m.{fr 'm#zrnfu,rz.4,r,zffi*r:2.w,
n +'l points,
Approcher une fbnction / consiste à la remplacer par une autre fonction <p dont Ia forme est plus simple et dont on
peut se servir à la place de /. On verra dans le prochain chapitre qu'on utilise fréquemment cette stratégie en intégration
numérique quand, au lieu de calculer il ttrl dx on calcule de manière exacte f! qg) dx, oir g est une fonction simple à
intégrer (par exemple polynomiale), Dans d'autres contextes, la fonction / peut"n'être connue que par les valeurs qù,elle
prend en quelques points particuliers. Dans ce ças, on cherche à construire une fonction continue g représentant une loi
empirique qui se cacherait derrière les données.
2.X . mtwr palw\uæn p&27 nerffirffir@
Étantdonné n+ l couples
!\*t,y'lijl=u,l"problème consiste àtrouverunefonction a=q@)telleque q(xù =.y,;ondit
alors que rp interpole l'ensemble de valeurs {y;}f=o aux næuds {xiI|,=0. Les quantités /, représentent les valeurs aux næuds
x; d'une fonction / connue analytiquement ou'dès données expéiiËentales. Dans lL premier cas, I'approximation a pour
but de remplacer / par une fonction plus simple en vue d'un calcul numérique d'intégrale ou de dérivée. Dans I'autre càs, le
but est d'avoir une représentation synthétique de données expérimentales (dont le nombre peut être très élevé). On parle
d'interpolation polynomiale quand g est un polynôme et d'interpolation polynomiale pu, -or."u (ou d,interpolàtion
par fonctions splines) si g est polynomiale par morceaux.
Notons R,n[x] l'espace vectoriel formé par tous les polynômes de degré inférieur ou égale à ru.llest bien connu que
Rm [xl a dimension m + I et que sa base canonique est donnée par lt, x,i2 ,...,x^ l.
Supposons que I'on veuille chercher un polynôme P de d,egré ne > 0 qui, pour des valeurs xs,x1,x2,...,x distinctes
données (appelés næuds d'interpolation), prenne les valeurs yo, yr, yz, . . . , y- respectivement, c'est-à-dire
P*(xt) = y,
pour0<i=m.
(2.1)
Si un tel polynÔme existe, il est appelé polynôme d'interpolation ou polynôme interpolalt.
4$"'z''7tz,f:'{..v''/:t::,t.."fJt} lnlût'ft(riçllr;tt li{il,/tL{}irti,x.ie:
''g.
Êtant donné ftt + I points distinÇts xs ,..., xftt et
fr P € R,n[x] tel que P(xr) = y,, pour i = 0, ...m.
rn. + 1 valeurs correspondantes ),g,...,!m, il existe un unique polynôme
2.1"1. M&t.hd diræcte {t*u "na'ive"}
Une tlanière apparemment simple de résoudre ce problème est d'écrire le polynôme dans la base canonique de R'11 [x] :
P,n(x) = agr alxr a2xz +...t e771ttn,
où as,a1,ctz,-..,ctntsont des coefficients qui devront être déterminés. Les (m + l) relations (2.1) s,écrivent alors
ao * arxo + ... a"xf - lo
AO * AtXt + ... A,rY'tn = lt
An''F AIXm
+... arrx'il= !m
;,11"
t
J
61
?, lnterpolation
Jeudi 5 juin 2û14
Puisque les valeurs xi et yi sont connues, ces relations forment un système linéaire de (m + 1) équations en les (rn + l)
inconnues ao, at, a2,..., a- qu'on peut mettre sous la forme matricielle I
Xg
X1
:
Xp7
",r)lY
lï.
(2.2)
Ainsi, le problème consistant àchercherle pollmôme p. satisfaisant (2.1) peut se réduire àrésoudre le système linéaire (2.2).
Cependant, résoudre une système linéaire de (m+ l) équations à(m+ l) inconnues nest pas une tache triviale. Cette
méthode pour trouver le polynÔme Prlz n est donc pas une bonne méthode en pratique. Dans la suite on va étudier une
méthode plus astucieuse pour construire le polynôme p,n.
2"3".2. MÉthode d* Lagrængæ
QuandonécritlepolynômeP-danslabasecanoniquedeRr,[x],leproblèmeestdedéterminerles (m+I)coefficients
Ag, Ay, 42,..., Q/æ tels qUe
orr se demande s'il existe une autre base {lo,lr,r2,...,Lp} de R,,[r] telle que le polynôme p- s,écrit
Pp(x) = &g a1x a2xz +... + A*x".
P^(x) = loLo?) + yLLtQ) + yzLz@) + ...+ y,nL*(x),
autrement dit s'il existe une base telle que les coordonnées du polynôme dans cette base ne sont rien d'autre que les valeurs
Connues !0,!t,...,y*.
