Interpolation polynomiale : Construction de polynômes à partir de points expérimentaux

Ce texte traite de l'interpolation polynomiale, une méthode mathématique utilisée pour construire un polynôme qui passe exactement par un ensemble de points expérimentaux. Cette technique est essentielle pour les étudiants et chercheurs en mathématiques appliquées, en sciences de l'ingénieur ou en traitement de données, qui souhaitent comprendre comment modéliser ou approximer une fonction à partir de données discrètes.

La question

Le travail s'intéresse au problème suivant : comment construire un polynôme qui interpole un ensemble de points donnés, c’est-à-dire un polynôme qui prend des valeurs précises en des points spécifiques appelés nœuds ? Cette question est importante car, dans de nombreux cas, la fonction que l’on souhaite étudier n’est connue que par ses valeurs en quelques points expérimentaux. Trouver un polynôme d'interpolation permet alors de représenter cette fonction de manière continue et simple, facilitant ainsi des calculs ultérieurs comme l'intégration ou la dérivation.

Concepts de base

On considère un ensemble de n+1 points distincts (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn), où chaque yi correspond à la valeur d'une fonction f au point xi. Le but est de trouver un polynôme P* de degré au plus n tel que :

P*(xi) = yi  pour  i = 0, ..., n.

Un tel polynôme est appelé polynôme d'interpolation. L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n forme un espace vectoriel noté Rn[x], de dimension n+1, avec comme base canonique les polynômes 1, x, x^2, ..., x^n.

Il existe une unique solution à ce problème d'interpolation, ce qui signifie qu'il y a un seul polynôme de degré n qui passe par tous les points donnés.

Approche

La méthode directe, dite "naïve", consiste à écrire le polynôme Pn dans la base canonique :

Pn(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + ... + an x^n,

et à déterminer les coefficients a0, a1, ..., an en résolvant un système linéaire de n+1 équations issues des conditions d'interpolation :

a0 + a1 x0 + a2 x0^2 + ... + an x0^n = y0
a0 + a1 x1 + a2 x1^2 + ... + an x1^n = y1
...
a0 + a1 xn + a2 xn^2 + ... + an xn^n = yn

Ce système peut être représenté matriciellement, mais sa résolution devient rapidement complexe et numériquement instable pour des degrés élevés.

Une méthode plus astucieuse est celle de Lagrange, qui construit une base spécifique {L0, L1, ..., Ln} de polynômes caractéristiques, appelés polynômes de Lagrange, définis par :

Li(x) = ∏ (x - xj) / (xi - xj)   pour j = 0,...,n, j ≠ i

Chaque polynôme Li(x) est de degré n, vaut 1 en xi et 0 en tous les autres xj (j ≠ i). Le polynôme d'interpolation s'écrit alors directement :

Pn(x) = Σ yi * Li(x)   pour i = 0,...,n.

Cette formule permet de construire explicitement le polynôme interpolant sans résoudre de système linéaire.

Résultats

Le travail confirme que pour n+1 points distincts, il existe un unique polynôme d'interpolation de degré au plus n. La formule de Lagrange fournit une solution explicite et constructive.

Une propriété importante est l'expression de l'erreur d'interpolation. Si la fonction f est suffisamment régulière (de classe C^(n+1)) sur l'intervalle contenant les nœuds, alors pour tout x dans cet intervalle, l'erreur entre f(x) et l'interpolant Pn(x) est donnée par :

En(x) = f(x) - Pn(x) = (f^(n+1)(ξ) / (n+1)!) * (x - x0)(x - x1)...(x - xn)

où ξ est un point situé entre les nœuds et x. Cette formule montre que l'erreur dépend du (n+1)-ième dérivée de f et du produit des distances entre x et les nœuds.

Cependant, il est important de noter que cette erreur ne tend pas nécessairement vers zéro lorsque le nombre de points augmente, surtout si les nœuds sont uniformément répartis. Ce phénomène, appelé phénomène de Runge, illustre que l'augmentation du degré du polynôme peut parfois aggraver l'approximation, notamment aux extrémités de l'intervalle.

Pour éviter ce problème, on peut choisir des nœuds non uniformes, par exemple les nœuds de Chebyshev, qui sont plus concentrés aux extrémités. Avec une telle distribution, l'interpolant converge mieux vers la fonction f.

Limitations et questions ouvertes

Le texte souligne que l'interpolation polynomiale avec des nœuds uniformément espacés ne garantit pas la convergence de l'interpolant vers la fonction d'origine lorsque le degré augmente. Certaines fonctions très régulières peuvent néanmoins présenter une erreur d'interpolation qui diverge.

Le phénomène de Runge reste une limitation majeure, et le choix judicieux des nœuds d'interpolation est crucial pour obtenir une bonne approximation. La méthode ne traite pas ici des alternatives comme les splines, qui peuvent offrir une meilleure stabilité et convergence.

Glossaire

• Interpolation polynomiale : Construction d'un polynôme qui passe exactement par un ensemble de points donnés.
• Nœuds d'interpolation : Les points x0, x1, ..., xn où les valeurs de la fonction sont connues et que le polynôme doit interpeler.
• Polynôme d'interpolation : Polynôme unique de degré au plus n qui satisfait Pn(xi) = yi pour tous les i.
• Base canonique : Ensemble des polynômes {1, x, x^2, ..., x^n} formant une base de l'espace des polynômes de degré ≤ n.
• Polynômes de Lagrange : Polynômes caractéristiques Li(x) utilisés pour construire l'interpolant, valant 1 en xi et 0 en les autres nœuds.
• Phénomène de Runge : Problème de divergence de l'interpolant polynomial lorsque le degré augmente avec des nœuds uniformément espacés.
• Nœuds de Chebyshev : Distribution particulière des nœuds qui améliore la convergence de l'interpolation polynomiale.
• Erreur d'interpolation : Différence entre la fonction d'origine et son polynôme interpolant, liée à la dérivée d'ordre n+1 de la fonction.