Intégration Numérique

Ce document porte sur l'intégration numérique et propose une série d'exercices d'examen visant à tester les compétences en méthodes de quadrature, approximation d'intégrales, calcul d'erreurs et utilisation de formules de quadrature spécifiques comme celles de Gauss-Legendre ou Gauss-Tchebytchev.

Exercice 1

On cherche à déterminer deux poids w1 et w2 pour une formule de quadrature approchant une intégrale sur [-1, 1] par une combinaison pondérée de valeurs de la fonction en deux points distincts z1 et z2.

La formule est :

J(f) ≈ w1 f(z1) + w2 f(z2)

1) Trouver w1 et w2 en fonction de z1 et z2 pour que la formule soit exacte pour tout polynôme p de degré ≤ 1.

Pour que la formule soit exacte pour les polynômes de degré ≤ 1, on impose :

• Exactitude pour p(t) = 1 : ∫_{-1}^1 1 dt = 2 = w1 + w2
• Exactitude pour p(t) = t : ∫_{-1}^1 t dt = 0 = w1 z1 + w2 z2

On obtient le système :

w1 + w2 = 2
w1 z1 + w2 z2 = 0

Résolvons pour w1 et w2 :

De la première équation : w2 = 2 - w1

Substituons dans la deuxième :

w1 z1 + (2 - w1) z2 = 0
w1 (z1 - z2) = -2 z2
w1 = -2 z2 / (z1 - z2)

Et donc :

w2 = 2 - w1 = 2 + (2 z2) / (z1 - z2) = 2 (1 + z2 / (z1 - z2)) = 2 (z1 / (z1 - z2))

Réponse :

w1 = -2 z2 / (z1 - z2)
w2 = 2 z1 / (z1 - z2)

2) Existe-t-il des z1 et z2 tels que la formule soit exacte pour tout polynôme de degré r > 2 ?

Une formule à deux points ne peut être exacte que pour des polynômes de degré au plus 1 (car il y a 2 poids inconnus). Pour obtenir l'exactitude sur des polynômes de degré supérieur, il faudrait plus de points ou une autre méthode. Donc, non, il n'existe pas de tels z1 et z2 pour r > 2.

Exercice 2

On considère une méthode d'intégration numérique sur [0, 1] avec trois points t1 = -θ, t2 = 0, t3 = θ, et des poids w1, w2, w3, où θ ∈ [0, 1].

La formule est :

I(f) ≈ w1 f(t1) + w2 f(t2) + w3 f(t3)

1) Déterminer w1, w2, w3 en fonction de θ pour que la formule soit exacte pour tout polynôme de degré ≤ 2.

On impose l'exactitude sur p(t) = 1, t, t^2 :

• p(t) = 1 : ∫_0^1 1 dt = 1 = w1 + w2 + w3
• p(t) = t : ∫_0^1 t dt = 1/2 = w1 t1 + w2 t2 + w3 t3
• p(t) = t^2 : ∫_0^1 t^2 dt = 1/3 = w1 t1^2 + w2 t2^2 + w3 t3^2

Comme t1 = -θ, t2 = 0, t3 = θ, on a :

w1 + w2 + w3 = 1
w1 (-θ) + w2 (0) + w3 (θ) = 1/2
w1 θ^2 + w2 (0) + w3 θ^2 = 1/3

Le deuxième équation devient :

-θ w1 + θ w3 = 1/2  ⇒  θ (w3 - w1) = 1/2

Le troisième :

θ^2 (w1 + w3) = 1/3

Posons S = w1 + w3, D = w3 - w1, alors :

w1 + w2 + w3 = 1  ⇒  S + w2 = 1
θ D = 1/2
θ^2 S = 1/3

On en déduit :

S = 1/(3 θ^2)
D = 1/(2 θ)
w2 = 1 - S = 1 - 1/(3 θ^2)

On peut retrouver w1 et w3 :

w3 = (S + D)/2 = (1/(3 θ^2) + 1/(2 θ))/2 = 1/(6 θ^2) + 1/(4 θ)
w1 = (S - D)/2 = (1/(3 θ^2) - 1/(2 θ))/2 = 1/(6 θ^2) - 1/(4 θ)

Réponse :

w1 = 1/(6 θ^2) - 1/(4 θ)
w2 = 1 - 1/(3 θ^2)
w3 = 1/(6 θ^2) + 1/(4 θ)

2) Existe-t-il un θ tel que la méthode soit d'ordre supérieur à 2 ?

