Exercices de révision

Question 1 - Probabilités fondamentales

Le document source comporte des erreurs de transcription dans cette section, certaines expressions ayant été corrompues lors de l'extraction. En examinant les notes brutes figurant en fin de document (()0.3PA=, ()0.5PB=, ()0.2PAB∩=), nous pouvons rétablir les données initiales : P(A) = 0,3 P(B) = 0,5 P(A ∩ B) = 0,2

Question 1.1 - Incompatibilité des événements

Deux événements A et B sont dits incompatibles (ou mutuellement exclusifs) si leur réalisation simultanée est impossible, ce qui implique mathématiquement que P(A ∩ B) = 0. Dans notre cas, P(A ∩ B) = 0,2 (qui est différent de 0). Les événements A et B ne sont donc pas incompatibles.

Question 1.2 - Calculs de probabilités usuelles

Les expressions précises des questions a, b, c et d étant illisibles dans la source, nous détaillons ci-dessous le calcul des quatre probabilités classiques requises lors de la résolution de ce type de système :

a. Probabilité de l'union des événements A et B : P(A ∪ B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 0,3 + 0,5 - 0,2 = 0,6

b. Probabilité de A sachant B : P(A | B) P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) P(A | B) = 0,2 ÷ 0,5 = 0,4

c. Probabilité de B sachant A : P(B | A) P(B | A) = P(A ∩ B) ÷ P(A) P(B | A) = 0,2 ÷ 0,3 = 2/3 ≈ 0,6667

d. Probabilité de la réalisation de A exclusivement : P(A ∩ B') P(A ∩ B') = P(A) - P(A ∩ B) P(A ∩ B') = 0,3 - 0,2 = 0,1

Question 2 - Variable aléatoire discrète X

Question 2.1 - Calcul de l'espérance et de la variance

L'espérance mathématique E(X) s'obtient par la formule E(X) = Σ (x × P(X=x)) : E(X) = (0 × 0,1) + (1 × 0,3) + (2 × 0,4) + (3 × 0,1) + (4 × 0,05) + (5 × 0,05) E(X) = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,3 + 0,2 + 0,25 = 1,85

Pour calculer la variance Var(X) = E(X²) - (E(X))², nous devons d'abord déterminer l'espérance de la variable au carré E(X²) = Σ (x² × P(X=x)) : E(X²) = (0² × 0,1) + (1² × 0,3) + (2² × 0,4) + (3² × 0,1) + (4² × 0,05) + (5² × 0,05) E(X²) = 0 + 0,3 + 1,6 + 0,9 + 0,8 + 1,25 = 4,85

Var(X) = 4,85 - (1,85)² Var(X) = 4,85 - 3,4225 = 1,4275

Question 2.2 - Fonction de répartition de X

La fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x) cumule les probabilités des valeurs inférieures ou égales à x. Elle est représentée par une fonction en escalier : F(x) = 0 pour x < 0 F(x) = 0,1 pour 0 ≤ x < 1 F(x) = 0,4 (soit 0,1 + 0,3) pour 1 ≤ x < 2 F(x) = 0,8 (soit 0,4 + 0,4) pour 2 ≤ x < 3 F(x) = 0,9 (soit 0,8 + 0,1) pour 3 ≤ x < 4 F(x) = 0,95 (soit 0,9 + 0,05) pour 4 ≤ x < 5 F(x) = 1 pour x ≥ 5

Question 2.3 - Évaluation des intervalles de probabilité

• P(X < 4) inclut les valeurs 0, 1, 2, 3 : P(X < 4) = 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,1 = 0,9
• P(X > 2) inclut les valeurs 3, 4, 5 : P(X > 2) = 0,1 + 0,05 + 0,05 = 0,2
• P(3 < X ≤ 4,5) inclut uniquement la valeur 4 : P(3 < X ≤ 4,5) = P(X = 4) = 0,05
• P(2 < X < 4) inclut uniquement la valeur 3 : P(2 < X < 4) = P(X = 3) = 0,1

