E.T\i.S.i. ArhT frliôllS€
i\ UlileflqUe
2ûû5 / 2tt6 Ct*r*, II1
Interpolaticn Numérique
i rr
.tlxelcrce J- Considérons le polynôme d'iaterpolation cle Lagra:age p," de
', degré { n, aux points d'interpolatioa a6, sr,...,sar
de i'intervalle [o, ôJ, d'une fonction f défiiiie sur [o, 6]. Les polynômes de
base de Lagra.nge sont-don:rés p,a.r:
Li(æ) = [Fo, jr*r#j4
'-' (sl - ti)'
,
i= or.-.,r].
Etudions quelques propriéèés é!érnentaires de -L6 : 1) En considérant le cas particuiier où le polynôme d'interpola,tion p,. coincide
:
avec f eir tous troiaÊs, montrer que:
l
,
."
tl'
f, tr;(r) = 1. i=0
$ hdorrtrer ia reiation de Cauchy suivante:
j
'
r'
vo€it?,
f@ r-x)iL ;(* l-{ ' ;:c
e,
si i:L,'-',rù
I
L 1 si j=0
, S) hAontrFr que les polynômes de ba"se de Lagrange sont inya"r-iants pa^r un changemeat âe variables linéaire.
que cievieanent les poiynômes de.base de Lagrange?
$) Lorsque les points c; sont éq'idista*ts ( c-à-d: s : a*th avec h=
b - o)" / ' rt 5) En utilisant les propriétes de .L;, monir.r lu formule baryceirtrique suiv-
-
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ante:
/
Exercice 2 A partir de ia table ci,dessous f
.r
0.6 0.8
tan{r 0.684 1.û30
at
I I I I I I l I I I I I l I I I I I I I it
calcuier fan(A.ft) par interpolation liaéairg,
\ EXerciçe :& Soir / : IR -+f-R tele que:
:
\
\
'rr'
<{}1
't\t,r.' a, -"-h"-t, : : ê "'; \i', ô*\'rju r' 3'
r(U -= -zt, J{o) = -1, f(lj : s, fiz) : 11. 1) Déterminer par deux méthodes différentq,le polynôme d'interpolation de
l
Lagrange de J aux points -2, 0 et 1.
2) Quel est le polynôme d'interpoiation de j en -2, 0, I et 2.
I
i
I
'l
i
I ,
Exercice 4 r}n considere la fonction
r@) = ra _ e.'3 +iii '
il
définie sur l'intervalie [0,3] 1) Calculer le polynôme d'interpolatian de Laiprarge de J au* points 0, 1. 2
I
i
2) Fournir uae estimation de l'erreur d'appro:ripation en r : 0.b et comparer
5 Utitiser les techniques de I'intergrlation polynômiale pour cal-
l
et3.
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r
I'estinr,ation avec I'erreur réeile. \-'tExercice _---_- .ot*,
f fu): É U' et lc:O
g(nl, = Ë O*
1
È=0
V
-----:
^ ,\ Exercice 6 Soit c € lC, 1[et J une fonction de pla.sse C3 sur [0,1J. On note: '' o- /(0), b - J(1), M - sup i;f{3)(r)1.
' L -
F
- J
",,
l -
''
'
eclo,ll1r
1) Ecrire le polynôræe C'interpolation de Lagrqlge Fo(a), de / en 0, a et 1. 2) On po se P (r) =a *
f' 10!tr 2. Montrer qu. epour tout
f 'Q..i r+ (b- a-
r€[0,1] o na:'
Ii' r r1P"{ n)= P(r ) .
]
ll
I
.
-f
3) On note.Eo(r) l'ereur commise en un point I u iO,1] Iorsqu'on inrerpole par Po. Donner une rnajoration de l.Er(r)l en fioaction 4p M et de a. 4) Montrer que P(r) est fggigir_p polrnôme de dl-,æ+e g2 #M.
I
P(0)=-?, ?(1) : b, P'(0) = I '(0).
i
5J on note E(r) I'erreur commise en un point a e [û, lJ lorsqu'cn interpoie
Donner une rnajoration de Lg@)l ea fonction de M.
----Srrd:-considérer pour xr fixé dans ]0,1[, lafonction ô(fi =-fifl-_ p(t) _
f par P.
f {s.\ = F(eI -z r.\E - L)
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]û,1[ tei que O(3)({,) : O).
€ "Méthode d.'Tfermite'
g.L montrer qu'il ociste €* Exercice 7 Soient ïa,tt,-,,ïn,(fl* Au lieu de chercher I taire coincider f et po *n* poLt. c; de [a, ôj, on peuî; leur dérivées jusqu'à un ordre donné aux points e;. De ia mêne maniàe que dans I'iaterpoiation de Lagrange, oa cherehe un
1) points de [a,b] et / e Ct",ol .
aussi chercher àfaire coincider f û pn ainsi que
polynôme P, vérifiant/pou tout f : 0, 1, --., æ:
(s) , {,i,,;i=.9,1,,
L) Montrer qu'il oriste ua seul polyeône Pn € 2) lvloat-rer gue lê polynôme .F ci-dessous vénÊt iS) :
lpzo+t vérifiant (S).
'
,(r)=fn,( r) f( c;)+ Ëa(r) J,( c; )
i:O
i=0
,
:
i
o ù:
h (*) = l 1- 2( a-r r )ti@) lil ( x) &; (:r) : (r - c;) rf (c) t;(r): n #=* 3)Soit f eC?:Â ' eta(çs1ît
\Li - r;i l
i:o'
i+i
î ç. lc,b] , il existe ç ç ]min(c, cs), max(c, c*)[ tel que:
;(zn+z)ç6"i.
(la démonstrationiest analogue à celle de l'i:rterpolation de Lagrange). 4) Âppiication:
oa souhaite concevoir rm virage d'une voie ce cùemiu de
fer entre les pciiats (0,0) et (1,1).
Le v-irage eÉt décrit pa,r une courbe de la forme y = r @) qui satisfait:
I
.f(o) : û, .f ' (Û ) : I
J{1) : I l' ( 1) :0.3
on repréoeate la courbe à l'aide d'u:r polynôme dans i'inte*raile [0, 1] . 1) Quei est le degré que ce polynôme dewa avoir pour remplir touies les
coaditioas?
2) Calculer ce. polynôme-