Interpolaticn Numérique

Ce document traite de l'interpolation numérique, une méthode essentielle en analyse numérique pour approximer des fonctions à partir de valeurs discrètes. Il s'adresse aux étudiants en mathématiques appliquées ou en sciences de l'ingénieur souhaitant comprendre et appliquer les polynômes d'interpolation, notamment ceux de Lagrange, ainsi que les méthodes d'interpolation hermitienne et l'estimation d'erreur associée.

Interpolation de Lagrange

Considérons un polynôme d'interpolation de Lagrange p_n de degré n, construit à partir des points d'interpolation a_0, a_1, ..., a_n dans l'intervalle [0, b], pour une fonction f définie sur [0, b]. Les polynômes de base de Lagrange L_i(x) sont donnés par :

L_i(x) = ∏_{j=0, j≠i}^n (x - a_j) / (a_i - a_j),  i = 0, ..., n.

Quelques propriétés élémentaires des polynômes de Lagrange :

• Si le polynôme d'interpolation p_n coïncide avec f en tous les points d'interpolation, alors :

∑_{i=0}^n L_i(x) = 1.

• La relation de Cauchy suivante est vérifiée :

∑_{i=0}^n (x - a_i)^k L_i(x) = 0,  pour k = 1, 2, ..., n.

• Les polynômes de base de Lagrange sont invariants par changement de variable linéaire.
• Lorsque les points a_i sont équidistants, c'est-à-dire a_i = a_0 + i h avec h = (b - a_0)/n, les formules se simplifient.

On peut également utiliser la formule barycentrique pour calculer le polynôme d'interpolation, qui est une forme efficace et stable.

Exemple d'interpolation linéaire

À partir de la table suivante :

x	0.6	0.8
tan(x)	0.684	1.030

Calculer tan(0.7) par interpolation linéaire entre 0.6 et 0.8 :

• Les points sont (0.6, 0.684) et (0.8, 1.030).
• Le polynôme d'interpolation linéaire est :

p_1(x) = y_0 + (y_1 - y_0) * (x - x_0) / (x_1 - x_0)
       = 0.684 + (1.030 - 0.684) * (x - 0.6) / (0.8 - 0.6).

Pour x = 0.7 :

p_1(0.7) = 0.684 + 0.346 * (0.7 - 0.6) / 0.2 = 0.684 + 0.173 = 0.857.

Exercices d'interpolation de Lagrange

Soit la fonction f : ℝ → ℝ définie par :

f(x) = x^3 - 2x,  avec f(0) = 0, f(1) = -1, f(2) = 4.

1. Déterminer par deux méthodes différentes le polynôme d'interpolation de Lagrange de f aux points -2, 0 et 1.
2. Déterminer le polynôme d'interpolation de f en -2, 0, 1 et 2.

Méthode 1 : Construction directe des polynômes de base

• Points : x_0 = -2, x_1 = 0, x_2 = 1.
• Calcul des L_i(x) :

L_0(x) = (x - 0)(x - 1) / ((-2) - 0)((-2) - 1) = (x)(x - 1) / (-2)(-3) = x(x - 1)/6,
L_1(x) = (x + 2)(x - 1) / (0 + 2)(0 - 1) = (x + 2)(x - 1) / (2)(-1) = - (x + 2)(x - 1)/2,
L_2(x) = (x + 2)(x - 0) / (1 + 2)(1 - 0) = (x + 2)(x) / (3)(1) = x(x + 2)/3.

Le polynôme d'interpolation est :

p_2(x) = f(-2) L_0(x) + f(0) L_1(x) + f(1) L_2(x).

Avec f(-2) = (-2)^3 - 2*(-2) = -8 + 4 = -4, f(0) = 0, f(1) = 1 - 2 = -1 :

p_2(x) = -4 * x(x - 1)/6 + 0 + (-1) * x(x + 2)/3
       = - (2/3) x^2 + (2/3) x - (1/3) x^2 - (2/3) x
       = - x^2.

Ce polynôme correspond à l'interpolation de f aux trois points donnés.

Interpolation polynomiale et estimation d'erreur

Considérons la fonction f définie sur [0, 3] par :

f(x) = x^3 - e^{3x} + ...

1) Calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange de f aux points 0, 1 et 2.

2) Fournir une estimation de l'erreur d'approximation en un point r ∈ [0, b] et comparer.

Le polynôme d'interpolation de Lagrange P_n(x) satisfait :

f(x) - P_n(x) = (f^{(n+1)}(ξ) / (n+1)!) ∏_{i=0}^n (x - a_i),

où ξ est un point dans l'intervalle contenant les a_i et x.

Interpolation hermitienne

Au lieu de faire coïncider f et son polynôme d'interpolation P_n uniquement en certains points, on peut aussi faire coïncider leurs dérivées jusqu'à un certain ordre aux points d'interpolation.

Soient a, b ∈ ℝ, et f une fonction de classe C^t sur [a, b]. On cherche un polynôme P_n vérifiant pour i = 0, ..., n :

P_n^{(s)}(x_i) = f^{(s)}(x_i),  pour s = 0, 1, ..., t_i,

avec t_i le nombre d'ordres de dérivées imposées en x_i.

Cette méthode est appelée interpolation hermitienne.

Propriétés et existence

• Il existe un unique polynôme P_n vérifiant ces conditions.
• Un exemple de polynôme hermitien est :

P(x) = ∑_{i=0}^n f(x_i) h_i(x) + ∑_{i=0}^n f'(x_i) k_i(x),

où h_i et k_i sont des polynômes construits pour satisfaire les conditions d'interpolation des valeurs et des dérivées.

Exemple d'application

On souhaite modéliser un virage d'une voie ferrée entre les points (0,0) et (1,1) par une courbe y = r(x) telle que :

• r(0) = 0, r'(0) = 1,
• r(1) = 1, r'(1) = 0.3.

1) Quel est le degré minimal du polynôme qui satisfait ces conditions ?

Réponse : On impose 4 conditions (2 valeurs et 2 dérivées), donc le polynôme doit être de degré au moins 3.

2) Calculer ce polynôme.

On cherche un polynôme cubique :

r(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d.

Conditions :

• r(0) = d = 0,
• r'(0) = 3a*0^2 + 2b*0 + c = c = 1,
• r(1) = a + b + c + d = a + b + 1 + 0 = 1,
• r'(1) = 3a + 2b + c = 0.3.

On obtient le système :

a + b = 0,
3a + 2b + 1 = 0.3.

De la première équation : b = -a.

Substituons dans la deuxième :

3a + 2(-a) + 1 = 0.3  ⇒  3a - 2a + 1 = 0.3  ⇒  a + 1 = 0.3  ⇒  a = -0.7.

Donc b = 0.7, c = 1, d = 0.

Le polynôme est :

r(x) = -0.7 x^3 + 0.7 x^2 + x.

Glossaire des termes clés

• Interpolation numérique : Méthode pour approximer une fonction à partir de valeurs discrètes.
• Polynôme d'interpolation de Lagrange : Polynôme construit à partir de points d'interpolation, utilisant les polynômes de base L_i(x).
• Polynômes de base de Lagrange : Polynômes L_i(x) qui valent 1 en a_i et 0 en les autres points d'interpolation.
• Formule barycentrique : Forme efficace et stable pour calculer un polynôme d'interpolation.
• Interpolation hermitienne : Interpolation qui fait coïncider une fonction et ses dérivées jusqu'à un certain ordre aux points d'interpolation.
• Erreur d'interpolation : Différence entre la fonction et son polynôme d'interpolation, estimée par la dérivée d'ordre n+1.

Points clés à retenir

• Le polynôme d'interpolation de Lagrange est unique et passe par tous les points d'interpolation.
• Les polynômes de base de Lagrange satisfont la propriété ∑ L_i(x) = 1.
• L'interpolation hermitienne permet d'incorporer les dérivées dans la construction du polynôme.
• L'erreur d'interpolation dépend de la dérivée d'ordre n+1 de la fonction et du produit des écarts (x - a_i).
• Le degré minimal du polynôme est déterminé par le nombre de conditions (valeurs et dérivées) à satisfaire.