Question 2.4 - Caractéristiques de la variable Y

Nous appliquons les propriétés des opérateurs linéaires sur la variable Y = 3X - 5. Pour l'espérance : E(aX + b) = a × E(X) + b E(Y) = 3 × 1,85 - 5 = 5,55 - 5 = 0,55

Pour la variance : Var(aX + b) = a² × Var(X) Var(Y) = 3² × 1,4275 = 9 × 1,4275 = 12,8475

Question 3 - Analyse des habitudes de consommation

Question 3.1 - Probabilité d'avoir moins de 55 ans

L'effectif total des répondants est de 900. Les répondants ayant moins de 55 ans correspondent aux groupes D (18 à 30 ans), E (31 à 44 ans) et F (45 à 54 ans). Total de ces tranches = 110 + 375 + 225 = 710. P(moins de 55 ans) = 710 ÷ 900 = 71/90 ≈ 0,7889

Question 3.2 - Probabilité d'un niveau moyen sachant un âge entre 31 et 44 ans

Il s'agit d'une probabilité conditionnelle : P(Moyen | Âge 31-44). L'univers de référence devient la colonne E (total de 375 personnes). Dans cette colonne, l'effectif présentant un niveau de combativité moyen est de 225. P(Moyen | E) = 225 ÷ 375 = 3/5 = 0,6

Question 3.3 - Probabilité d'un niveau élevé et âge de 55 ans ou plus

Il s'agit de l'intersection entre le niveau élevé (C) et l'âge de 55 ans et plus (G). Le tableau croisé donne directement cet effectif à l'intersection de la ligne C et de la colonne G : 25 personnes. P(Élevé ∩ 55 ans ou plus) = 25 ÷ 900 = 1/36 ≈ 0,0278

Question 3.4 - Probabilité d'un niveau moyen et 44 ans ou moins

L'événement "44 ans ou moins" regroupe les colonnes D et E. Nous cherchons l'intersection entre la ligne Moyen (B) et ces deux colonnes. Effectif = (Moyen dans 18-30) + (Moyen dans 31-44) = 25 + 225 = 250. P(Moyen ∩ (D ∪ E)) = 250 ÷ 900 = 5/18 ≈ 0,2778

Question 3.5 - Probabilité d'un niveau moyen ou faible sachant âge 45-54 ans

L'univers de référence est la colonne F (45 à 54 ans, total de 225 personnes). Au sein de ce groupe, nous voulons ceux ayant un niveau faible (A) ou moyen (B). Effectif concerné = 90 (Faible) + 35 (Moyen) = 125. P((A ∪ B) | F) = 125 ÷ 225 = 5/9 ≈ 0,5556

Question 4 - Variable aléatoire continue du temps réseau

Le code mathématique de la définition par morceaux de la fonction de densité f(x) a été endommagé à l'extraction. En s'appuyant sur les fragments lisibles (kx, 0, 2, 4 et un signe de soustraction), nous reconstituons la forme géométrique la plus probable pour ce genre d'énoncé, à savoir une loi triangulaire :

• f(x) = kx pour 0 ≤ x ≤ 2
• f(x) = k(4 - x) pour 2 < x ≤ 4
• f(x) = 0 sinon.

Question 4.1 - Recherche de la constante k

Pour que f soit une fonction de densité valide, l'aire sous sa courbe (l'intégrale sur son domaine de définition) doit être égale à 1. ∫(de 0 à 4) f(x) dx = 1 ∫(de 0 à 2) kx dx + ∫(de 2 à 4) k(4 - x) dx = 1

Calcul de la première aire : [k × x² ÷ 2] de 0 à 2 = k × (4 ÷ 2) = 2k Calcul de la seconde aire : [k × (4x - x² ÷ 2)] de 2 à 4 = k × ((16 - 8) - (8 - 2)) = k × (8 - 6) = 2k La somme totale vaut 4k. Posons 4k = 1, nous trouvons la constante k = 0,25.

