104, C2 = 5 × 104, n = 4.
4
(cid:26) C 1
n + C 2
n = 109199.130
1 + C (cid:48)
C (cid:48)
n
n
2 = 112158.560
(cid:26) C1(1 + t)4 + C2(1 + t(cid:48))4 = 109199.130
C2(1 + t)4 + C1(1 + t(cid:48))4 = 112158.560
(1 + t)4 =
109199.130 − C2(1 + t(cid:48))4
Publicité
C1
(109199.130 − C2(1 + t(cid:48))4)
+ C1(1 + t(cid:48))4 = 112158.560
C2
C1
(1 + t)4 =
(1 + t(cid:48))4 =
(1 + t)4 =
(1 + t(cid:48))4 =
(cid:26) t = 0.13
t(cid:48) = 0.1125
109199.130 − C2(1 + t(cid:48))4
C1
C 2
112158.560C1 − 109199.130C2
1 − C 2
2
109199.130C1 − 112158.560C2
1 − C 2
2
112158.560C1 − 109199.130C2
1 − C 2
2
C 2
C 2
11. Monsieur A dispose aujourd’hui de 44650 dinars qu’il dØsire partager entre ses quatre enfants (cid:226)gØs
respectivement de 8, 10, 12 et 14 ans. Ces parts sont placØes (cid:224) intØrŒt composØ au taux annuel de 5%.
Calculer les quatre parts sachant que monsieur A souhaite que chacun de ses enfants re(cid:231)oive la mŒme
somme d’argent (cid:224) l’(cid:226)ge de 18 ans.
Solution:
m1 + m2 + m3 + m4 = 44650.000
m1(1 + t)10 = m2(1 + t)8 = m3(1 + t)6 = m4(1 + t)4
m2 = (1 + t)2m1
m3 = (1 + t)4m1
m4 = (1 + t)6m1
m1(1 + (1 + t)2 + (1 + t)4 + (1 + t)6) = 44650.000
m1 =
4.465 × 104
1 + (1 + t)2 + (1 + t)4 + (1 + t)6
= 9585.449
m2 = 10567.958
m3 = 11651.174
m4 = 12845.419
5