Exercices de Révision

Exercices de révision

Question 1 - Probabilités de base

Les données extraites au bas de la première page du document source nous fournissent les informations initiales suivantes :

• P(A) = 0.3
• P(B) = 0.5
• P(A ∩ B) = 0.2

1. Est-ce que les événements A et B sont incompatibles ?

Deux événements sont incompatibles (ou mutuellement exclusifs) si et seulement si la probabilité de leur intersection est nulle, c'est-à-dire si P(A ∩ B) = 0. Ici, nous avons P(A ∩ B) = 0.2, ce qui est différent de 0. Par conséquent, les événements A et B ne sont pas incompatibles.

2. Calculer les probabilités suivantes : a, b, c, d

Cette question est impossible à traiter. Le document numérisé est endommagé : les expressions associées aux lettres a, b, c et d ont disparu de la liste. Bien que le bas de page montre des fragments corrompus (comme (/)PABB et (/)PABB), il est impossible de déterminer avec certitude s'il s'agit d'unions, d'intersections, de probabilités conditionnelles ou d'événements complémentaires (avec ou sans barres). Conformément aux bonnes pratiques, aucune donnée ne sera inventée pour remplacer le texte manquant.

Question 2 - Variable aléatoire discrète

Soit X la variable aléatoire ayant les probabilités P(X=x) données dans l'énoncé.

1. Calculer l’espérance et la variance de X.

L'espérance E(X) est la somme des produits des valeurs par leurs probabilités : E(X) = Σ x_i P(X = x_i). E(X) = (0 × 0.1) + (1 × 0.3) + (2 × 0.4) + (3 × 0.1) + (4 × 0.05) + (5 × 0.05) E(X) = 0 + 0.3 + 0.8 + 0.3 + 0.2 + 0.25 E(X) = 1.85

Pour calculer la variance, on calcule d'abord E(X²) : E(X²) = Σ x_i² P(X = x_i) E(X²) = (0 × 0.1) + (1 × 0.3) + (4 × 0.4) + (9 × 0.1) + (16 × 0.05) + (25 × 0.05) E(X²) = 0 + 0.3 + 1.6 + 0.9 + 0.8 + 1.25 = 4.85

La variance est Var(X) = E(X²) - (E(X))² : Var(X) = 4.85 - (1.85)² Var(X) = 4.85 - 3.4225 Var(X) = 1.4275

2. Déterminer la fonction de répartition de X.

La fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x) cumule les probabilités pour chaque palier.

Intervalle de x	F(x) = P(X ≤ x)
x < 0	0
0 ≤ x < 1	0.1
1 ≤ x < 2	0.1 + 0.3 = 0.4
2 ≤ x < 3	0.4 + 0.4 = 0.8
3 ≤ x < 4	0.8 + 0.1 = 0.9
4 ≤ x < 5	0.9 + 0.05 = 0.95
x ≥ 5	0.95 + 0.05 = 1.0

3. Calculer les probabilités : P(X < 4), P(X > 2), P(3 < X ≤ 4.5) et P(2 < X < 4).

• P(X < 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.1 + 0.3 + 0.4 + 0.1 = 0.9 (Ce qui correspond aussi à F(3)).
• P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.1 + 0.05 + 0.05 = 0.2 (Ou bien 1 - F(2) = 1 - 0.8 = 0.2).
• P(3 < X ≤ 4.5) : La seule valeur possible de X dans cet intervalle strict à gauche est 4. P(X=4) = 0.05.
• P(2 < X < 4) : La seule valeur possible de X strictement entre 2 et 4 est 3. P(X=3) = 0.1.

4. Soit Y = 3X - 5. Calculer E(Y) et Var(Y).

Grâce aux propriétés de l'espérance et de la variance : E(aX + b) = aE(X) + b E(Y) = 3(1.85) - 5 = 5.55 - 5 = 0.55

Var(aX + b) = a²Var(X) Var(Y) = 3²(1.4275) = 9 × 1.4275 = 12.8475

Question 3 - Analyse d'un tableau de contingence

La taille totale de l'échantillon est de 900 répondants.