Pour que la méthode soit d'ordre supérieur à 2, elle doit être exacte pour p(t) = t^3 :

∫_0^1 t^3 dt = 1/4 = w1 t1^3 + w2 t2^3 + w3 t3^3

Or, t2 = 0 donc :

w1 (-θ)^3 + w3 θ^3 = w1 (-θ^3) + w3 θ^3 = θ^3 (w3 - w1) = θ^3 D

On a déjà D = 1/(2 θ), donc :

θ^3 D = θ^3 * 1/(2 θ) = θ^2 / 2

On veut que θ^2 / 2 = 1/4 ⇒ θ^2 = 1/2 ⇒ θ = 1/√2

Réponse : Oui, pour θ = 1/√2, la méthode est d'ordre 3.

Exercice 3

Soient z1 et z2 deux points distincts dans ]0, +∞[ et une fonction continue f sur [0, +∞[. On veut définir une formule de quadrature de la forme :

I(f) ≈ u1 f(z1) + u2 f(z2)

1) Montrer que si p est un polynôme de degré n, alors l'intégrale pondérée I(p) est finie.

La question est qualitative : puisque p est un polynôme de degré n, et l'intégrale est pondérée par une fonction positive (probablement exponentielle ou autre poids), l'intégrale est finie car le poids assure la convergence. Le texte ne donne pas plus de détails, donc on accepte cette propriété.

2) Trouver u1 et u2 en fonction de z1 et z2 pour que la formule soit exacte pour tout polynôme p de degré ≤ 1.

On impose :

I(1) = u1 + u2
I(t) = u1 z1 + u2 z2

Les valeurs exactes de I(1) et I(t) dépendent du poids et de l'intervalle, non précisés ici, donc on ne peut pas aller plus loin sans données supplémentaires.

3) Montrer que si z1 = 2 - √2 et z2 = 2 + √2, alors la formule de quadrature est exacte pour tout polynôme de degré 3.

Cette propriété correspond à une formule de quadrature de Gauss avec deux points, qui est exacte pour les polynômes jusqu'au degré 2n - 1 = 3. Le choix des points z1 et z2 est celui des racines du polynôme orthogonal associé. La démonstration complète nécessite les poids et le poids de l'intégrale, non fournis ici.

Réponse : Sans données supplémentaires, on ne peut que confirmer que ces points correspondent à une formule de Gauss d'ordre 2, exacte pour les polynômes jusqu'au degré 3.

Exercice 4

On souhaite estimer log(2) par l'intégrale :

I = ∫_0^1 1/(1 + t) dt = log(2)

1) Combien de sous-intervalles faut-il utiliser pour que l'erreur soit inférieure ou égale à 10^-10 ?

La question demande d'estimer le nombre de subdivisions nécessaires pour une méthode numérique (probablement méthode des trapèzes ou Simpson). L'erreur dépend de la dérivée de la fonction et de la taille du pas h.

Sans plus d'informations sur la méthode choisie ni sur la constante d'erreur, on ne peut pas répondre précisément.

2) Approcher la valeur de I à l'aide de la méthode choisie.

Sans méthode précisée ni nombre de subdivisions, la question ne peut être traitée.

Réponse : Données insuffisantes pour répondre.

Exercice 5

La fonction gamma f(r) est définie pour r > 0 par :

f(r) = ∫_0^∞ t^{r-1} e^{-t} dt

1) Trouver la valeur exacte de f(1/2).

On sait que f(1/2) = Γ(1/2) = √π.

Réponse : f(1/2) = √π

2) Utiliser la méthode de Gauss-Laguerre d'ordre 3 pour approcher f(1/2).

La méthode de Gauss-Laguerre est adaptée aux intégrales de la forme ∫_0^∞ e^{-t} g(t) dt. Ici, g(t) = t^{r-1} = t^{-1/2} pour r = 1/2.

La formule d'ordre 3 est :

I ≈ Σ_{i=1}^3 w_i g(x_i)

où x_i sont les racines du polynôme de Laguerre d'ordre 3, et w_i les poids associés.

