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E.}J.S J Analys" Numénque
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20cs I 2006 Ctasse: II1
Serie 3. Intégraficn Numérique
Exercice 1 $ii9*nilbrerée i = 6 eth = 1). Etant donnés cês
!.,
donn é-Ç ansl-l , ll (res p dans [-i ,l [) ets oienr rr = -l ett z = ;/G esp '" deux points distincts, nous solrunes intéressés à trouver deux nombres (poids) w1 etv2 qui définiront la formule de quadrature: JA = wtJ(,t) +wrflt2),
où-/est ure fonction continue quelconque donnée sur f_t , t l_ 1 ) Trouver vt1 ët vt2 en fonctjon de g pour que ,(p) =
degré L
2)Exrste-t-il gtel , querre esr ra valeur
rr * -- - l; ,ili,liTiT
ll,
"aj
cir po.rtout porynôme p cie
tout poll'nôme P de degré r avec r > 2 ? si oui
-JÏij"l
v't etv,2 ? Fxercice 2 (Examen principal: jwn}O}4) solt 8 unnombreréel.domédans on considère une méthode d'intégration numérique urrà.i2. a i"-rorrrrr" de quadrafure
]0, l]. Soient11 = _7, tz = O etti = g.
l
suivante:
-t
pclyriôme de degré< 2
i{'2 et }r/î COi-reSpOndantS.
oitE(flest'erreurl#3"f,"=JJ,#:!**'n"'+w,fl4)+E(1), i) Déterminer v,t,w2 et u,3 en fonction de 0 pour que cette formule sort exacte pou, tout 2) Existe-t-il 6 tel que ia méthode soit d'ordre supérieur ? Si oui, préciser Ies va.leurs de 0, v,1. Exercice 3 @xamen de ratfrapage: juin 2004) Soient z1 et 12 deuxpoints donnés tels que (0 < tr < tz). Si/est une foncrion continue donnée formule de [uadratur-e de la folme:
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[0, + oo f , on veut définir ure
i
'
sur I 'intervalle
J(fl = wrf(t1) +wr-f(tù,
pour approcher numériquemenr la quanaté \/) = l* f|)r_, at. l) Montrer que si,fest un polynô,ne de degré n. aln.s IA < +* L ) t rouver res pords u,r etw2 en fbnction de t1 et 12 tels que {p) = 4p) pour tout porydôme r j) Montrerquesi l, = 2- J, et rz = 2+ E, alors laf ormul ed equ adr af,. r rees tex act epour
)
. tlt: ri1 ,' g1 [ l.
; I
l.trt pnlrrlônle de degré 3,
Exerctce 4 Orr sc proposè d'estimer log(2) par I'intégrale I = î: +. t) c.'rbieïi cie sous-intervalles doit-cn utiliser ooui LrJ-r, frrlnfles, l)oLri que I'erreur commise soit inférieure ou égale à l0-r0 ? 2) ÂJLpr ccher. la valeur de { à l,aide de Ir Erersiue
j
retrraoage:juin 20djj -_ _ -
lïExamel
Srri r I' intég ra*, =
I:Ç
a.
l- l)eur-o' utiris", diilôlJ-e*
Sirrrpsorr poui. évaluerl ?justifier votre réponse.
lés méthoaes d'intégrarion numérique de-< {r.apèzes ou cie
2- i-a fonction gamma, f (x), est donnée pour tout r > 0 par: f(-r)
_ t-" -J n
l'intégr-ale I, par. laLnétliode des
, â++€r.É.Gi
.
s-" dx = ,1tt . a- Trouver la valeur exacte de f (iiz), eti admettarrt que f b- ptiliser"la riéthode de Gauss-Laguere d'ordre 3 pou. approcher l(l/2).
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,-@
*-
Exercice 6 ffi.
p* l^ formuie de Gauss-Tchebytchev,
I'intégralesuivante:
I =
J,,1f-dx. - JXt.t
_ x)
E:<eicice 7 @xamen principal: juin 2005) On définit la fonction fG\ =
| -t --L-.
l- CalculerF(x) : Jf(t) 0
at,
x < 1.
2- Quelle est lavaleur deF(x) enx : 3- On considère la fcrmule de quadrature suivantes;
! ?
I lrl * = co fQ) +c, i(!) +cri(*) +EA.
' 9,
a- Déterminer les.coe.fficients c0 , èr.et c, pour que la formuJe soit exâcte sur I'espace
des polynômes de degré le plus élevé possible. b- Quel est l'ordre de cette méthode ? c- Utiliser cette formule pour donner une valeur approchée de ln3.
4- Utiliser la méthode de Gauss-Legendre d'ordre 3 pour estimer la valeur a"
2r3
I fi 0
ar,
Exercice 8 Soit/une fonction de classe C" sur [-1, 1], où r sera supposé aussi grand que les besoins
I'exigeront. On considère la méthode
d'intégration numérique approchée donnée par
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1) Caiculer l'erreur
(M) '
l'.1(') ù=J@) +./(-4\ avec 0 e [0, ] l. "',.? t- 1" -
r"-.1
EA =
/'
., J'_,f(') d, - (f(0) +J(4))
pourLl) = 1, x, x2 respectivement. Détprminer l'ordre de la méthode (M) en fonction de 0. 2) On se place ici dans le cas où la méthode (M) est d'ordre 1.
a) Calculer le noyau de Peano Kr (l), ettracer le graphe de -i, pour e : 5p..
Pour quelles valeurs de 6 le noypu Kr est-il de signe constant ?
b) Montrer que I'erreur vérifie une majoration
Ea: c@ Il.f' ll
où C(0) est une constante dont on déterminera la valeur optimale:
" lorsque K1 est de signe constant; .l orsque0:5/8.
.i) Calculer le noyau de Peano dans le cas où la méthode (M) est d'ordre 3 et vérifier que ce
no\/llr.r r)sl urrc foncliorr paire.
G.n #d eir€,qûtil <ristc F€ F, Îf-tel qure
IiA = 1*f4)(0
'-
,1 ) Err rr{ilisrrrrl lc result:rt cfir i), eslinrcr I'erreur obtenue par la méthode composée associée à Ia
nlttlr,'rlt, (N4) porrr lt't::rlt rrl tl rrrrtr irrlirgl ale
? rv€C rrrrg r,rl'rlrrr,,r,,rr rrrrlitr rrre dela,bl dep ascon stantft = b-a .k eIN^
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