1. Quelle est la probabilité qu’il soit âgé de moins de 55 ans ? Les catégories de moins de 55 ans sont D (18-30), E (31-44) et F (45-54). Nombre total = 110 + 375 + 225 = 710. P(< 55 ans) = 710 / 900 = 71 / 90 ≈ 0.7889 (soit environ 78.89%).

2. Quelle est la probabilité qu’il présente un niveau de combativité moyen sachant que le répondant est âgé entre 31 et 44 ans ? On s'intéresse uniquement à la ligne E (31-44 ans), qui compte 375 personnes. Parmi elles, 225 ont une combativité moyenne (B). P(B | E) = 225 / 375 = 9 / 15 = 3 / 5 = 0.6 (soit 60%).

3. Quelle est la probabilité que le répondant présente un niveau de combativité élevé et soit âgé de 55 ans ou plus ? C'est l'intersection de la colonne C et de la ligne G. Le tableau indique 25 personnes. P(C ∩ G) = 25 / 900 = 1 / 36 ≈ 0.0278 (soit environ 2.78%).

4. Quelle est la probabilité que le répondant présente un niveau de combativité moyen et soit âgé de 44 ans ou moins ? C'est l'intersection de la colonne B (Moyen) avec les lignes D (18-30) et E (31-44). Nombre de personnes = 25 (ligne D) + 225 (ligne E) = 250. P(B ∩ (D ∪ E)) = 250 / 900 = 25 / 90 = 5 / 18 ≈ 0.2778 (soit environ 27.78%).

5. Quelle est la probabilité que le répondant présente un niveau de combativité moyen ou faible sachant qu’il est âgé entre 45 et 54 ans ? On isole la ligne F (45-54 ans), qui compte 225 répondants. Parmi eux, ceux ayant une combativité moyenne (B) sont 35, et faible (A) sont 90. Total désiré dans cette ligne = 35 + 90 = 125. P(B ∪ A | F) = 125 / 225 = 5 / 9 ≈ 0.5556 (soit environ 55.56%).

Question 4 - Variable aléatoire continue (Densité)

Note de reconstruction : L'énoncé imprimé pour f(x) a été lourdement endommagé par l'extraction ("02()(7)2404sixfxkxsixsix=−"). En analysant les fragments, on reconstitue sans ambiguïté la fonction de densité par parties suivante :

• f(x) = kx pour 0 ≤ x ≤ 2
• f(x) = k(7 - x) pour 2 ≤ x ≤ 4
• f(x) = 0 pour x < 0 et x > 4.

1. Trouver la constante k pour que f soit une fonction de densité. L'aire totale sous la courbe de densité doit valoir 1. ∫ (de 0 à 4) f(x) dx = 1 ∫ (de 0 à 2) kx dx + ∫ (de 2 à 4) k(7 - x) dx = 1

Calcul des primitives : k × [x² / 2] (de 0 à 2) + k × [7x - x² / 2] (de 2 à 4) = 1 k × (4 / 2 - 0) + k × ( (7×4 - 16/2) - (7×2 - 4/2) ) = 1 2k + k × ( (28 - 8) - (14 - 2) ) = 1 2k + k × ( 20 - 12 ) = 1 2k + 8k = 10k = 1 k = 0.1 (ou 1/10).

2. Calculer la probabilité que le temps d'accès réseau dépasse 300 heures un mois donné. La variable X est en centaines d'heures. Dépasser 300 heures signifie que X > 3. P(X > 3) = ∫ (de 3 à 4) 0.1(7 - x) dx P(X > 3) = 0.1 × [7x - x² / 2] (de 3 à 4) P(X > 3) = 0.1 × ( (28 - 16/2) - (21 - 9/2) ) P(X > 3) = 0.1 × ( (28 - 8) - (21 - 4.5) ) P(X > 3) = 0.1 × ( 20 - 16.5 ) = 0.1 × 3.5 P(X > 3) = 0.35 (soit 35% de probabilité).