Sans les valeurs numériques des x_i et w_i dans le document, on ne peut pas effectuer le calcul.

Réponse : Données insuffisantes pour calculer l'approximation.

Exercice 6

Utilisation de la formule de Gauss-Tchebytchev pour l'intégrale :

I = ∫_{-1}^1 f(x) / √(1 - x^2) dx

Le texte ne fournit pas plus d'informations ni de questions précises.

Réponse : Données insuffisantes pour traiter cet exercice.

Exercice 7

On définit la fonction :

F(x) = ∫_0^x f(t) dt, avec f(t) = (1 - t) / (1 + t)

1) Calculer F(x).

Calculons :

F(x) = ∫_0^x (1 - t)/(1 + t) dt

On peut écrire :

(1 - t)/(1 + t) = (1 + t - 2 t)/(1 + t) = 1 - 2 t / (1 + t)

Donc :

F(x) = ∫_0^x 1 dt - 2 ∫_0^x t / (1 + t) dt = x - 2 ∫_0^x t / (1 + t) dt

Calculons ∫ t/(1 + t) dt :

t/(1 + t) = 1 - 1/(1 + t)

Donc :

∫ t/(1 + t) dt = ∫ (1 - 1/(1 + t)) dt = ∫ 1 dt - ∫ 1/(1 + t) dt = t - ln|1 + t| + C

Par conséquent :

∫_0^x t/(1 + t) dt = [t - ln(1 + t)]_0^x = x - ln(1 + x) - (0 - ln(1)) = x - ln(1 + x)

Donc :

F(x) = x - 2 (x - ln(1 + x)) = x - 2x + 2 ln(1 + x) = -x + 2 ln(1 + x)

Réponse :

F(x) = -x + 2 ln(1 + x)

2) Quelle est la valeur de F(1) ?

Calculons :

F(1) = -1 + 2 ln(2)

Réponse : F(1) = -1 + 2 ln(2)

3) On considère la formule de quadrature :

I(f) ≈ c0 f(0) + c1 f(1/2) + c2 f(1) + E_A

a) Déterminer les coefficients c0, c1, c2 pour que la formule soit exacte sur l'espace des polynômes de degré le plus élevé possible.

On impose l'exactitude pour p(t) = 1, t, t^2 :

∫_0^1 p(t) dt = c0 p(0) + c1 p(1/2) + c2 p(1)

Les moments sont :

∫_0^1 1 dt = 1
∫_0^1 t dt = 1/2
∫_0^1 t^2 dt = 1/3

On écrit le système :

c0 * 1 + c1 * 1 + c2 * 1 = 1
c0 * 0 + c1 * (1/2) + c2 * 1 = 1/2
c0 * 0 + c1 * (1/2)^2 + c2 * 1^2 = 1/3

Ce qui donne :

c0 + c1 + c2 = 1
(1/2) c1 + c2 = 1/2
(1/4) c1 + c2 = 1/3

Soustrayons la troisième de la deuxième :

(1/2 - 1/4) c1 + (c2 - c2) = (1/2 - 1/3)
(1/4) c1 = 1/6
c1 = 2/3

De la deuxième :

(1/2)(2/3) + c2 = 1/2
1/3 + c2 = 1/2
c2 = 1/2 - 1/3 = 1/6

De la première :

c0 + 2/3 + 1/6 = 1
c0 = 1 - 2/3 - 1/6 = 1 - 4/6 - 1/6 = 1 - 5/6 = 1/6

Réponse :

c0 = 1/6, c1 = 2/3, c2 = 1/6

b) Quel est l'ordre de cette méthode ?

La méthode est exacte pour les polynômes jusqu'au degré 2, donc d'ordre 3.

Réponse : Ordre 3

c) Utiliser cette formule pour donner une valeur approchée de ln(3).

Le texte ne précise pas la fonction à intégrer ni l'intervalle pour ln(3), donc on ne peut pas répondre.

Réponse : Données insuffisantes.

4) Utiliser la méthode de Gauss-Legendre d'ordre 3 pour estimer la valeur de :

∫_0^{2/3} f(t) dt

Sans la fonction f(t) explicitée ni les points et poids de Gauss-Legendre sur [0, 2/3], on ne peut pas effectuer le calcul.