Pour trouver une telle base, commençons par imposer le passage du polynômes par les ru + 1 points donnés ; les (nl + l)
relations (2.1) imposent la condition :
r. .
LiGi, =
f I sii=i
1o sinon
pour0<i,j=m,
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ce qui donne
Li@)
,j
xi-xj
tn
=fl
j=o
-i*i
(x- xù(x- x1)...(x - xi-r)(x - xi+t)... (x- xm)
(xi - xù(xi - x1)... (xi - x;-r)(x; - xi+l) ... (xi - xn)
Clairement, le nurnérateur de l; (x) est un produit de m termes {x * xl avec i I j et est donc un polynôme de degré m. Le
dénoninateur est une constante et il est facile de vérifler que
- Li@) € Rrnl.rl,
- L;(xi) =0 si i # j,0 < i < m,
- L;(x;) = l.
De plus, les polynômes Ls,L1,L2,...,Iltl sont linéairement indépendants car si l'équation L,!!oaitiç7'1= 0 doit être satis-
faitepourtoutxeRalorsLlloaiLitxl)=0doitêtrewaiepourtoutj=0,
1,...,rnetpuisque{fraitiç*1=a/,onconçlut
que tous les a; sont nuls. Par conséquent, la famille { Lo, Lt, Lz,...,1. } forme une base ae m' iil.
Il est important de remarquer que nous avons construit explicitement une solution du problème (2.1) et ceci pour n im-
porte quelles valeurs ye, y1 , Jtz,.. ., ! m données. Ceci montre que le système linéaire (2.2) a toujours une unique solution.
4$'fr."'î:t{:/".3?;'*:7.224i.,: lri ti'r'ï(}/iti:i{}it {/tz 1..,;:;t )|t,1ii.4q.i!,:.
Étant donné m + I points distincts x0,..., xn'r et m + I valeurs correspondan tes y0,..., ym, il existe un unique polynôme
P eRIx) tel que P*(x) = ./i, pour f = 0,... m qu'on peut écrire sous la forme
m
P *(x)
= I liLi@)
j=0
E R. [x]
où Li6) -
E,ffi
j*i
Cette relation est appelée formule d'interpolation de LaGnRNcE et les polynômes t; sont Ies poly'ômes caractéristiques
(de Lacnence).
.rf'\
1. La matrice
"1"
I s'appelle marrice cle vaNpERM'NDE.
*rl )
62
ti-
(i) C. Ilhr;cei\*DNl
Jeudi 5 juin 2014
2. lnterpolation
HxermË.tle
Puur tfi = 2 lu pullruûmc dc
[..;\GilAlrjcii s
'ticrit
("s .Lt)ix .d?)
l:'(,.') = Tr)
@
g
H
Ë
@Hxesmpls
f tln cherq;hc ie puh.nôme d'inr.erprilatio
g
ir cie l.,A(;R
A
Al.I
\-, T'I
.\ \1 I
iI,
ulen*
qL
r
Ë
I
ËF
Ë
e(x) '= 1'
'::: fl
l
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Publicité
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{..r,-.&1,
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-'----*-- -+
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t,
+
f
-,t.L -
{
.t
J--
-*Vr
?.)
x2')
,
li
(.r - I
t
en I rraut 6. On a
{x-xc){r*"vri
lxz * ru) fxz - ri )
+.J.
$Renrarque
I si m est petit il est souvent plus simple de calculer directement les coeff,cients eo, at, ..., ant avecla méthode ,,naive,,
I résolvant le système Iinéaire (2.2).
Soit /: R * R une fonction continue donnée et soit rq, xl, .r2 , . . . , xm, (rn+ 1) points distincts donnés. Interpoler la fonction
en
/ aux points x;, Q < i < rn signifie chercher un polynôme prp de degré m tel que
La solution de ce problème est donc donnée par
P*(xr) = f(xù
pour0 < i < m.
(2.3)
m
P rr(x) = I f Ui) Lie) e Rr, [x]
où Li@)=rq dj*i
le polynôme P- est appelée interpolant de f de degré m aux points xs, x11x2,..., xa.
Exemple
Soit /: R * it la fbr:i:tion délinie par
i=0
(x) = er" On t;Lerr:he I'interpnlant de / aux poinrs - l, 0, l. On a
"f
et
r,(x)-,, /(.,.rr) jl-:",1f'-i-ù r /'r.r,1.--[- '01!tË2- , y1",1-0:fd(.:I-rJ-
(xl-"{(tJ{,rl-x2) - {xZ-ro)("rr-,rr}
(x+ t),r { |
ixr,-xt)t"r0-.r:l
tl
- 9.llj.-
-u 2 =tæ-t-1)r+\t--)r+t'
-t
_ I t{,lr;- l)
e 2 '.