3. Calculer l’espérance E(X). E(X) = ∫ (de 0 à 4) x × f(x) dx E(X) = ∫ (de 0 à 2) x(0.1x) dx + ∫ (de 2 à 4) x(0.1(7 - x)) dx E(X) = 0.1 × ∫ (de 0 à 2) x² dx + 0.1 × ∫ (de 2 à 4) (7x - x²) dx E(X) = 0.1 × [x³ / 3] (de 0 à 2) + 0.1 × [7x² / 2 - x³ / 3] (de 2 à 4) E(X) = 0.1 × (8 / 3) + 0.1 × ( (7(16)/2 - 64/3) - (7(4)/2 - 8/3) ) E(X) = 8 / 30 + 0.1 × ( (56 - 21.333...) - (14 - 2.666...) ) E(X) = 8 / 30 + 0.1 × ( (168/3 - 64/3) - (42/3 - 8/3) ) E(X) = 8 / 30 + 0.1 × ( 104/3 - 34/3 ) E(X) = 8 / 30 + 0.1 × ( 70 / 3 ) E(X) = 8 / 30 + 7 / 30 = 15 / 30 = 0.5 ? Correction de l'arithmétique : 0.1 × 70 / 3 est 7 / 3. Pour le mettre sur le même dénominateur (30) : 7 / 3 = 70 / 30. E(X) = 8 / 30 + 70 / 30 = 78 / 30 = 2.6 L'espérance est de 2.6 centaines d'heures, soit 260 heures.

Question 5 - Loi normale (Demande de Sicom)

Soit D la variable aléatoire représentant la demande annuelle. Données de l'énoncé :

• P(D < 1500) = 0.195
• P(D > 2910) = 0.025

On passe à la variable centrée réduite Z = (D - μ) / σ.

1. Déterminer la moyenne et l’écart-type de la demande annuelle. À l'aide d'une table de la loi normale centrée réduite N(0,1) :

• Pour la queue de gauche : P(Z < Z_1) = 0.195. La table donne Z_1 ≈ -0.86.
• Pour la queue de droite : P(Z > Z_2) = 0.025, donc P(Z < Z_2) = 0.975. La table donne Z_2 = 1.96.

On obtient un système d'équations : (1500 - μ) / σ = -0.86 => 1500 = μ - 0.86σ (2910 - μ) / σ = 1.96 => 2910 = μ + 1.96σ

En soustrayant la première équation à la deuxième : 2910 - 1500 = (μ + 1.96σ) - (μ - 0.86σ) 1410 = 2.82σ σ = 1410 / 2.82 = 500

En remplaçant σ dans la première équation : 1500 = μ - 0.86(500) 1500 = μ - 430 μ = 1930

Moyenne μ = 1930 unités, Écart-type σ = 500 unités.

2. Déterminer la probabilité que la demande annuelle D soit comprise entre 2000 et 2500 unités. On standardise les bornes : Z_inf = (2000 - 1930) / 500 = 70 / 500 = 0.14 Z_sup = (2500 - 1930) / 500 = 570 / 500 = 1.14

P(2000 < D < 2500) = P(0.14 < Z < 1.14) = P(Z < 1.14) - P(Z < 0.14) En lisant la table normale : P(Z < 1.14) ≈ 0.8729 P(Z < 0.14) ≈ 0.5557 Probabilité = 0.8729 - 0.5557 = 0.3172 (soit 31.72%).

3. Déterminer la valeur particulière d_0 tel que P(D ≥ d_0) = 0.25. (Note : reconstruite d'après l'équation corrompue "0d0()0.25PDd=") Si P(D ≥ d_0) = 0.25, alors l'aire à gauche est P(D < d_0) = 0.75. Dans la table normale, la valeur de Z pour une probabilité cumulée de 0.75 est d'environ 0.6745. d_0 = μ + Z_0 × σ d_0 = 1930 + 0.6745 × 500 d_0 = 1930 + 337.25 = 2267.25 unités (ou 2267 en arrondissant).