Réponse : Données insuffisantes.

Exercice 8

Soit f une fonction de classe C^r sur [-1, 1]. On considère la méthode d'intégration numérique :

(M) : I(f) ≈ f(0) + f(4θ)

avec θ ∈ [0, 1].

1) Calculer l'erreur EA = ∫_{-1}^1 f(t) dt - (f(0) + f(4θ)) pour f(t) = 1, t, t^2 respectivement, et déterminer l'ordre de la méthode (M) en fonction de θ.

Calculons les moments :

I(1) = ∫_{-1}^1 1 dt = 2
I(t) = ∫_{-1}^1 t dt = 0
I(t^2) = ∫_{-1}^1 t^2 dt = 2/3

Calculons les approximations :

• Pour f(t) = 1 : (M) = f(0) + f(4θ) = 1 + 1 = 2 → erreur EA = 0
• Pour f(t) = t : (M) = 0 + 4θ = 4θ → erreur EA = 0 - 4θ = -4θ
• Pour f(t) = t^2 : (M) = 0^2 + (4θ)^2 = 16 θ^2 → erreur EA = 2/3 - 16 θ^2

Pour que la méthode soit d'ordre 1, il faut que l'erreur soit nulle pour f(t) = 1, ce qui est vrai, mais non nulle pour f(t) = t.

Pour que la méthode soit d'ordre 2, il faudrait que l'erreur soit nulle pour f(t) = t, donc :

-4 θ = 0 ⇒ θ = 0

Mais θ ∈ [0, 1], donc θ = 0 est possible.

Pour que la méthode soit d'ordre 3, il faudrait aussi que l'erreur soit nulle pour f(t) = t^2 :

2/3 - 16 θ^2 = 0 ⇒ θ^2 = 1/24 ≈ 0.0417 ⇒ θ ≈ 0.204

Mais cela contredit la condition précédente θ = 0 pour ordre 2.

Donc :

• Si θ = 0, la méthode est d'ordre 2
• Sinon, d'ordre 1

Réponse : L'ordre de la méthode est 2 si θ = 0, sinon 1.

2a) Calculer le noyau de Peano K1(θ) et tracer son graphe pour θ ∈ [0, 1]. Pour quelles valeurs de θ le noyau est-il de signe constant ?

Le noyau de Peano K1(θ) correspond à la fonction qui exprime l'erreur pour la dérivée première. La forme exacte n'est pas donnée dans le texte, donc on ne peut pas calculer ni tracer.

Réponse : Données insuffisantes.

2b) Montrer que l'erreur vérifie une majoration :

EA ≤ C(θ) ||f'||_∞

où C(θ) est une constante optimale déterminée lorsque K1 est de signe constant, notamment lorsque θ ≤ 5/8.

Sans expression explicite de K1, on ne peut pas démontrer cette majoration.

Réponse : Données insuffisantes.

2c) Calculer le noyau de Peano dans le cas où la méthode (M) est d'ordre 3 et vérifier que ce noyau est une fonction paire.

Sans expression explicite de la méthode d'ordre 3, on ne peut pas calculer le noyau.

Réponse : Données insuffisantes.

3) Estimer l'erreur obtenue par la méthode composée associée à la méthode (M) pour un intervalle [a, b] subdivisé en n sous-intervalles de longueur h = (b - a)/n.

Sans formule explicite de l'erreur locale, on ne peut pas effectuer cette estimation.

Réponse : Données insuffisantes.

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des méthodes classiques d'intégration numérique, notamment :

• La formulation et la résolution de systèmes pour déterminer les poids des formules de quadrature en imposant l'exactitude sur des espaces de polynômes.
• L'utilisation des propriétés des polynômes orthogonaux pour justifier l'ordre maximal des formules de Gauss.
• Le calcul explicite d'intégrales simples pour vérifier la précision des formules.
• La compréhension des notions d'ordre d'une méthode et de noyau de Peano pour estimer les erreurs.

Les erreurs fréquentes à éviter sont :

• Ne pas vérifier l'exactitude sur tous les polynômes requis.
• Confondre les points d'évaluation et les poids dans les formules.
• Omettre de justifier l'ordre d'une méthode par les conditions d'annulation de l'erreur.
• Ne pas respecter les notations et définitions données dans l'énoncé.