Exercices de révision

Question 1

Soit deux événements A et B relatifs à une même expérience aléatoire, tels que :

1. Est-ce que les événements A et B sont incompatibles ?

2. Calculer les probabilités suivantes :

Question 2

Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par :

Valeurs possibles de

0 0.1

1 0.3

2 0.4

3 0.1

4 0.05

5 0.05

1. Calculer l’espérance et la variance de X. 2. Déterminer la fonction de répartition de X. 3. Calculer les probabilités suivantes : P(X < 4), P(X > 2), P(3 < X ≤ 4.5) et P(2 < X < 4). 4. Soit Y = 3X -5. Calculer E(Y) et Var(Y).

Question 3

Le tableau suivant a été adapté à partir des résultats d’une enquête sur les habitudes de consommation en Tunisie. Il représente la répartition des répondants selon leur niveau de combativité potentielle et l’âge de ceux-ci. Pour les fins de cette étude, le terme combativité réfère à ce sentiment de confiance qui inciterait le consommateur qui se croit lésé lors d’une transaction à vouloir agir. La combativité potentielle correspond aux attitudes de combativité manifestées par les répondants à propos de leurs rapports éventuels avec les commerçants ou les professionnels en cas de conflit.

Niveau de combativité

Faible (A) Moyen (B) Élevé (C) Total

18 à 30 ans (D)

10 25 75 110

Âge

31 à 44 ans (E) 75 225 75 375

45 à 54 ans (F) 90 35 100 225

55 ans et plus (G) 125 40 25 190

Total

300 325 275 900

()0.3PA=()0.5PB=()0.2PAB=(/)PABB(/)PABB(/)PABB(/)PABX()iPXx=

On choisit au hasard un de ces répondants.

1. Quelle est la probabilité qu’il soit âgé de moins de 55 ans ? 2. Quelle est la probabilité qu’il présente un niveau de combativité moyen sachant que le répondant

est âgé entre 31 et 44 ans ?

3. Quelle est la probabilité que le répondant présente un niveau de combativité élevé et soit âgé de 55

ans ou plus ?

4. Quelle est la probabilité que le répondant présente un niveau de combativité moyen et soit âgé de

44 ans ou moins ?

5. Quelle est la probabilité que le répondant présente un niveau de combativité moyen ou faible

sachant qu’il est âgé entre 45 et 54 ans ?

Question 4

Les ordinateurs de la firme Info-MQT sont reliés à un réseau informatique dont le temps d'accès est loué à un fournisseur externe. On estime que la variable aléatoire X, représentant le temps réseau utilisé en centaines d'heures pendant un mois, a la fonction de densité suivante :

1. Trouver la constante k pour que f soit une fonction de densité. 2. Calculer la probabilité que le temps d'accès réseau dépasse 300 heures un mois donné. 3. Calculer l’espérance E(X).

Question 5

D’après la responsable de la mise en marché de l’entreprise Sicom, la demande annuelle pour les appareils de traitement de texte suit une loi normale. Elle précise également qu’il y a une probabilité de 0.195 pour que la demande soit inférieure à 1500 unités et une probabilité de 0.025 d’être supérieure à 2910 unités.

1. Déterminer la moyenne et l’écart-type de la demande annuelle 2. Déterminer la probabilité que la demande annuelle D soit comprise entre 2000 et 2500 unités.

3. Déterminer la valeur particulière

de D tel que

Question 6

Une entreprise fabrique des brioches en grande quantité. On pèse les boules de pâte avant cuisson. On note

la variable aléatoire qui, à chaque boule de pâte, associe sa masse en gramme (

). On admet que

suit approximativement une loi normale. On sait par ailleurs que

et que

02()(7)2404sixfxkxsixsix=−DD0d0()0.25PDd=XgX(700)0.5PXg=(720)0.159PXg=

1. Déterminer la moyenne

et l’écart-type

de cette loi normale.

2. Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732 g sont acceptées à la cuisson. Quelle est la probabilité qu’une boule, prise au hasard dans la production, soit acceptée à la cuisson ?

3. Déterminer le réel positif

afin que l’on ait :

XXh(700700)0.95PhXh−+=