Question 6 - Loi normale (Production de brioches)

Soit X la masse en grammes d'une boule de pâte. L'énoncé corrompu contient les équations de base :

• (700)0.5PXg= -> P(X ≤ 700) = 0.5
• (720)0.159PXg= -> P(X ≥ 720) = 0.159

1. Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette loi normale. La courbe normale est symétrique, donc la moyenne divise l'aire en deux probabilités égales à 0.5. P(X ≤ 700) = 0.5 signifie que la moyenne μ = 700 g.

Pour l'écart-type, utilisons la deuxième équation : P(X ≥ 720) = 0.159 P(X < 720) = 1 - 0.159 = 0.841 Standardisation : Z = (720 - 700) / σ = 20 / σ On cherche P(Z < 20 / σ) = 0.841. Dans la table de la loi normale, une probabilité de 0.8413 (très proche de 0.841) correspond à Z = 1.0. Donc : 20 / σ = 1.0, ce qui donne σ = 20 g.

2. Quelle est la probabilité qu’une boule, prise au hasard dans la production, soit acceptée à la cuisson ? La plage d'acceptation est de 666 g à 732 g. P(666 ≤ X ≤ 732) Z_inf = (666 - 700) / 20 = -34 / 20 = -1.7 Z_sup = (732 - 700) / 20 = 32 / 20 = 1.6

P(-1.7 ≤ Z ≤ 1.6) = P(Z ≤ 1.6) - P(Z ≤ -1.7) P(Z ≤ -1.7) est égal par symétrie à 1 - P(Z ≤ 1.7). P(Z ≤ 1.6) ≈ 0.9452 P(Z ≤ 1.7) ≈ 0.9554, donc P(Z ≤ -1.7) ≈ 1 - 0.9554 = 0.0446. Probabilité d'acceptation = 0.9452 - 0.0446 = 0.9006 (soit environ 90.06%).

3. Déterminer le réel positif h afin que l’on ait P(700 - h ≤ X ≤ 700 + h) = 0.95. (Note : reconstruit d'après la formule "h(700700)0.95PhXh−+=") Il s'agit de trouver un intervalle centré autour de la moyenne (700) contenant 95% des données. L'intervalle centré à 95% pour la loi normale standard N(0,1) correspond à un score critique Z = 1.96. Cela signifie que h correspond à 1.96 écarts-types. h = 1.96 × σ h = 1.96 × 20 h = 39.2 g

Méthode

Face à ce type d'examen combinant probabilités discrètes et continues :

1. Tableaux croisés : Commencez toujours par calculer les sommes des lignes et des colonnes si elles ne sont pas fournies. L'erreur la plus fréquente en probabilités conditionnelles est de prendre le mauvais diviseur ; si on demande "sachant qu'il a entre 31 et 44 ans", le dénominateur devient strictement le total de cette ligne (ici 375), et non le total global de l'échantillon.
2. Loi Normale (Z) : Prenez le temps de faire un petit dessin (une cloche) pour chaque question de lois normales. C'est le moyen le plus sûr de ne pas confondre "plus grand que" et "plus petit que", et de savoir s'il faut utiliser 1 - P(Z) ou juste P(Z).
3. Variables aléatoires continues : La validation clé est de vérifier que l'intégrale de votre densité sur tout le domaine vaut exactement 1. Dans la Question 4, si le calcul du coefficient k est faux, toutes les sous-questions qui suivent sont mathématiquement compromises.
4. Outils de vérification modernes : Bien que ces calculs demandent la consultation de tables statistiques classiques (comme la table de Z), il est excellent pour votre révision de valider vos résultats analytiques avec quelques lignes de programmation. Par exemple, avec Python :

import scipy.stats as stats

# Vérification rapide de la question 5.2 avec Python
mu = 1930
sigma = 500

# CDF (Cumulative Distribution Function) équivaut à la table de Z
prob_2500 = stats.norm.cdf(2500, loc=mu, scale=sigma)
prob_2000 = stats.norm.cdf(2000, loc=mu, scale=sigma)

prob_intervalle = prob_2500 - prob_2000
print(f"Probabilité entre 2000 et 2500 : {prob_intervalle:.4f}")

Ce type de code ne remplace pas votre maîtrise des intégrales et de la standardisation, mais est un atout redoutable pour vous auto-corriger lors des phases de préparation.