Question 4.2 - Probabilité d'un temps dépassant 300 heures

La variable X s'exprimant en centaines d'heures, "dépasser 300 heures" correspond à P(X > 3). P(X > 3) = ∫(de 3 à 4) 0,25(4 - x) dx Primitive : 0,25 × (4x - x² ÷ 2). Évaluée à la borne supérieure (x=4) : 0,25 × (16 - 8) = 2 Évaluée à la borne inférieure (x=3) : 0,25 × (12 - 4,5) = 1,875 P(X > 3) = 2 - 1,875 = 0,125.

Question 4.3 - Calcul de l'espérance

L'espérance se calcule par E(X) = ∫ x f(x) dx. E(X) = ∫(de 0 à 2) 0,25(x²) dx + ∫(de 2 à 4) 0,25(4x - x²) dx

• Intégrale 1 : 0,25 × [x³ ÷ 3] de 0 à 2 = 0,25 × (8/3) = 2/3
• Intégrale 2 : 0,25 × [2x² - x³ ÷ 3] de 2 à 4 À x=4 : 2(16) - 64/3 = 32 - 21,333 = 10,667 (ou 32/3) À x=2 : 2(4) - 8/3 = 8 - 2,667 = 5,333 (ou 16/3) Résultat = 0,25 × (32/3 - 16/3) = 0,25 × 16/3 = 4/3 E(X) = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2. Le temps d'accès réseau moyen espéré est de 200 heures (2 centaines).

Question 5 - Loi normale sur le traitement de texte

Soit D la demande annuelle suivant une loi normale N(μ, σ). L'énoncé et les fragments à la fin du document précisent que : P(D < 1500) = 0,195 P(D > 2910) = 0,025

Question 5.1 - Détermination de la moyenne et de l'écart-type

Procédons en centrant et réduisant la variable avec Z = (D - μ) ÷ σ. La variable Z suit une loi normale standard N(0, 1).

1. Exploitation de la probabilité haute : P(D > 2910) = 0,025 implique que la probabilité cumulée P(D ≤ 2910) = 0,975. Dans la table de la loi normale centrée réduite, la cote z pour une aire de 0,975 est z = 1,96. Par substitution : (2910 - μ) ÷ σ = 1,96

2. Exploitation de la probabilité basse : P(D < 1500) = 0,195. La table nous indique que la cote z associée à cette aire est z ≈ -0,86 (la valeur exacte pour z=-0,86 est 0,1949, ce qui correspond). Par substitution : (1500 - μ) ÷ σ = -0,86

Nous isolons μ et σ en soustrayant la deuxième équation à la première : ((2910 - μ) ÷ σ) - ((1500 - μ) ÷ σ) = 1,96 - (-0,86) 1410 ÷ σ = 2,82 σ = 1410 ÷ 2,82 = 500 unités.

En remplaçant σ par 500 dans la première équation : (2910 - μ) ÷ 500 = 1,96 2910 - μ = 980 μ = 2910 - 980 = 1930 unités. La moyenne de la demande est μ = 1930, avec un écart-type σ = 500.

Question 5.2 - Probabilité d'une demande entre 2000 et 2500 unités

Nous calculons d'abord les cotes z correspondantes : z1 = (2000 - 1930) ÷ 500 = 70 ÷ 500 = 0,14 z2 = (2500 - 1930) ÷ 500 = 570 ÷ 500 = 1,14

Nous cherchons P(0,14 ≤ Z ≤ 1,14), soit P(Z ≤ 1,14) - P(Z ≤ 0,14). Grâce à la table de la loi normale : P(Z ≤ 1,14) ≈ 0,8729 P(Z ≤ 0,14) ≈ 0,5557 Probabilité = 0,8729 - 0,5557 = 0,3172.

Question 5.3 - Valeur particulière d0

Le fragment DD0d0()0.25PDd≥= correspond à l'équation P(D ≥ d0) = 0,25. Cela signifie qu'une aire de 0,75 se trouve sous cette valeur : P(D < d0) = 0,75. La table nous donne la cote associée à 0,75 : z ≈ 0,6745. Nous repassons en variable réelle D : d0 = μ + (z × σ) d0 = 1930 + (0,6745 × 500) = 1930 + 337,25 = 2267,25 unités.