e\ r lp
I '|
La figure ci-dessous rnontre le graphe d.e la fon.cllon f et de son ir:terpolant aux points *1., 0, L
&
?rapositian Erreur
Si y; = /(ri) pour i =0,7,...,n, f t I - R étant une fonÇtion donnée de classe V'*tU) où l estle plus petit intervalle
(ii C. FecueNoNl
ti-
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L lrsqe_lsryr
Jeudi 5 juin 2û14
contenant les nceuds distincts Ixili=0, alors il existe { e l tel que l'erreur d'interpolation au point x e l est donnée par
E,(x) - f(x) - Pn(x)= #F an+r(x)
où onar (x) =
(x- xj).
n7
n
i=0
Démonstration. Le résultat est ér.idemnrent \Tai si x coincide avec I'un des ncruds d'interpolationcar E,rtx;) = 0 pour
ri =9, 1,...,n.Autrer.nent,soitxe1liré,.{*.drpourj=0,...,netdéfinissonslatbnction
G: l*lR
tEnft)-En6)'*'it)
tr.ln+t (-t)
Puisqrre .1 e'€tn+
efTet, Ies z6ros de G sont les n +. 1 næucls ,rr et le point x car
ti
{ ll et puisque (c111 €st un pol1.nôme , Ç €.É'?tft|'l) {I} et possède au nroins n + Z zérosdistirrcts dans /. Lit
{i(x; ) =,,
li,,{:ui} .--- l:,tL {)gL{.U =.: {},
U tti 1(Ji
f,':{x) =
Ëi,, (,r) * Ë ,r1-r1 Îry t i:il = 0.
tt-i tt-tl {'T)
r = {J,...,{I
Ainsi,cl'aprèslethéorèrnedesvaleursintermédiaires,G'admetaumoins n+lz,êrosdistinctsetparrécurrenceGiJlaau
i)1fl *
lnoitrs rr +2-.i z.éros distirrcts. Par conséquent, Giti+ll a au moirrs un zérn, t1u'orl note f. I)'agtre piut, puisque
.1tn+t)(r) et rrrf',;i){r,} =,. (n + i)! on a
"r.n+
ç{ru*r)Jr1 - f(n+t}tù_Entx)
{n +l)l
crrn+ t (r)
ce qui donne, avec t = {, I'expression voulue pour.En(x).
tr
Dans le cas d'une distribution uniforme de næuds, i.e. quand xi = xi_r+ h avec i = 1,2,..., n el h > 0 et xs donnés, on a
et donc
lw r*r (x) I < nlh'i
4
, Tsrln&)' =Whn*r.
$Attention {.es dt;lhttts tle'ïirztcrpolatiçn palynorniakt auec n*\rcls équirêporris
on ne peut pas déduir'e d-e cette relation que l'erieur iend vers 0 quand n tend vers l,infini, bien que
I lvt$treyeusement,
hn+ r ll4(n + l)l tend effectivement vers 0. En fait, il existe des fonctions / pour lesquè[es maxl6llEn(x)l ;,;
*oo.'C"
I
I résultat frappant indique qu'en augmentant le degré n du polynôme d'interpolation, on n'obtient pas nécessairement
I une meilleure reconstruction de /.
Exemple Ls conlte- exemple de liu N cr,
Ce phénomène est bien illusfré par la fonction de RuNcr : soit la fonction ,f : t-S,El * R définie par f (.t) =
La fonction /
est infinirnent dérivable sur [*5,5] et lf(t')(,15)l devient irès rapidement grand lorsqrre fl teûd vers i'infini. Si on considère une rlis-
tribution uuilirrme rles urnuds on voit que l'erreur tencl vers i'ir:{ini quand n tend vers l'infini. ceci est lié au fait que la quantité
"h.
grris 11, 5 er l0 p{)ur une distribr.rtion équirepartie rles rlêrxls. (lette ahsenct: cle convergence est égalemelt mise en évidence parles
des cxtrémités de l'intcrvallt. Ce comportcment c$t connu sous lc nom dc phémtmène de IluNû8.'Ol|pcnt. évitcr lc phénomùne ùc
Ruxcu en choisissant corrcctement la distribution des næuds d'interpolation. Sur un intervalle Ia, lr], on p.ut pa.,r"emple consirldrer
les næuds de Crtnnysunrr-GAUSS-L,oB..\Tro {voir Ïigure 2.1b)
tt+lt
b-n
xi = -V- - ;-
tfi \
cos [- rJ, ponr i = 0,..., n
Itrur t:el.te distributior-r partici.rlièr'r: cle nrnrds, i.l est possible de montrer qr-re, si / est dérivable sur irl,h], alors 1),, converge vers /
clent!-ccrclc unité, se tr{}trveut à l'irltérieur cle Ja, àl cl sortt rcgroupôs près ties extrérnités rie I'irrtervallc. Ces iigures ,nt ét(r obtenuc
64
(ô G. I;ar;r;eNr)Nl