Question 6 - Boules de pâte et masse normale

Soit X la masse de la boule de pâte modélisée par une loi normale N(μ, σ). Les notes X(700)0.5PXg≤= et (720)0.159PXg≥= se traduisent formellement par : P(X ≤ 700) = 0,5 P(X ≥ 720) = 0,159

Question 6.1 - Évaluation des paramètres de la distribution

Puisque P(X ≤ 700) vaut exactement 0,5, la valeur 700 divise la distribution parfaitement en deux. Pour une loi normale, la médiane est obligatoirement égale à la moyenne μ. La moyenne est donc μ = 700 g.

Pour P(X ≥ 720) = 0,159, cela implique que P(X ≤ 720) = 1 - 0,159 = 0,841. En cherchant l'aire 0,8413 (la valeur la plus proche de 0,841) dans la table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons une cote z = 1,0. Ainsi, la distance de 720 par rapport à la moyenne correspond à exactement un écart-type. (720 - 700) ÷ σ = 1,0 20 ÷ σ = 1,0 L'écart-type est donc σ = 20 g.

Question 6.2 - Probabilité d'une boule acceptée à la cuisson

Les tolérances d'acceptation sont de 666 g et 732 g. Nous cherchons P(666 ≤ X ≤ 732). Calculons les cotes z : z1 = (666 - 700) ÷ 20 = -34 ÷ 20 = -1,7 z2 = (732 - 700) ÷ 20 = 32 ÷ 20 = 1,6

Nous évaluons P(-1,7 ≤ Z ≤ 1,6) = P(Z ≤ 1,6) - P(Z ≤ -1,7). La fonction de répartition indique : P(Z ≤ 1,6) = 0,9452 Pour z=-1,7, par symétrie : P(Z ≤ -1,7) = 1 - P(Z ≤ 1,7) = 1 - 0,9554 = 0,0446. Probabilité d'acceptation = 0,9452 - 0,0446 = 0,9006 (soit 90,06%).

Question 6.3 - Réel positif d'intervalle

Le fragment h(700700)0.95PhXh-≤≤+= se traduit par l'intervalle de confiance : P(700 - h ≤ X ≤ 700 + h) = 0,95. Ceci correspond à chercher l'étendue symétrique incluant 95% de la masse de probabilité, soit 47,5% de part et d'autre de la moyenne. La table de la loi normale associe l'aire centrale de 95% à la cote z = 1,96. La tolérance h équivaut donc à 1,96 fois l'écart-type : h = 1,96 × 20 = 39,2 g.

Méthode

Ce type de devoir teste votre maîtrise des mécanismes d'analyse probabiliste à travers des contextes applicatifs et des formats de données très variés. Voici comment l'aborder stratégiquement :

• Lors de l'évaluation de variables aléatoires discrètes, la rigueur dans la construction des sommes (Σ) est impérative. Ne confondez pas le carré de l'espérance (E(X))² avec l'espérance du carré E(X²). C'est une erreur d'examen courante qui fausse le calcul de la variance.
• Face à un tableau croisé (Question 3), votre priorité absolue doit être d'identifier la population de référence. Dès que vous voyez les mots « sachant que » ou « parmi ceux », la population totale (ici 900) cesse d'être votre dénominateur et cède sa place au total marginal de la catégorie concernée (la ligne ou la colonne).
• Dans le cas de lois normales avec paramètres inconnus (Questions 5 et 6), la méthodologie reste systématique : traduire chaque valeur en probabilité cumulée vers le bas (P(X < x)), utiliser la table de la loi normale centrée réduite N(0,1) pour extraire la cote z associée, puis établir un système linéaire de deux équations à deux inconnues (X - μ) / σ = z pour extraire μ et σ. Si vous obtenez une probabilité de exactement 0,5, cela vous donne instantanément l'une de ces inconnues.